三年级盈亏问题一盈一亏练习题及答案解析-PDF下载：经典题型精讲与解题技巧

💡 阿星精讲：盈亏问题：一盈一亏 原理

• 核心概念：想象一下，你（阿星）有一堆苹果要分给一群小朋友。第一次，你决定每人分 \(5\) 个，结果分完后，手里还 剩下 \(10\) 个（这就是“盈”）。你觉得“剩这么多，大家没吃饱”，于是重新分，改成每人分 \(7\) 个，结果分到一半，苹果不够了，还差 \(4\) 个（这就是“亏”）。为什么从“多出来”变成“不够了”？因为你给每个人多分了 \(2\) 个！原来剩下的 \(10\) 个苹果，不仅被分光了，还不够，需要再补 \(4\) 个才能满足新标准。所以，那多分的 \(2\) 个（分配差），总共需要 \(10 + 4 = 14\) 个苹果来填补。这 \(14\) 个苹果，每人 \(2\) 个，正好能分给 \(7\) 个人。这就是阿星公式“(多+少) ÷ 分配差 = 人数”的灵魂。
• 计算秘籍：
  1. 定“盈”“亏”：找出两种分法下，物品“多出来”（盈）和“不够”（亏）的数量。记住：“盈”为正，“亏”为负，但计算时都用绝对值相加。
  2. 找“分配差”：计算两次分配中，每人得到的物品数量之差。一定是大减小。
  3. 代入公式：人数 = \((盈 + 亏) \div (分配差)\)， 物品数 = 人数 × 一种分法的每份数 ± 盈（或亏）。
  4. 举例验证：用算出来的人数，代入原题验算一下。
• 阿星口诀：一盈一亏好兄弟，相加总和别客气。除以每份相差数，人数立刻现原形。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：公式记成 \((多 - 少) \div 分配差\)。→ ✅ 正解：一盈一亏，盈和亏是“方向”相反的两个量，它们的绝对值要相加，才能得到因为分配标准改变而导致的总需求变化量。所以一定是 \((盈 + 亏)\)。
• ❌ 错误2：分配差算反，用小数减大数。→ ✅ 正解：分配差是 两次分配中，每人分得物品数的差额，永远用大的减小的。它代表“每人多分了几个”。如果第二次每人分得少，那就变成了“一亏一盈”，但公式本质不变。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 老师给同学们发糖果。每人 \(6\) 颗，最后多 \(18\) 颗；每人 \(9\) 颗，最后少 \(12\) 颗。有多少同学？多少糖果？
2. 同学们栽树，如果每人栽 \(4\) 棵，还剩 \(17\) 棵；如果每人栽 \(6\) 棵，还差 \(9\) 棵。有多少同学？共要栽多少棵树？
3. 学校买来一批跳绳。每班分 \(8\) 根，多 \(14\) 根；每班分 \(10\) 根，少 \(4\) 根。学校有多少个班？买了多少根跳绳？
4. 阿姨给小朋友们分饼干。每人 \(5\) 块，多出 \(22\) 块；每人 \(7\) 块，少 \(8\) 块。有几个小朋友？饼干共有多少块？
5. 动物园给猴子分桃子。每只猴子 \(3\) 个，剩 \(25\) 个；每只猴子 \(5\) 个，差 \(11\) 个。有多少只猴子？多少个桃子？
6. 夏令营发水。每人每天 \(2\) 瓶，多出 \(30\) 瓶；每人每天 \(3\) 瓶，少 \(20\) 瓶。夏令营有几人？计划发几天？（总瓶数不变）
7. 用一根绳子测量井深。把绳子折成三折来量，井外余 \(4\) 米；折成四折来量，井外还余 \(1\) 米。求井深和绳长。（提示：折成三折，每折是绳长的 \( \frac{1}{3} \)）
8. 学校安排宿舍。每间住 \(6\) 人，多出 \(8\) 人；每间住 \(8\) 人，有一间只住了 \(4\) 人（即少 \(4\) 人）。房间有几间？学生有几人？
9. 小朋友分画片。每人 \(9\) 张，少 \(15\) 张；每人 \(7\) 张，多 \(7\) 张。有多少小朋友？多少画片？
10. 植树小组去植树。如果每人种 \(5\) 棵，还有 \(3\) 棵没人种；如果其中 \(2\) 人各种 \(4\) 棵，其余的人各种 \(6\) 棵，正好种完。有多少人？多少棵树？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 学校买来一批书奖励学生。每人奖励 \(3\) 本，最后多 \(55\) 本；每人奖励 \(5\) 本，最后少 \(15\) 本。但如果每人奖励 \(4\) 本，会多出多少本？
2. 一个班的学生去划船。如果增加一条船，每条船正好坐 \(6\) 人；如果减少一条船，每条船正好坐 \(9\) 人。这个班有多少学生？
3. 妈妈买回一袋苹果，按计划天数吃。每天吃 \(4\) 个，多出 \(48\) 个；每天吃 \(6\) 个，少 \(8\) 个。妈妈买回多少个苹果？计划吃多少天？
4. 学校将一批图书借给各班阅读。如果每班借 \(30\) 本，还多 \(70\) 本；如果每班借 \(40\) 本，则不够 \(40\) 本。问有多少个班？多少本书？
5. 小明从家到学校，如果每分钟走 \(50\) 米，迟到 \(3\) 分钟（可理解为少走了 \(50 \times 3 = 150\) 米）；如果每分钟走 \(70\) 米，提前 \(5\) 分钟到（可理解为多走了 \(70 \times 5 = 350\) 米）。求家到学校的距离。
6. 动物园的门票，若每人 \(8\) 元，则多出 \(80\) 元；若每人 \(10\) 元，则差 \(40\) 元。问有多少人？门票定价多少元时刚好没有盈亏？
7. 工人铺一条路。如果每天铺 \(200\) 米，铺完全程需要延长 \(3\) 天；如果每天铺 \(250\) 米，铺完全程需要提前 \(2\) 天。求这条路全长。
8. 学校买来一批练习本，分给美术和体育小组。如果美术小组每人分 \(5\) 本，体育小组每人分 \(3\) 本，一共多出 \(14\) 本；如果美术小组每人分 \(4\) 本，体育小组每人分 \(6\) 本，一共少 \(4\) 本。已知美术小组比体育小组多 \(2\) 人，求练习本总数。
9. 用一根绳子测游泳池水深。绳子两折时，余 \(60\) 厘米；绳子三折时，差 \(40\) 厘米。求绳长和水深。
10. 某车间生产零件。如果每天生产 \(120\) 个，到期还差 \(200\) 个；如果每天生产 \(140\) 个，到期多出 \(100\) 个。问计划生产多少个？期限是多少天？

第三关：生活应用（5道）

1. （AI算力分配）星火AI实验室有一批计算任务要分配给若干服务器节点。如果每个节点分配 \(500\) 万亿次浮点运算（TFLOPS）的任务量，任务池会剩余 \(2000\) TFLOPS；如果每个节点分配 \(600\) TFLOPS，则还差 \(1000\) TFLOPS才能填满所有节点。请问有多少个服务器节点？总任务量是多少 TFLOPS？
2. （网购优惠券）某电商平台发一批“满减”优惠券给用户。如果每个用户发 \(2\) 张券，最后会多出 \(150\) 张；如果每个用户发 \(3\) 张券，则还需要额外准备 \(50\) 张券才够发。请问平台有多少目标用户？这批优惠券总共多少张？

（航天器载荷）为一次科学实验，需在空间站搭载若干标准实验模块。如果每个搭载位放 \(4\) 个模块，总质量会超标 \(20\) 千克；如果每个搭载位放 \(3\) 个模块，总质量比上限轻 \(10\) 千克。已知每个模块质量相同，问有多少个搭载位？实验模块的总质量上限是多少千克？

（共享单车调度）共享单车运维人员在一条街投放单车。如果每个投放点放 \(15\) 辆，整条街会多出 \(25\) 辆无处可放；如果每个投放点放 \(18\) 辆，则整条街还缺 \(11\) 辆才能填满所有点位。这条街有多少个投放点？运维人员这次带来了多少辆单车？

（游戏道具分配）一个公会的会长获得了一批稀有材料要分给核心成员。如果每人分 \(8\) 个，材料会剩下 \(12\) 个；如果每人想分 \(10\) 个，则会长自己还需要倒贴 \(4\) 个（即差 \(4\) 个）。请问公会有多少核心成员？这批材料共有多少个？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 人数：\((18+12) \div (9-6) = 10\)（人），糖果：\(10 \times 6 + 18 = 78\)（颗）。
2. 人数：\((17+9) \div (6-4) = 13\)（人），树：\(13 \times 4 + 17 = 69\)（棵）。
3. 班数：\((14+4) \div (10-8) = 9\)（个），跳绳：\(9 \times 8 + 14 = 86\)（根）。
4. 人数：\((22+8) \div (7-5) = 15\)（人），饼干：\(15 \times 5 + 22 = 97\)（块）。
5. 猴子：\((25+11) \div (5-3) = 18\)（只），桃子：\(18 \times 3 + 25 = 79\)（个）。
6. 人数：\((30+20) \div (3-2) = 50\)（人），天数：总瓶数 \(= 50 \times 2 + 30 = 130\)，\(130 \div 50 = 2.6\)天（或理解为期初库存）。
7. 绳折数即“每份数”。井深不变。绳长：\( (4 \times 3 - 1 \times 4) \div (4-3) = 8 \div 1 = 8\)（米）？ 等等，需谨慎：三折井外余 \(4\) 米，即绳比井深的 \(3\) 倍多 \(4 \times 3 = 12\) 米；四折余 \(1\) 米，即绳比井深 \(4\) 倍多 \(1 \times 4 = 4\) 米。这是一盈一盈（双盈）。井深：\((12-4) \div (4-3) = 8\)（米），绳长：\(8 \times 3 + 12 = 36\)米 或 \(8 \times 4 + 4 = 36\)米。
8. “一间只住 \(4\) 人”相当于每间 \(8\) 人时，少住了 \(8-4=4\) 人（即亏 \(4\) 人）。房间：\((8+4) \div (8-6) = 6\)（间），学生：\(6 \times 6 + 8 = 44\)（人）。
9. 第一次少 \(15\) 张（亏），第二次多 \(7\) 张（盈）。人数：\((15+7) \div (9-7) = 11\)（人），画片：\(11 \times 9 - 15 = 84\)（张）。
10. 转化：“每人种 \(5\) 棵，多 \(3\) 棵”（盈）。“\(2\) 人各种 \(4\) 棵，其余各种 \(6\) 棵”相当于所有人先各种 \(6\) 棵，然后那 \(2\) 个人每人退回 \(2\) 棵，总共退回 \(4\) 棵。所以是“每人种 \(6\) 棵，少 \(4\) 棵”（亏）。人数：\((3+4) \div (6-5) = 7\)（人），树：\(7 \times 5 + 3 = 38\)（棵）。

第二关：奥数挑战

1. 先求人数：\((55+15) \div (5-3) = 35\)（人）。每人 \(4\) 本时，多出：\(35 \times 3 + 55 - 35 \times 4 = 160 - 140 = 20\) 本。
2. 转化：船数变化，但学生数不变。“增加一条船，每条船坐 \(6\) 人”相当于按原船数分，会多出 \(6\) 人（盈）。“减少一条船，每条船坐 \(9\) 人”相当于按原船数分，会少 \(9\) 人（亏）。原船数：\((6+9) \div (9-6) = 5\)（条），学生：\((5+1) \times 6 = 36\)（人）。
3. 天数：\((48+8) \div (6-4) = 28\)（天），苹果：\(28 \times 4 + 48 = 160\)（个）。
4. 班级：\((70+40) \div (40-30) = 11\)（个），书：\(11 \times 30 + 70 = 400\)（本）。
5. 将迟到/提前转化为路程差。计划时间：\((150+350) \div (70-50) = 25\)（分钟），距离：\(50 \times (25+3) = 1400\) 米 或 \(70 \times (25-5) = 1400\)米。
6. 人数：\((80+40) \div (10-8) = 60\)（人）。刚好无盈亏的定价 = 总钱数 \(/\) 人数。总钱数 = \(60 \times 8 + 80 = 560\)元 或 \(60 \times 10 - 40 = 560\)元。定价为 \(560 \div 60 = 9\frac{1}{3}\) 元。
7. 计划天数：\((200 \times 3 + 250 \times 2) \div (250-200) = (600+500) \div 50 = 22\)（天）。全长：\(200 \times (22+3) = 5000\) 米 或 \(250 \times (22-2) = 5000\)米。
8. 设体育小组 \(x\) 人，则美术小组 \(x+2\) 人。根据总数相等列方程：\(5(x+2) + 3x + 14 = 4(x+2) + 6x - 4\)。解得 \(8x+24 = 10x+4\)，\(2x=20\)，\(x=10\)。总数：\(5 \times 12 + 3 \times 10 + 14 = 104\) 本。
9. 两折余 \(60\) 厘米，即绳比水深 \(2\) 倍多 \(60 \times 2 = 120\) 厘米；三折差 \(40\) 厘米，即绳比水深 \(3\) 倍少 \(40 \times 3 = 120\) 厘米。一盈一亏。水深：\((120+120) \div (3-2) = 240\)（厘米），绳长：\(240 \times 2 + 120 = 600\)厘米 或 \(240 \times 3 - 120 = 600\)厘米。
10. 期限：\((200+100) \div (140-120) = 15\)（天），计划产量：\(120 \times 15 + 200 = 2000\) 个 或 \(140 \times 15 - 100 = 2000\)个。

第三关：生活应用

1. 节点数：\((2000+1000) \div (600-500) = 30\)（个），总任务量：\(30 \times 500 + 2000 = 17000\)（TFLOPS）。
2. 用户数：\((150+50) \div (3-2) = 200\)（人），券数：\(200 \times 2 + 150 = 550\)（张）。
3. 搭载位数：\((20+10) \div (4-3) = 30\)（个），质量上限：每个模块重 \((20+10) \div (4-3) = 30 \div 1 = 30\)千克？ 错。注意：20和10是总质量差。应先求位数：\((20+10) \div (4-3) = 30\)（个）。总质量上限：\(30 \times 3 + 10 = 100\)千克 或 \(30 \times 4 - 20 = 100\)千克。每个模块重 \( (100 - 20)/30 / 4 \) ? 其实不需要求。题目问总质量上限是 \(100\)千克。
4. 投放点数：\((25+11) \div (18-15) = 12\)（个），单车数：\(12 \times 15 + 25 = 205\)（辆）。
5. 成员数：\((12+4) \div (10-8) = 8\)（人），材料数：\(8 \times 8 + 12 = 76\)（个）。