分解质因数短除法详解：五年级六年级数学练习题PDF下载与解析

💡 阿星精讲：分解质因数：短除法 原理

• 核心概念：你好，我是阿星！想象一下，每个合数都是一个由更小的“数学原子”构成的分子。这些不可再分的“原子”就是质数。就像医生用手术刀解剖人体，数学家则用“短除法”这把精密的手术刀，对一个合数进行“原子级解剖”，直到找出它最基础的质数构成。比如把 \(72\) 拆成 \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\)，这就是一场完美的“数论解剖手术”，揭示了 \(72\) 最本质的基因蓝图。
• 计算秘籍：
  1. 准备手术：写下要“解剖”的合数，准备好质数这把“手术刀”（从最小的质数 \(2\) 开始试）。
  2. 开始解剖：用质数去试除这个数。如果能整除，就记录下这个质因数（手术刀切下的“组织”），并写下商（解剖后的剩余部分）。
  3. 重复操作：继续用质数（可能是同一个，也可能是更大的）去试除最新的商，直到商变成一个质数为止。
  4. 展示成果：把所有记录下来的质因数，和最后的质数商，用乘号连起来。

  以 \(72\) 为例：

  \(72 \div 2 = 36\) ... 记录 \(2\)

  \(36 \div 2 = 18\) ... 记录 \(2\)

  \(18 \div 2 = 9\) ... 记录 \(2\)

  \(9 \div 3 = 3\) ... 记录 \(3\)

  最后商是 \(3\)，也是质数。

  所以 \(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2\)。

• 阿星口诀：合数排队上手术台，质数小刀依次来。除到商是质数停，质因乘起来真相白。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：用合数当“手术刀” → 比如用 \(4\) 去除 \(72\)，虽然 \(72 \div 4 = 18\)，但 \(4\) 本身还能被分解 (\(4=2 \times 2\))，解剖不彻底！
  ✅ 正解：必须且只能用质数作为除数（\(2, 3, 5, 7...\)），确保每一步切下的都是不可再分的“数学原子”。
• ❌ 错误2：“手术”半途而废 → 把 \(72\) 分解成 \(2 \times 36\) 或 \(8 \times 9\) 就停下了。
  ✅ 正解：必须除到商是质数为止。短除法的过程要持续进行，直到最后的商（如例子中的 \(3\)）本身就是一个质数，解剖手术才算完成。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 将 \(28\) 分解质因数。
2. 将 \(50\) 分解质因数。
3. 将 \(66\) 分解质因数。
4. 将 \(105\) 分解质因数。
5. 将 \(124\) 分解质因数。
6. 将 \(135\) 分解质因数。
7. 将 \(154\) 分解质因数。
8. 将 \(175\) 分解质因数。
9. 将 \(200\) 分解质因数。
10. 将 \(225\) 分解质因数。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 将 \(1001\) 分解质因数。（提示：试试 \(7\) 或 \(11\)）
2. 一个数分解质因数后为 \(2^a \times 3^b \times 5\)，已知它恰好有 \(12\) 个正因数，求满足条件的最小数。
3. 将 \(2^{10} - 1\) 分解质因数。（提示：\(2^{10}-1=1023\)）
4. 两个数的最大公因数是 \(12\)，最小公倍数是 \(180\)，其中一个数是 \(60\)，求另一个数。
5. 三个连续偶数的乘积是 \(2688\)，求这三个数。
6. 将 \(7!\) （\(7\) 的阶乘，即 \(1\times2\times...\times7\)）分解质因数。
7. 有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，体积是 \(5040\) 立方厘米，求它的表面积。
8. 求能同时被 \(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\) 整除的最小正整数。
9. 已知 \(n!\) 的末尾恰好有 \(25\) 个零，求 \(n\) 的最小值。
10. 一个完全平方数有 \(9\) 个正因数，且其质因数分解中只含有 \(2\) 和 \(3\)，求这个数。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI数据分组） 阿星在训练一个AI模型，需要将 \(1728\) 张图片均匀地分配到若干个GPU上进行并行处理，要求每个GPU分到的图片数相同，且必须大于 \(10\) 张。请问他有多少种不同的分配方案？（利用质因数分解寻找因数）
2. （航天轨道周期） 空间站A绕地球一周需 \(90\) 分钟，空间站B绕地球一周需 \(108\) 分钟。假设它们在某一时刻同时经过北京上空，那么至少多少分钟后，它们会再次同时经过北京上空？
3. （网络安全与加密） RSA公钥加密算法的基础是两个大质数的乘积难以被分解。假设一个简单的密钥是两个质数 \(p\) 和 \(q\) 的乘积 \(n = 3233\)。如果你能将其成功分解质因数，就找到了 \(p\) 和 \(q\)。（提示：尝试小于 \(\sqrt{3233}\) 的质数）
4. （网购优惠券组合） 某平台“满减”优惠券面额有 \(6\) 元、\(8\) 元、\(10\) 元三种。小明想购买一件商品，价格是 \(N\) 元，他希望使用若干张相同面额的优惠券后，实付金额为 \(0\) 元（即价格正好是券额的整数倍）。已知 \(N\) 是一个三位数，且其质因数分解式为 \(2^2 \times 3 \times 5 \times 7\)。请问商品价格 \(N\) 是多少？它可以使用哪几种面额的优惠券达成目的？
5. （音乐会灯光编程） 一场音乐会有三种灯光特效循环：A特效每 \(18\) 秒亮一次，B特效每 \(24\) 秒亮一次，C特效每 \(30\) 秒亮一次。如果它们在演出开始时同时亮起，那么演出至少持续多少秒，才能让它们在结束的那一刻又一次同时亮起？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(28 = 2^2 \times 7\)
2. \(50 = 2 \times 5^2\)
3. \(66 = 2 \times 3 \times 11\)
4. \(105 = 3 \times 5 \times 7\)
5. \(124 = 2^2 \times 31\)
6. \(135 = 3^3 \times 5\)
7. \(154 = 2 \times 7 \times 11\)
8. \(175 = 5^2 \times 7\)
9. \(200 = 2^3 \times 5^2\)
10. \(225 = 3^2 \times 5^2\)

第二关：奥数挑战

1. \(1001 = 7 \times 11 \times 13\)
2. 因数个数公式 \((a+1)(b+1)(1+1)=12\)，得 \((a+1)(b+1)=6\)。为使数最小，令 \(a=2, b=1\)，数为 \(2^2 \times 3^1 \times 5 = 60\)。
3. \(1023 = 3 \times 11 \times 31\)
4. 利用性质：两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数。另一数 = \((12 \times 180) / 60 = 36\)。验证：\(36=2^2 \times 3^2\)，\(60=2^2 \times 3 \times 5\)，最大公因数 \(2^2 \times 3=12\)，最小公倍数 \(2^2 \times 3^2 \times 5=180\)。
5. 设偶数为 \(2k-2, 2k, 2k+2\)，乘积为 \(8k(k^2-1)=2688\)，得 \(k(k^2-1)=336\)。分解 \(336=2^4 \times 3 \times 7= 6 \times 7 \times 8\)，故 \(k=7\)，三数为 \(12, 14, 16\)。
6. \(7! = 5040 = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7\) （计算：\(1\)到\(7\)中，\(2\)的因子：\(4\)个；\(3\)的因子：\(2\)个；\(5\)的因子：\(1\)个；\(7\)的因子：\(1\)个）
7. 设长宽高为 \(n-1, n, n+1\)，体积 \((n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=5040\)。分解 \(5040=2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 14 \times 15 \times 16\)，故 \(n=15\)，长宽高为 \(14,15,16\)，表面积 \(2\times(14\times15+14\times16+15\times16)=1348\) 平方厘米。
8. 即求 \(2,3,4,5,6,7,8,9,10\) 的最小公倍数。分解：\(2=2\), \(3=3\), \(4=2^2\), \(5=5\), \(6=2\times3\), \(7=7\), \(8=2^3\), \(9=3^2\), \(10=2\times5\)。取最高次幂：\(2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520\)。
9. \(n!\) 末尾零的个数由因子 \(5\) 的个数决定。\(25\) 个零需要 \(25\) 个因子 \(5\)。\(25\div5=5\)， \(5\div5=1\)，所以 \(5+25=30\) 以内有 \(25\) 个因子 \(5\)。但 \(25, 26, 27, 28, 29\) 都只有最多 \(1\) 个因子 \(5\)，无法达到 \(25\) 个，必须到 \(30!\) 才刚好有 \(6+1=7\)? 等等，正确计算：\( \lfloor 25/5 \rfloor + \lfloor 25/25 \rfloor = 5+1=6\) 个，不对。目标是 \(25\) 个：\(\lfloor n/5 \rfloor + \lfloor n/25 \rfloor + \lfloor n/125 \rfloor = 25\)。估算：当 \(n=100\) 时，有 \(20+4+0=24\) 个；\(n=105\) 时，\(21+4+0=25\) 个。故 \(n\) 最小为 \(105\)。
10. 完全平方数质因数指数为偶数。设数为 \(2^{2a} \times 3^{2b}\)。因数个数为 \((2a+1)(2b+1)=9\)。可能组合：\(9=9\times1\) 或 \(3\times3\)。若 \(2a+1=9, 2b+1=1\)，则 \(a=4, b=0\)，数为 \(2^8=256\)。若 \(2a+1=3, 2b+1=3\)，则 \(a=1, b=1\)，数为 \(2^2 \times 3^2 = 36\)。取较小的 \(36\)。

第三关：生活应用

1. 分解 \(1728 = 2^6 \times 3^3\)，其正因数个数为 \((6+1)\times(3+1)=28\) 个。因数有 \(1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,27,32,36,48,54,64,72,96,108,144,192,216,288,432,576,864,1728\)。要求每个GPU图片数大于 \(10\)，则排除 \(1,2,3,4,6,8,9\) 这 \(7\) 个因数。因此分配方案有 \(28 - 7 = 21\) 种。
2. 求 \(90\) 和 \(108\) 的最小公倍数。分解：\(90=2 \times 3^2 \times 5\)， \(108=2^2 \times 3^3\)。最小公倍数取最高次幂：\(2^2 \times 3^3 \times 5 = 540\)（分钟）。
3. 分解 \(3233\)。尝试质数：不能被 \(2,3,5\) 整除。试 \(7\)：\(3233 \div 7 = 461.857...\) 不行。试 \(11\)：\(3233 \div 11 = 293.909...\) 不行。试 \(13\)：不行。试 \(17\)：\(3233 \div 17 = 190.176...\) 不行。试 \(19\)：\(3233 \div 19 = 170.157...\) 不行。试 \(23\)：\(3233 \div 23 = 140.565...\) 不行。试 \(29\)：\(3233 \div 29 = 111.482...\) 不行。试 \(31\)：\(3233 \div 31 = 104.290...\) 不行。试 \(37\)：\(3233 \div 37 = 87.378...\) 不行。试 \(41\)：\(3233 \div 41 = 78.853...\) 不行。试 \(43\)：\(3233 \div 43 = 75.186...\) 不行。试 \(47\)：\(3233 \div 47 = 68.787...\) 不行。试 \(53\)：\(3233 \div 53 = 61\)，整除！所以 \(3233 = 53 \times 61\)。因此 \(p=53, q=61\)（或反之）。
4. \(N = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420\)。判断能否被券额整除：\(420 \div 6 = 70\)，能；\(420 \div 8 = 52.5\)，不能；\(420 \div 10 = 42\)，能。所以可以使用 \(6\) 元和 \(10\) 元面额的优惠券。
5. 求 \(18, 24, 30\) 的最小公倍数。分解：\(18=2 \times 3^2\)， \(24=2^3 \times 3\)， \(30=2 \times 3 \times 5\)。最小公倍数为 \(2^3 \times 3^2 \times 5 = 360\)（秒）。