[考前冲刺：八年级数学勾股定理公式大全及压轴题训练 | 星火网]专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：勾股定理核心考点速记
【开篇语：勾股定理是八年级上学期几何部分的基石，期末必考！它不仅是选择、填空题的常客，更是后面大题（如折叠、最值、实际应用）的解题关键。牢记它，是几何高分的起点。】
- 必背概念：勾股定理只适用于直角三角形！它描述的是直角三角形三边的平方关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。记住我们的口诀：“斜边最长，谁是斜边谁放等号右边”。如果题目没明确谁是斜边，一定要考虑分类讨论（例如已知两边为3和4，第三边可能是斜边5，也可能是直角边√7）。
- 阿星顺口溜：直角三角形三兄弟，平方关系要牢记。直角边方加直角边方，结果等于斜边方。勾三股四弦是五，看准谁把“C”来当！
- 万能公式：
- 核心公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，则 $$ a^2 + b^2 = c^2 $$。
- 变形公式：求直角边 $$ a = \sqrt{c^2 - b^2} $$；求斜边 $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1（无中生有）：题目只给了三角形的三条边长，直接写出 \( a^2 + b^2 = c^2 \)。（错误原因：没有判断或说明该三角形是直角三角形！）
- ✅ 满分规范1：在使用勾股定理前，必须通过已知条件（如给出直角符号、通过勾股定理逆定理验证等）说明或判定三角形为直角三角形。规范写法：“∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，∴ 根据勾股定理得...”。
- ❌ 常见错解2（思维定式）：已知直角三角形两边长为3和4，直接写第三边为5。
- ✅ 满分规范2：看见“两边长”，立刻要问：谁是斜边？若4是斜边，则第三边为 $$ \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7} $$；若第三边是斜边，则第三边为 $$ \sqrt{3^2+4^2}=5 $$。必须分类讨论，除非题目明确说明两边是直角边。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：以下四组数据中，不能作为直角三角形三边长的是 ( )
A. 6， 8， 10 B. 5， 12， 13 C. 7， 24， 25 D. 9， 40， 42
📌 秒杀技巧：
- 识别考点：本题考查勾股定理的逆定理。判断是否能构成直角三角形，就是看较小两边的平方和是否等于最大边的平方。
- 快速求解：只需计算最大边的平方，与另两数的平方和比较。D选项：\( 9^2 + 40^2 = 81+1600=1681 \)， \( 42^2 = 1764 \)，两者不相等，故不是直角三角形。
✅ 答案：D
模型 2：数形结合（网格或坐标系）
题目：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-1， 2)，点B的坐标为(3， -1)，则线段AB的长度为 ______。
📌 秒杀技巧：
- 识别考点：在坐标系中求两点间距离，本质是构造以这两点水平距离和垂直距离为直角边的直角三角形，用勾股定理求解。
- 快速求解：过A、B两点分别作x轴、y轴的平行线，构造Rt△ABC。则AC = |3 - (-1)| = 4， BC = |(-1) - 2| = 3。 ∴ $$ AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 $$。
✅ 答案：5
模型 3：折叠与方程思想（解答题）
题目：如图，在矩形ABCD中，AB=8， BC=10。将△ADE沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处。求CE的长。
📌 秒杀技巧：
- 识别考点：图形折叠意味着全等（对应边、角相等）。将所求线段CE设为x，将相关线段用含x的代数式表示，在某个直角三角形中利用勾股定理列方程。
- 快速求解：
- 设CE = x，则DE = EF = 8 - x（因为AB=DC=8）。
- 由折叠知，AF=AD=10。在Rt△ABF中，由勾股定理得 $$ BF = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6 $$，∴ CF = BC - BF = 10 - 6 = 4。
- 在Rt△CEF中，∠C=90°，由勾股定理列方程：$$ x^2 + 4^2 = (8-x)^2 $$，解得 x = 3。
✅ 答案：CE = 3
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5， b=12， 则斜边c的长为 ______。
- 若一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm和8cm，则它的斜边上的高为 ______ cm。
- 下列三角形中是直角三角形的是（ ） A. 三边之比为3:4:5 B. 三边之比为1:2:3 C. 三边长分别为2， 3， 4 D. 三个内角之比为1:2:3
- 已知直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边长为 ______。
- 命题“如果 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，那么△ABC是直角三角形”的逆命题是 ________________________。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 如图，每个小正方形的边长都为1，则网格中的△ABC是 ______ 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）。
- 已知一个直角三角形的周长为24cm，斜边长为10cm，则该三角形的面积为 ______ \( cm^2 \)。
- 如图，一根长25dm的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙7dm。如果梯子的顶端A沿墙下滑4dm到C点，那么梯子的底端B在水平方向滑动 ______ dm。
- 在△ABC中，AB=13， AC=15， AD是BC边上的高，且AD=12， 则BC的长为 ______。
- 如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=6， BC=8。以AB为边向外作正方形ABDE，则正方形ABDE的面积为 ______。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 如图，在△ABC中，AB=5， AC=13， BC边上的中线AD=6。求BC的长。
- 在四边形ABCD中，∠B=90°， AB=3， BC=4， CD=12， AD=13。求四边形ABCD的面积。
- 如图，P是等边△ABC内一点，且PA=6， PB=8， PC=10。求∠APB的度数。
- 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=8， BC=6。点D是AB边上的一个动点，连接CD。求CD的最小值。
- 定义：在平面直角坐标系中，点P(x, y)的“勾股距离”d为：\( d = \sqrt{x^2 + y^2} \)。已知点M(2， 1)，点N在x轴上，且满足MN的“勾股距离”为5，求点N的坐标。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 回归定义：做完后问自己：我用勾股定理时，这个三角形确定是直角三角形吗？2. 估算大小：斜边应该是最长的边，算出的结果符合吗？直角边应小于斜边。3. 常见数组：留意3-4-5， 5-12-13， 7-24-25， 8-15-17这几组勾股数，你的答案可能是它们的倍数。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：图形回忆法！在草稿纸上立刻画一个标准的直角三角形，标上“勾(a)”、“股(b)”、“弦(c)”。想象以每条边为边长向外作三个正方形，那么两个小正方形的面积和一定等于最大正方形的面积。这个图形画面能帮你瞬间想起 \( a^2 + b^2 = c^2 \)。
参考答案
第一关： 1. 13 2. 4.8 3. A 4. 13或√119 5. 如果△ABC是直角三角形，那么 \( a^2 + b^2 = c^2 \)（需说明c是斜边）。
第二关： 1. 直角 2. 24 3. 8 4. 14或4 5. 100
第三关： 1. \( 2\sqrt{61} \) 2. 36 3. 150° 4. 4.8 5. (5， 0) 或 (-2， 0)