[期末复习：九年级数学上册概率考点总结与真题解析 | 星火网]专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：易错：概率 核心考点速记
【开篇语：概率是期末考的高频送分题，通常以一道8-10分大题和若干选择填空形式出现。看似简单，但“放回与不放回”这一细节，是阅卷老师重点设坑、学生批量丢分的重灾区！】
- 必背概念：所谓“放回”就是摸一个球，记下颜色后放回去，摇匀再摸，这样每次摸球的总球数不变。而“不放回”就是摸一个球后直接放在一边，下次摸球时总球数就少了一个。分母一变，整个事件的概率就全变了！这是解题的第一步，也是决定生死的一步。
- 阿星顺口溜：“摸球问题先分辨，放回不放回是关键。放回总数永不变，不放回要减一算。分母若错全盘输，看清题意别眨眼！”
- 万能公式： 古典概型概率公式：$$P(A)=\frac{m}{n}$$，其中\(n\)是所有等可能结果的总数，\(m\)是事件\(A\)发生的等可能结果数。这是所有计算的根基。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解：不区分“放回”与“不放回”，所有情况都用第一次的总数做分母。
- ✅ 满分规范：必须在答题步骤开头明确指出“此题为不放回（或放回）试验”。计算第二步概率时，分母必须体现总数变化。例如，不放回问题求两次都摸到红球的概率：$$\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$$，这里的\(\frac{2}{9}\)就是关键得分点。
- ❌ 常见错解：画树状图或列表格时，遗漏等可能结果，导致分子(m)或分母(n)计算错误。
- ✅ 满分规范：对于两步及以上的试验，必须用树状图或列表法列出所有等可能结果，并且保证不重不漏。这是过程分的核心依据。尤其注意“不放回”时，前后两次的结果不能相同。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，除颜色外无差别。从中不放回地随机摸出两个球，则两个球颜色相同的概率是（）。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——“不放回”摸球，总球数在变化。
- 第二步：公式计算：总情况数\(n=C_5^2=10\)（或通过树状图列出10种等可能结果）。两球同色包含“两红”和“两白”：“两红”有\(C_3^2=3\)种，“两白”有\(C_2^2=1\)种。故概率为\(\frac{3+1}{10}=\frac{2}{5}\)。
✅ 答案：\(\frac{2}{5}\)
模型 2：概率计算题（6-8分大题）
题目：一个盒子中装有标号分别为1，2，3，4的四个完全相同的小球，从中随机摸出两个球。（1）采用不放回方式，求摸出的两个球标号之和为奇数的概率；（2）采用放回方式，求摸出的两个球标号之和为奇数的概率。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别双模型对比，这是期末大题最爱考的形式。立刻明确（1）分母是\(4 \times 3 = 12\)或\(C_4^2=6\)（有序/无序视角）；（2）分母是\(4 \times 4 = 16\)。
- 第二步：和“为奇数”的条件是“一奇一偶”。用树状图或列表法清晰列举，确保总数正确。
（1）不放回：总情况12种（有序），一奇一偶情况有\(2 \times 2 \times 2 = 8\)种（奇偶、偶奇两种顺序），概率为\(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)。
（2）放回：总情况16种，一奇一偶情况有\(2 \times 2 \times 2 = 8\)种，概率为\(\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)。
✅ 答案：（1）\(\frac{2}{3}\)；（2）\(\frac{1}{2}\)
模型 3：综合应用题（压轴小题）
题目：小明手上有三张扑克牌，分别是红桃2、黑桃3、方片4。他将牌洗匀后，让小红不放回地先后抽取两张。规定：若抽到的两张牌点数之和为奇数，则小明赢；若为偶数，则小红赢。这个游戏规则公平吗？请说明理由。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别本质——还是“不放回”摸球求概率，只是包装成了游戏公平性问题。公平与否取决于双方获胜概率是否相等（均为\(\frac{1}{2}\)）。
- 第二步：计算双方概率。所有等可能结果（有序）为：\( (2,3), (2,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,3) \)共6种。
和为奇数的组合有：(2,3), (3,2), (2,3), (4,3)？等等，这里要小心！(2,3)和(3,2)和都是5（奇），(3,4)和(4,3)和都是7（奇）。所以和为奇数的情况有4种，概率为\(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)。
和为偶数的有：(2,4)和(4,2)，和都是6（偶），共2种，概率为\(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)。 - 结论：概率不相等，游戏不公平。
✅ 答案：不公平，理由见解析。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- “抛掷一枚质地均匀的硬币一次”是______事件（填“随机”、“必然”或“不可能”），正面朝上的概率是______。
- 从一个装有4个黑球和2个白球的袋子中，放回地摸两次，两次都摸到白球的概率是______。
- 从1，2，3这三个数字中随机抽取两个不同的数字，其积是偶数的概率是______。
- “明天降雨的概率是80%”这句话的含义是______。
- 概率的取值范围是______。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- （不放回模型）一个不透明的袋子中装有三个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同。随机从中摸出一球，不放回，再摸出一球。请用树状图列出所有可能结果，并求两次都摸到红球的概率。
- （放回模型）将上题中的“不放回”改为“放回”，其他条件不变，求两次都摸到红球的概率。
- （数字概率）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字-2，-1，1，2。将它们背面朝上洗匀后，随机抽取一张，不放回，再抽取一张。求两次抽取卡片上的数字积为负数的概率。
- （游戏公平性）小刚和小明用如图所示的两个转盘做游戏，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小刚胜；为偶数时，小明胜。这个游戏对双方公平吗？请说明理由。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- （方程与概率综合）已知关于\(x\)的一元二次方程\(x^2+bx+c=0\)，从-1，2，3三个数中任取一个作为\(b\)，再从剩下的两个数中任取一个作为\(c\)，则该方程有实数根的概率是多少？
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- （三步不放回）一个盒子中装有红、白、蓝三种颜色的小球各一个（除颜色外相同），从中先后取出三个小球（不放回）。请用树状图列出所有可能结果，并求第三个小球是蓝色的概率。
- （条件概率雏形）有5张卡片，正面分别写有数字1，1，2，2，3。洗匀后，从中随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张。求第一次取出的数字大于第二次取出的数字的概率。
- （几何与概率综合）如图，在\(2 \times 2\)的正方形网格中，有\(A, B, C, D, E\)五个格点。随机选择两个不同的格点，以它们为端点画一条线段，则这条线段经过格点\(C\)的概率是多少？
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- （统计与概率综合）为了解某校九年级学生“1分钟跳绳”的成绩情况，从中随机抽查了部分学生的成绩，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图。若成绩在170次以上为优秀，求从这些学生中随机询问一人，其成绩为优秀的概率。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- （实际应用）小明和小亮玩一个游戏：将三张分别标有数字2，3，4的卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上。小明先随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，小亮再随机抽取一张。若两人抽取的数字之和为偶数，则小明胜；若和为奇数，则小亮胜。这个游戏规则公平吗？请用概率知识说明。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：两步检查法：1. 查分母： 算完概率后，立刻回头看题目是“放回”还是“不放回”，检查你的分母（总情况数）是否符合规则。2. 查总和： 所有可能事件的概率之和必须等于1。比如，摸到红球的概率+摸到白球的概率=1。这是快速验算的利器。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：概率根本公式\(P=\frac{m}{n}\)绝对不会忘。如果忘了“排列组合”公式来算\(m\)和\(n\)，立刻改用树状图或列表法！虽然慢一点，但能确保你列出所有等可能结果，得到正确答案。这是考场上最稳妥的“保命”方法。
参考答案
第一关： 1. 随机，\( \frac{1}{2} \)； 2. \( \frac{1}{9} \)； 3. \( \frac{2}{3} \)； 4. 明天下雨的可能性是80%； 5. \( 0 \le P(A) \le 1 \)。
第二关： 1. \( \frac{3}{10} \)； 2. \( \frac{9}{25} \)； 3. \( \frac{2}{3} \)； 4. 不公平，小刚胜概率\( \frac{1}{3} \)，小明胜概率\( \frac{2}{3} \)； 5. \( \frac{2}{3} \)。
第三关： 1. \( \frac{1}{3} \)； 2. \( \frac{13}{25} \)； 3. \( \frac{2}{5} \)； 4. （需根据图表具体数据计算，一般为约数）； 5. 不公平，小明胜概率\( \frac{5}{9} \)，小亮胜概率\( \frac{4}{9} \)。
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