普查与抽样怎么选？破坏性检验必须抽样吗？初中统计深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：普查与抽样 原理

• 核心概念：想象一下，你想知道一锅汤咸不咸。有两种方法：一是把整锅汤都喝光（普查），二是用勺子舀一勺尝尝（抽样）。阿星的「省力法则」就是说：做事要聪明，力气用在刀刃上。如果品尝（试验）本身就会毁掉汤（破坏性），那你肯定只能舀一勺；如果你需要知道锅里每一粒盐的精确位置（精准度要求极高），那你才必须喝光整锅。在数学和统计里，我们研究一个“总体”（整锅汤）时，同样面临这个选择。
• 计算秘籍：关键在于理解两个核心比例。
  1. 样本代表性：我们希望样本的特征比例 \( p_{\text{样}} \) 能无限接近总体的真实比例 \( p_{\text{总}} \)。当样本量 \( n \) 足够大且抽样随机时，\( p_{\text{样}} \approx p_{\text{总}} \)。
  2. 普查的“成本”：设总体有 \( N \) 个个体，普查需要调查全部 \( N \) 个，成本为 \( C_{\text{普}} \)。抽样调查 \( n \) 个 (\( n < N \))，成本为 \( C_{\text{抽}} \)。省力法则意味着，在满足精度要求下，我们追求 \( C_{\text{抽}} \) 远小于 \( C_{\text{普}} \)。
• 阿星口诀：普查费力但精准，抽样省力有波动；破坏检验必抽样，全局精确才普查。

📐 图形解析

普查与抽样的核心是“整体”与“部分”的关系。虽然这不是传统几何，但我们可以用图形来可视化这个过程。

下图左侧表示对一个包含25个个体的总体进行普查，右侧表示从同一个总体中随机抽取6个样本进行研究。

关系模型：普查是研究集合 \( A \)（总体）中的所有元素；抽样是研究从集合 \( A \) 中随机选取的一个子集 \( B \)（样本）。我们的目标是让 \( B \) 的特征能有效推断 \( A \) 的特征。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：“检查一批日光灯管的使用寿命，适合用普查。” → ✅ 正解：寿命测试是破坏性的（灯管点亮直到损坏），必须用抽样。遵循“破坏性试验必须抽样”法则。
• ❌ 错误2：“为了精确了解情况，任何调查都应该普查。” → ✅ 正解：普查虽精确，但成本高、耗时长。很多时候，一个科学、随机的抽样调查（如抽查几百户估算全市收入）在可接受的误差内效率更高。要权衡“精准度要求”与“成本/可行性”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 要了解全班50名同学最喜欢的学科，应采用______调查。
2. 检验一批炮弹的杀伤半径，应采用______调查。（填“普查”或“抽样”）
3. 航天飞机上天前，对每一个零件进行检查，这是______。
4. 某网站想了解其首页的点击率，它记录了所有用户的访问数据进行分析，这是______。
5. 医生通过抽血来化验病人的肝功能，这是______。
6. 全国人口普查每10年进行一次，这是______。
7. 为了解一批袋装牛奶的细菌是否超标，应采用______。
8. 班主任老师找5名同学座谈，了解班级作业量情况，这5名同学构成了一个______。
9. （判断）抽样调查的目的就是用样本的数据去估计总体的数据。 （ ）
10. （判断）普查得到的结果比抽样调查更准确，所以任何时候都应优先选择普查。 （ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. 以下问题中，不适合用普查的是（ ） A. 检查神舟飞船各零部件 B. 了解全班同学每周的体育锻炼时间 C. 调查某批次汽车的抗撞击能力 D. 学校招聘老师，对应聘者进行面试
2. 为了解某市 \( 5 \) 万名初中毕业生的数学中考成绩，从中抽取了 \( 1000 \) 名考生的成绩进行统计分析。样本是（ ） A. \( 5 \) 万名考生 B. \( 1000 \) C. \( 5 \) 万名考生的成绩 D. \( 1000 \) 名考生的成绩
3. 某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康状况，分别作了四种不同的抽样调查．你认为抽样比较合理的是（ ） A. 在公园调查了1000名老年人的健康状况 B. 在医院调查了1000名老年人的健康状况 C. 调查了10名老年邻居的健康状况 D. 利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
4. 从总体中抽取一部分个体作为样本进行调查，然后根据样本数据推断总体的情况，这种调查称为______调查。
5. 一个不透明的袋子装有 \( a \) 个小球，通过大量有放回的摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在 \( 0.2 \)，那么可以推测红球大约有______个。（用含 \( a \) 的式子表示）

第三关：生活应用（5道）

1. 【工程】某大桥施工方采购了 \( 10000 \) 根高强度螺栓。已知拉力测试会使其变形失效。请问应如何验收这批螺栓的质量？请设计一个方案。
2. 【环境】环保部门欲估计某湖泊中鱼类的总数量。他们先捕捞上 \( 200 \) 条鱼，做好标记后放回湖中。一段时间后，再次捕捞 \( 150 \) 条，发现其中有 \( 15 \) 条有标记。请估算湖中鱼的总数 \( N \)（提示：利用比例 \( \frac{\text{标记鱼}}{\text{总数}} \approx \frac{\text{重捕标记鱼}}{\text{重捕样本数}} \)）。
3. 【商业】一家电商公司有 \( 100 \) 万用户，想评估用户对APP新界面的满意度。请从“省力法则”角度，为他们选择调查方式并简述理由。
4. 【农业】农科所培育了一种新小麦，在 \( 10 \) 亩试验田中种植。收割前，农技师是应该收割全部麦穗来测算亩产，还是只在田间选取几个样方测算？为什么？
5. 【综合】疫情期间，某市要快速了解全体市民的核酸检测完成情况。在“健康码”系统已全覆盖的前提下，你认为后台数据统计属于普查还是抽样？为什么这种“普查”可以瞬间完成？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 普查（总体小，易实施，需要每个人的数据）
2. 抽样（破坏性检验）
3. 普查（精准度要求极高，不能有任何疏漏）
4. 普查（网站能记录所有访问数据，即总体的全部数据）
5. 抽样（破坏性，且不需要抽干全身血）
6. 普查
7. 抽样（破坏性检验）
8. 样本
9. √
10. ×（需考虑成本、破坏性、可行性）

第二关：中考挑战

1. C（抗撞击能力测试是破坏性的）
2. D（样本是抽取的那部分个体的数据）
3. D（随机抽样，代表性好。A、B场所特定，C样本太少且邻居可能同质）
4. 抽样
5. \( 0.2a \)（红球数量 \( \approx \) 总球数 \( \times \) 频率）

第三关：生活应用

1. 应采用抽样验收。从 \( 10000 \) 根中随机抽取一定比例（如 \( 1\% \) 即 \( 100 \) 根）进行拉力测试。若样本合格率达到标准，则推断整批合格。这是平衡质量控制和成本的唯一方法。
2. 根据比例关系：\( \frac{200}{N} \approx \frac{15}{150} \)。解得 \( N \approx \frac{200 \times 150}{15} = 2000 \)。故估计湖中鱼总数 \( N \approx 2000 \) 条。（这是“标记重捕法”，生态学常用抽样技术）
3. 应采用抽样调查。理由：总体 \( 100 \) 万极大，普查成本 \( C_{\text{普}} \) 过高（需联系所有用户）。通过随机抽取几万用户推送问卷，即可在可控成本 \( C_{\text{抽}} \) 下，以较高精度估计全体用户的满意度，符合“省力法则”。
4. 应选取样方测算。因为收割全部麦穗测算（普查）耗时耗力，且本身就是一种“破坏”（麦子离田）。科学选取几个有代表性的样方（抽样）进行测算，既能估计总体亩产，又节省了人力物力。
5. 属于普查。因为“健康码”系统后台记录了每一个市民的核酸检测结果数据。它能瞬间完成是因为普查的数据收集过程（市民扫码、机构上传）是分布式、实时完成的，最后的“统计”只是对已有全量数据库的快速计算，不同于传统意义上需要派人逐一走访的普查。