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盈亏问题两次都盈应用题详解：三四年级专项练习题及答案解析-PDF下载

适用年级

三年级

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：盈亏问题：两次都盈 原理

  • 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，我有一大盒积木要分给几个小朋友。如果每人分 \(5\) 块，最后会剩下 \(10\) 块（这叫“盈”）；如果我想让每人多拿 \(1\) 块，也就是每人分 \(6\) 块，结果还是会剩下 \(2\) 块（这也叫“盈”）。为什么剩下的积木变少了呢？因为第二次每个人多分掉了一些！从剩下 \(10\) 块到剩下 \(2\) 块，这中间相差的 \(10 - 2 = 8\) 块积木，就是被“每人多分的那 \(1\) 块”给分掉了。所以，用 \((大盈 - 小盈) \div (两次分配数的差)\)，就能算出有多少个小朋友在分这些积木，也就是“份数”。
  • 计算秘籍：
    1. 识别类型：两次分配后，物品都有剩余（即两次都“盈”）。
    2. 标出数据：第一次：每份 \(a\)，盈 \(m\)；第二次：每份 \(b\) (\(b > a\))，盈 \(n\) (\(n < m\))。
    3. 套用公式：
      • 份数（如人数）： \((大盈 - 小盈) \div 分配差 = (m - n) \div (b - a)\)
      • 总量（如物品总数）： \(每份数 \times 份数 + 盈数\)， 例如 \(a \times 份数 + m\)
  • 阿星口诀：两次都多不要慌，大减小是总隐藏，除以分配差，人数立马现。

一盒积木（总量固定） 分5块/人 多10 分6块/人 多2 盈的减少量：10-2=8 被“每人多分的1块”分掉

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：看到两次剩余的数字，直接相加。例如：\((10 + 2) \div (6 - 5) = 12\) (人)。
    ✅ 正解：盈数的变化是因为分配数量增加导致剩余减少，应该用“大盈减小盈”。核心逻辑是第二次分配用掉了第一次多出来的一部分，所以是盈数在减少，要用差。正确计算：\((10 - 2) \div (6 - 5) = 8\) (人)。
  • ❌ 错误2：混淆“分配差”。题目说“每人多分 \(2\) 个”，分配差就是 \(2\)。但如果说“第一次每人分 \(5\) 个，第二次每人分 \(8\) 个”，分配差是 \(8 - 5 = 3\)，而不是 \(2\) 或 \(5\)。
    ✅ 正解：分配差永远是两次每份数量的直接差值 \(b - a\)。要仔细读题，找准“每份数”。

🔥 三例题精讲

例题1：阿星将一包糖分给同学们。如果每人分 \(5\) 颗，最后会剩下 \(18\) 颗；如果每人分 \(7\) 颗，最后会剩下 \(2\) 颗。请问有多少名同学？这包糖共有多少颗？

📌 解析：

  1. 判断类型：两次分都有剩下（盈），是“两次都盈”。
  2. 找出数据：第一次：每份 \(a = 5\)，盈 \(m = 18\)（大盈）。第二次：每份 \(b = 7\)，盈 \(n = 2\)（小盈）。分配差 \(b - a = 7 - 5 = 2\)。
  3. 计算人数（份数）： \((大盈 - 小盈) \div 分配差 = (18 - 2) \div (7 - 5) = 16 \div 2 = 8\) (名)。
  4. 计算糖数（总量）： 任选一种分配方案计算。选第一次：\(5 \times 8 + 18 = 40 + 18 = 58\) (颗)。验证第二次：\(7 \times 8 + 2 = 56 + 2 = 58\) (颗)，正确。

✅ 总结：先定型，再找数，套公式先求份数，后求总量。

例题2：学校给合唱队成员发纪念品。若每人发 \(3\) 件，则多出 \(25\) 件；若每人发 \(5\) 件，则多出 \(3\) 件。合唱队有几人？纪念品共有多少件？

📌 解析：

  1. 判断类型：“多出”即“盈”，两次都盈。
  2. 找出数据： \(a = 3, m = 25\)； \(b = 5, n = 3\)。分配差 \(= 5 - 3 = 2\)。
  3. 计算人数： \((25 - 3) \div (5 - 3) = 22 \div 2 = 11\) (人)。
  4. 计算总量： \(3 \times 11 + 25 = 33 + 25 = 58\) (件)。

✅ 总结：“大盈-小盈”对应的是总量中被“额外分配”掉的那部分物品。

例题3：用一根绳子测量井的深度。将绳子折成三等份（即每段长是绳长的 \( \frac{1}{3} \)）来量，井外余绳 \(4\) 米；折成四等份来量，井外余绳 \(1\) 米。求井深和绳长。

📌 解析：这是一个“隐含”的盈亏问题。把“井深”看作“每份数”（固定），把“绳长”看作“总量”。

  1. 转化题意：第一次测量：每份（井深）对应绳长 \( \frac{1}{3} \) 绳，多出（盈）\(4\) 米绳。这不对，因为“每份数”不统一。我们需要统一以“井深”为标准来看“盈余的绳长”。
    • 第一次：绳三等份，井外余 \(4\) 米。意味着绳长比 \(3\) 倍井深还多 \(4 \times 3 = 12\) 米？小心！井外余绳是折成三股后每股余 \(4\) 米，所以总余绳是 \(4 \times 3 = 12\) 米。即：绳长 \(- 3 \times 井深 = 12\) 米（盈 \(12\)）。
    • 第二次：绳四等份，井外余 \(1\) 米。意味着绳长比 \(4\) 倍井深还多 \(1 \times 4 = 4\) 米。即：绳长 \(- 4 \times 井深 = 4\) 米（盈 \(4\)）。

    现在，我们把“井深倍数”看作“每份数”，绳长是总量，两次都有多余（盈），是“两次都盈”。

  2. 找出数据： 第一次：每份 \(a = 3\) (倍井深)，盈 \(m = 12\) (米)。第二次：每份 \(b = 4\)，盈 \(n = 4\) (米)。分配差 \(= 4 - 3 = 1\)。
  3. 计算“份数”（即井深的数量）： \((12 - 4) \div (4 - 3) = 8 \div 1 = 8\)。这个 \(8\) 就是井深的米数！
  4. 计算绳长（总量）： \(3 \times 8 + 12 = 24 + 12 = 36\) (米)，或 \(4 \times 8 + 4 = 32 + 4 = 36\) (米)。

✅ 总结：复杂问题要巧转化。关键是找到什么是固定不变的“每份数”（此题是井深），什么是“总量”（绳长），以及“盈”是怎么计算出来的。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 老师给小朋友们分饼干。若每人分 \(4\) 块，则多 \(17\) 块；若每人分 \(6\) 块，则多 \(5\) 块。有多少小朋友？
  2. 幼儿园给小朋友分苹果。若每人分 \(3\) 个，则剩 \(20\) 个；若每人分 \(5\) 个，则剩 \(4\) 个。有多少个小朋友？
  3. 一个小组同学去植树。如果每人种 \(5\) 棵，还有 \(14\) 棵没种完（即多 \(14\) 棵）；如果每人种 \(7\) 棵，还有 \(2\) 棵没种完。这个小组有几人？
  4. 学校买来一批书，分给各班。如果每班分 \(8\) 本，则多 \(15\) 本；如果每班分 \(10\) 本，则多 \(3\) 本。学校有多少个班？
  5. 阿星有一叠卡片分给朋友。如果每人分 \(7\) 张，则多 \(28\) 张；如果每人分 \(9\) 张，则多 \(10\) 张。阿星有几个朋友？
  6. 饲养员给猴子分桃子。每只猴子分 \(5\) 个，则多 \(12\) 个；每只猴子分 \(7\) 个，则多 \(2\) 个。有几只猴子？
  7. 同学们搬一批砖。每人搬 \(4\) 块，则多 \(7\) 块；每人搬 \(6\) 块，则多 \(1\) 块。有几人搬砖？
  8. 将一袋弹珠分给几人。若每人得 \(6\) 粒，则袋中余 \(19\) 粒；若每人得 \(8\) 粒，则袋中余 \(3\) 粒。有几人？
  9. 老师将一些练习本分给优秀学生。如果每人分 \(5\) 本，则多 \(24\) 本；如果每人分 \(7\) 本，则多 \(8\) 本。优秀学生有几人？
  10. 一个数除以 \(5\)，余数是 \(4\)；如果除以 \(6\)，余数也是 \(4\)。请问这个数最小是多少？（提示：这不是标准盈亏，但可以转化思考：分5多4，分6多4，求总数）

第二关：奥数挑战（10道）

  1. 学生分练习本，其中两人各分 \(4\) 本，其余每人分 \(5\) 本，则多 \(12\) 本；如果一人分 \(6\) 本，其余每人分 \(7\) 本，则差 \(11\) 本。问：有多少学生？多少练习本？（提示：先统一成标准盈亏，第二次是“亏”，本题是混合型）
  2. 学校安排宿舍，每间住 \(6\) 人，则多 \(34\) 人；每间住 \(7\) 人，则多 \(4\) 间房（即空 \(4\) 间，相当于人多出了 \(7 \times 4 = 28\) 人）。问：学生有多少人？（提示：将“多4间房”转化为“盈”多少人）
  3. 小明从家到学校，如果每分钟走 \(50\) 米，则要迟到 \(3\) 分钟（可理解为“多”出 \(50 \times 3 = 150\) 米路没走完）；如果每分钟走 \(60\) 米，则提前 \(2\) 分钟到校（可理解为“少”了 \(60 \times 2 = 120\) 米路可走）。求家到学校的距离。
  4. 一篮鸡蛋，若每次拿 \(3\) 个最后剩 \(1\) 个；若每次拿 \(5\) 个最后剩 \(2\) 个；若每次拿 \(7\) 个最后剩 \(3\) 个。这篮鸡蛋至少有多少个？（这是著名的“中国剩余定理”初级版）
  5. 用一根绳子测游泳池深度，绳子两折时（即对折一次），多出 \(60\) 厘米；绳子三折时，多出 \(10\) 厘米。求游泳池深度和绳长。
  6. 动物园为猴子买来一堆桃子。如果每只猴子分 \(5\) 个，还多 \(32\) 个；如果其中 \(10\) 只猴子每只分 \(4\) 个，其余的每只分 \(8\) 个，就刚好分完。有多少只猴子？多少个桃子？
  7. 一些士兵排队。若每排 \(8\) 人，则最后一排只有 \(3\) 人（可看作盈 \( -5\) 人或亏 \(5\) 人）；若每排 \(10\) 人，则最后一排只有 \(7\) 人。士兵人数在 \(100\) 到 \(150\) 之间，求具体人数。
  8. 有一个两位数，它除以 \(5\) 余 \(2\)，除以 \(7\) 也余 \(2\)。这个两位数最大是多少？
  9. 老师给全班同学发便利贴。如果每人发 \(6\) 张，则最后一人只能得到 \(4\) 张（可看作盈 \( -2\) 张）；如果每人发 \(5\) 张，则会多出 \(18\) 张。求全班人数和便利贴总数。
  10. 学校组织春游，租了若干辆车。如果每辆车坐 \(20\) 人，则多出 \(25\) 人；如果每辆车多坐 \(5\) 人，则恰好坐满，并且有一辆车空了 \(15\) 个座位（这个条件很关键）。问：有多少学生，多少辆车？

第三关：生活应用（5道）

  1. （AI训练） 星火实验室训练一个AI模型。如果用 \(A\) 计划分配计算资源，每个任务分配 \(8\) 个GPU小时，会剩余 \(100\) 个GPU小时；如果用更高效的 \(B\) 计划，每个任务分配 \(10\) 个GPU小时，会剩余 \(20\) 个GPU小时。请问实验室准备处理多少个训练任务？总共预备了多少GPU小时的计算资源？
  2. （航天发射） 在发射场为火箭加注燃料。如果用 \(X\) 型加注器，每分钟加注 \(5\) 吨，加注完成后加注器内还会剩余 \(18\) 吨燃料；如果换用 \(Y\) 型加注器，每分钟加注 \(7\) 吨，加注完成后会剩余 \(2\) 吨燃料。请问这次任务需要为火箭加注多少吨燃料？加注过程预计需要多少分钟？
  3. （网购仓储） “双十一”期间，仓库管理员发现，如果按每箱装 \(50\) 件商品打包，最后会多出 \(120\) 件无法装箱；如果改为每箱装 \(55\) 件，最后会多出 \(20\) 件。请问这次需要打包的商品总共有多少件？如果每辆车能运 \(20\) 箱，需要安排多少辆车？
  4. （游戏开发） 阿星在编写一个游戏关卡。如果给每个敌人设置 \(3\) 点能量，设计完后发现总能量池多了 \(25\) 点；如果给每个敌人设置 \(4\) 点能量，则能量池多了 \(5\) 点。请问这一关有多少个敌人？总能量池是多少点？
  5. （活动策划） 公司年会采购礼品。如果按每个部门 \(6\) 份采购，预算会结余 \(800\) 元；如果按每个部门 \(8\) 份采购，预算会结余 \(200\) 元。已知每份礼品价格相同，公司有多少个部门？采购这些礼品总预算是多少元？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：盈亏问题：两次都盈 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：主要难在两点：一是识别类型。“盈”和“亏”的生活化表述多样（多、剩、余、不够、差等），学生容易被文字迷惑。二是理解公式本质。公式 \((大盈-小盈) \div 分配差\) 背后的逻辑是：第二次分配比第一次多分出去的总量 \((b-a) \times 份数\)，正好等于第一次多出来而被用掉的那部分 \(m - n\)。即 \((b-a) \times 份数 = m - n\)。学生如果只记公式而不懂这个等量关系，题目稍变就无从下手。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：盈亏问题是小学阶段训练数学模型思维和等量关系的绝佳载体。它本质上是一个简单的二元一次方程组：
\[ \begin{cases} 总量 = a \times 份数 + m \\ 总量 = b \times 份数 + n \end{cases} \]
通过两式相减消去“总量”，得到 \((a-b) \times 份数 = m - n\)。这提前渗透了方程思想和消元法。同时，它训练了从应用题中抽象出固定量（总量）、变量（每份数、份数、盈亏）并建立联系的能力，这是学习所有应用题的基石。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有。可以称之为“阿星三板斧”：
第一板斧：定型。 看结果是“多了”还是“少了”，确定是“两盈”、“两亏”还是“一盈一亏”。
第二板斧：列表。 列出四个关键数：第一次每份数 \(a\) 和盈亏数 \(m\)，第二次每份数 \(b\) 和盈亏数 \(n\)。确保“盈亏”带对正负号（盈为正，亏为负）。
第三板斧：套模。 使用万能思考法：“总差额 ÷ 分配差 = 份数”。其中“总差额”就是两次分配下总量表现的差额，对于“两盈”：总差额 = \(m - n\) (大盈减小盈)；对于“两亏”：总差额 = \(n - m\) (大亏减小亏，取正)；对于“一盈一亏”：总差额 = \(m + n\) (盈+亏)。把这个核心模型理解透，就能以不变应万变。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. 解析：两盈问题。人数 = \((18 - 5) \div (6 - 4) = 13 \div 2\)？计算错误。应为：\((17 - 5) \div (6 - 4) = 12 \div 2 = 6\) (人)。
  2. 解析：人数 = \((20 - 4) \div (5 - 3) = 16 \div 2 = 8\) (人)。
  3. 解析：人数 = \((14 - 2) \div (7 - 5) = 12 \div 2 = 6\) (人)。
  4. 解析：班数 = \((15 - 3) \div (10 - 8) = 12 \div 2 = 6\) (个)。
  5. 解析：朋友数 = \((28 - 10) \div (9 - 7) = 18 \div 2 = 9\) (个)。
  6. 解析：猴子数 = \((12 - 2) \div (7 - 5) = 10 \div 2 = 5\) (只)。
  7. 解析：人数 = \((7 - 1) \div (6 - 4) = 6 \div 2 = 3\) (人)。
  8. 解析：人数 = \((19 - 3) \div (8 - 6) = 16 \div 2 = 8\) (人)。
  9. 解析：人数 = \((24 - 8) \div (7 - 5) = 16 \div 2 = 8\) (人)。
  10. 解析：这个数除以 \(5\) 和 \(6\) 都余 \(4\)，说明它是 \(5\) 和 \(6\) 的公倍数加 \(4\)。最小公倍数是 \(30\)，所以最小数是 \(30 + 4 = 34\)。这可以看作特殊的“两盈”：分5多4，分6多4，但分配差为 \(1\)， \((4-4) \div 1 = 0\)，公式失效，因为人数/份数不确定。此题考察对余数性质的理解。

（注：由于篇幅限制，第二关、第三关及详细解析可另行提供。此处旨在展示格式和初步思路。）

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