期末复习：四年级数学上册积的变化规律考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库

💡 期末突击：积的变化规律 核心考点速记

【开篇语：作为四上“三位数乘两位数”单元的核心，“积的变化规律”是期末填空、选择乃至应用题计算的基础工具，必考！掌握它，计算速度能快一倍。】

• 必背概念：两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）相同的数。如果一个因数乘（或除以）一个数，另一个因数反而除以（或乘）相同的数，它们的积不变。就像阿星说的：一个乘10，另一个不变，积就乘10；但如果一个乘10，另一个除以10，积就乖乖不变了！
• 阿星顺口溜：一个不变，一个变，积就跟着倍数变；你乘我除一样多，积的大小不会挪。
• 万能公式：如果 \( a \times b = c \)，那么：
  • 当 \( b \) 不变时，\( (a \times m) \times b = c \times m \)
  • 当 \( a \) 不变时，\( a \times (b \times n) = c \times n \)
  • 当 \( a \times m, b \div m \) 时，\( (a \times m) \times (b \div m) = c \)

📐 图形解析（积的变化规律 可视化记忆）

【配合图形讲解考点逻辑】想象积就是一个长方形的面积（长 × 宽）。上图中，蓝色是原长方形。当宽（因数b）扩大到原来的2倍，而长不变时，面积（积）就变成粉色的，也扩大到原来的2倍。当长（因数a）扩大到原来的2倍，而宽不变时，面积（积）就变成绿色的，同样扩大到2倍。解题时，立刻在脑中画这个“长方形模型”，就能一眼看清因数怎么变，积就跟着怎么变。

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第一关：基础过关（送分题不能丢，10道）

1. 根据 \( 18 \times 25 = 450 \)，直接写出下面各题的积。
   \( 18 \times 50 = \) (     )     \( 36 \times 25 = \) (     )     \( 9 \times 25 = \) (     )     \( 180 \times 25 = \) (     )
2. 两个数的积是240，如果一个因数不变，另一个因数除以8，那么积是(     )。
3. 两个数的积是240，如果一个因数乘3，另一个因数不变，那么积是(     )。
4. 两个数的积是240，如果一个因数乘6，另一个因数除以6，那么积是(     )。
5. 判断题：在乘法里，两个因数都扩大到原来的10倍，积就扩大到原来的20倍。(     )
6. 选择题：与 \( 360 \times 40 \) 的积相等的算式是(     )。
   A. \( 36 \times 4 \)   B. \( 36 \times 400 \)   C. \( 3600 \times 4 \)   D. \( (360 \div 10) \times (40 \times 10) \)
7. 填空题：\( A \times B = 200 \)，那么 \( (A \times 5) \times B = \) (     )，\( A \times (B \div 4) = \) (     )。
8. 一个长方形花园的面积是120平方米，若长不变，宽扩大到原来的3倍，新花园的面积是(     )平方米。
9. 因数 × 因数 = 积，当两个因数同时乘同一个数时，积会(     )。
10. 根据规律填空：\( 16 \times 5=80 \)，\( 32 \times 5=160 \)，\( 64 \times 5=320 \)。我发现：第一个因数(     )，第二个因数(     )，积也(     )。

第二关：高频考题（拉开差距的关键，10道）

1. 已知 \( M \times N = 1200 \)，如果 \( M \) 除以10，\( N \) 不变，那么积是(     )；如果 \( M \) 除以10，\( N \) 乘10，那么积是(     )。
2. 两个因数的积是100。一个因数除以5，要使积不变，另一个因数应该(     )。
3. 在○里填上“>”“<”或“=”。
   \( 240 \times 30 \) ○ \( 24 \times 300 \)     \( 150 \times 60 \) ○ \( 15 \times 600 \)     \( 450 \times 20 \) ○ \( 45 \times 200 \)
4. 小明在做乘法时，把一个因数42看成了24，结果得到的积比正确的积少了540。正确的积是(     )。
5. 选择题：已知 \( 甲 \times 乙 = 480 \)，那么 \( (甲 \times 2) \times (乙 \times 3) \) 的积是(     )。
   A. 480   B. 960   C. 1440   D. 2880
6. 根据 \( 75 \times 24 = 1800 \)，不计算，直接写出 \( 750 \times 240 = \) (     )，\( 150 \times 12 = \) (     )。
7. 一个因数乘8，另一个因数除以2，积会(     )。
   A. 扩大4倍   B. 扩大6倍   C. 缩小4倍   D. 缩小6倍
8. 商店里一种商品原价50元，现在买3送1。妈妈原来想买4个的钱，现在可以买到(     )个。这题中，总价不变，单价和数量成(     )关系，运用了积(     )的规律。
9. 如果 \( A \times B = 360 \)，那么 \( (A \div C) \times (B \times C) = \) (     )。（C不为0）
10. 一个正方形的面积是64平方厘米，若边长扩大到原来的5倍，面积扩大到原来的(     )倍。

第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）

1. 小马虎在计算一道乘法题时，把一个乘数21的十位和个位看反了，结果得到的积比正确的积少了972。正确的积是多少？
2. 甲、乙两数的积是丙数的5倍。如果将甲数扩大到原来的4倍，乙数不变，那么新的积是丙数的多少倍？
3. 一个三位数乘一个两位数，小刚误将三位数百位上的6看成了9，计算结果比正确结果大4200。已知两位数是35，求正确的三位数。
4. 观察：\( 12345679 \times 9 = 111111111 \)， \( 12345679 \times 18 = 222222222 \)， \( 12345679 \times 27 = 333333333 \)。根据积的变化规律，直接写出：\( 12345679 \times 72 = \) (     )， \( 12345679 \times \) (     ) \( = 999999999 \)。
5. （综合应用）学校购买了一批篮球和足球。已知买5个篮球和3个足球的总价，与买2个篮球和9个足球的总价相等。请问：1个篮球的价格是1个足球价格的几倍？（提示：将总价看作“积”，尝试用积不变的规律分析数量关系）

🤔 考前锦囊 FAQ

参考答案

第一关：1. 900, 900, 225, 4500   2. 30   3. 720   4. 240   5. 错（应是100倍）   6. B, C, D   7. 1000, 50   8. 360   9. 乘这个数的平方   10. 扩大到原来的2倍（或乘2），不变，扩大到原来的2倍（或乘2）

第二关：1. 120, 1200   2. 乘5   3. =, =, =   4. 1260   5. D (480×2×3=2880)   6. 180000, 1800   7. A (8÷2=4，扩大4倍)   8. 5个，反比例，不变   9. 360   10. 25 (面积是边长乘边长，两个“边长”因数都乘5，所以积乘5×5=25)

第三关：1. 1134 (把21看成12，这个因数减少了9，导致积少了972，说明另一个因数是972÷9=108，正确积108×21=2268。注意：此题另一种常见错误是算出另一个因数108后，用108×12，需仔细)   2. 20倍 (新积=甲×4×乙 = 原积×4 = (丙×5)×4 = 丙×20)   3. 200 (百位6看成9，相当于这个因数增加了300，导致积增加了4200，所以另一个因数=4200÷300=14。但题目已知两位数是35，矛盾？仔细读题：“三位数百位6看成9”即增加了300，结果比正确结果大4200，则两位数为4200÷300=14，与已知35矛盾。疑为题目设置小陷阱或笔误。若按两位数是35算，则4200÷35=120，即三位数增加了120，原三位数百位是6，增加120后百位变9，原数可能是680？680+120=800，百位是8非9。此题作为压轴题可能有争议，意在考察仔细审题和逻辑。提供一个可能修正后的思路：若两位数是固定的，则三位数增加的量=4200÷两位数。若两位数为35，则三位数增加120，原三位数百位为6，增加120后百位应为7或8，不符合“看成9”。故原题可能两位数是14。按两位数14算，则原三位数为600，正确积600×14=8400。学生需指出矛盾或分类讨论)   4. 888888888, 81   5. 3倍 (设篮球价B，足球价F。5B+3F = 2B+9F → 3B = 6F → B=2F，所以是2倍。提示中的积不变规律体现在：总价=单价×数量，这里总价相等，但单价和数量的组合不同)