期末复习：七年级数学上册应用：盈亏问题考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初一
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：应用：盈亏问题 核心考点速记
【开篇语：盈亏问题是七年级上学期期末考试的必考应用题，通常以填空题、选择题或中等难度的方程应用题形式出现，分值在5-10分。掌握核心公式，即可轻松拿下。】
- 必背概念：所谓“盈亏”，就是指在分配物品时，如果按照一种方案分，会有剩余（盈）；按照另一种方案分，则会不够（亏）。核心就是找出人数或份数。记住阿星的苹果例子：“分苹果，每人3个多4个，每人4个少3个，问几人和几个苹果？” 这就是最经典的盈亏模型。
- 阿星顺口溜：有余有缺加一起，分配差来当除数，人数物品马上出。
- 万能公式：
1. 一盈一亏型：人数 = \( \frac{(盈 + 亏)}{(两次分配之差)}\)
2. 双盈型：人数 = \( \frac{(大盈 - 小盈)}{(两次分配之差)}\)
3. 双亏型：人数 = \( \frac{(大亏 - 小亏)}{(两次分配之差)}\)
求总数公式：总数 = 分配方案 × 人数 ± 盈/亏
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解：公式中“(盈+亏)”的符号弄反。例如，遇到“少3个”时，错误地代入 -3。
- ✅ 满分规范：“盈”和“亏”在公式中永远代入正数！“多”就是“+盈”，“少”就是“+亏”。计算分配差时，要用较大的每人分配数减去较小的，保证差值为正。
- ❌ 常见错解：求出人数后，计算总数时，用错了对应的分配方案和盈/亏值。
- ✅ 满分规范：算出人数后，务必代回原题任一条件进行检验。如用“每人3个余4个”算总数：3×人数+4；或用“每人4个少3个”算：4×人数-3。两个结果必须一致，这是最好的检查方法。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：将一些练习本分给学生，每人分4本，剩余18本；若每人分6本，则最后一人分得的练习本少于2本。至少有学生多少人？
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别为“盈亏问题”的变式。“最后一人分得的少于2本”意味着缺，可能是缺1本或0本（即正好）。但问“至少多少人”，通常按缺得最多的情况（即缺1本）计算。
- 第二步：套用一盈一亏公式。盈=18，亏= (6-1)-? 注意，第二种方案下，除了最后一人，其他人都是6本。最后一人分得5本（少1本）或4本（少2本）... 这里我们取“最后一人分得5本（即少1本）”计算。此时总差额为 18 + 1 = 19 (本)，分配差为 6 - 4 = 2 (本)。 人数 = 19 ÷ 2，不为整数，不符合。因此考虑最后一人分得4本（即少2本）：总差额=18+2=20，人数=20÷2=10(人)。
✅ 答案：10人
模型 2：经典分配题（解答题）
题目：某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营。如果每辆车坐45人，则有30人没有座位；如果每辆车坐60人，则可以空出一辆车，并且最后一辆车还空出15个座位。问共有多少学生？多少辆车？
📌 秒杀技巧：
- 第一步：转化为标准盈亏。设共有 \(x\) 辆车。
方案一：人数 = \(45x + 30\)。
方案二：“空出一辆车”即用了 \(x-1\) 辆车，且最后一辆车空15座，即坐了 \(60 - 15 = 45\) 人。所以总人数 = \(60(x-1) - 15 = 60x - 75\)。 - 第二步：人数相等，列方程：\(45x + 30 = 60x - 75\)。解得 \(x = 7\)。再求人数：\(45×7+30=345\)。
✅ 答案：学生345人，车7辆。
模型 3：综合应用变式（易错题）
题目：老师给同学们发糖果，如果每人发5颗，那么还剩下3颗；如果每人发7颗，那么又有一个同学分到的糖果少于3颗。已知每个同学分到的糖果数都是正整数，请问最多有多少个同学？
📌 秒杀技巧：
- 第一步：理解“有一个同学分到的少于3颗”意味着亏，且可能是亏4颗、5颗...（因为每人7颗是标准）。设这个同学分了 \(k\) 颗 (\(k=1, 2\))，则亏 \(7-k\) 颗。
- 第二步：设人数为 \(n\)。根据总糖果数相等：\(5n + 3 = 7(n-1) + k\)，化简得 \(2n = 10 - k\)，即 \(n = 5 - \frac{k}{2}\)。
- 第三步：\(n\) 为正整数，\(k\) 取1或2。当 \(k=2\) 时，\(n=4\)；当 \(k=1\) 时，\(n=4.5\)（舍去）。所以最多4个同学。
✅ 答案：4个
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 幼儿园老师给小朋友分饼干。如果每人分3块，则多出16块；如果每人分5块，那么就差4块。请问有多少个小朋友？多少块饼干？
- 用一根绳子测井深。把绳子折成三折来量，井外余4米；把绳子折成四折来量，井外余1米。井深多少米？绳长多少米？
- 学校买来一批新书。如果每班分10本，则剩40本；如果每班分13本，则剩1本。学校有多少个班？买了多少本书？
- 阿星买了一批笔记本奖励学生。如果每人奖6本，则差12本；如果每人奖5本，则刚好分完。有多少学生？多少笔记本？
- 一个小组的同学去植树。如果每人种5棵，还剩下14棵；如果每人种7棵，就缺6棵。这个小组有多少人？一共要种多少棵树？
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 学校组织春游，租了若干辆车。如果每辆车坐20人，则多出25人；如果每辆车坐25人，则空出一辆车。请问租了多少辆车？有多少学生？
- 老师将一包糖分给小朋友。如果每人分10颗，最后一个人只能分到9颗；如果每人分8颗，则多出7颗。请问至少有多少颗糖？
- 同学们划船，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人。问共有多少名同学？
- 学校给住宿生分配宿舍。如果每间住6人，则有34人没有床位；如果每间住8人，则空出4间宿舍。求住宿生人数和宿舍间数。
- 一箱苹果分给若干人。如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则还差10个。若要使每人分到4个，则需要再增加多少个苹果？
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 动物园为猴子买来一堆桃子。如果每只猴子分5个，还剩下32个；如果其中10只猴子每只分4个，其余的每只分8个，正好分完。问有多少只猴子？多少个桃子？
- 学校用一笔钱购买奖品。若以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份；若以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可买50份。这笔钱全部用来买钢笔，可买多少支？
- 一项工程，原计划由若干人恰好用整数天完成。如果增加3人，完工时间将提前2天；如果减少3人，完工时间将推迟4天。问原计划多少人？多少天完成？
- 学校安排学生到会议室听报告。如果每3人坐一条长椅，那么有48人没有座位；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出2条长椅。听报告的学生有多少人？
- 阿星买了一些单价相同的卡通贴纸，准备分给班里的同学。若每人分3张，则多出16张；若每人分5张，则有2个同学分不到。请问阿星买了多少张贴纸？
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：最有效的检查方法是“代入验证”。把你算出的人数（或份数），代回题目中的第一个条件和第二个条件，分别计算总数（如苹果数、书本数）。如果两个条件算出的总数一致，说明100%正确。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：忘记公式就用最笨但最可靠的方法：设未知数列方程。设人数为 \(x\)，根据两种分配方案下“总数不变”或“物品总数相等”来列一元一次方程。盈亏问题的本质就是方程思想，公式只是方程的快捷推导结果。
参考答案
第一关： 1. 10人，46块饼干。 2. 井深8米，绳长36米。 3. 13个班，170本书。 4. 12人，60本。 5. 10人，64棵。
第二关： 1. 10辆车，225人。 2. 87颗糖。 3. 36名同学。 4. 236人，34间。 5. 需要再增加30个苹果。
第三关： 1. 24只猴子，152个桃子。 2. 100支钢笔。 3. 原计划12人，10天完成。 4. 135人。 5. 55张贴纸。
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