质数与合数判断练习题与答案解析：试除法详解与易错点

💡 阿星精讲：质数与合数：判断 原理

• 核心概念：想象数字世界是一个化装舞会。有的数像“独行侠”，只能被1和自己整除，它们是质数，比如 \(2, 3, 5\)。有的数则朋友成群，除了1和自己，还有别的因数，它们是合数，比如 \(4=2\times2\)， \(6=2\times3\)。特别要小心那些“伪装者”！它们穿着质数的朴素外衣，迷惑我们的眼睛，比如 \(91\)。乍一看不像偶数，也不是5的倍数，但它悄悄告诉你：\(91 = 7 \times 13\)。所以，\(91\) 是一个著名的“伪装质数”，实为合数。\(1\) 既不是质数也不是合数，它是舞会外好奇的“观察者”。
• 计算秘籍：
  1. 看尾数： 先看个位。如果是 \(0, 2, 4, 6, 8\)，则是偶数（除了\(2\)），为合数。如果个位是 \(0\) 或 \(5\) (除了\(5\))，也是合数。
  2. 试除法： 用较小的质数 \( (2, 3, 5, 7, 11…)\) 去试除。如果试到某个质数正好整除，它就是合数。
  3. 试除到哪里停？ 这是关键！试除到 这个数的平方根 就够了。比如判断 \(97\)，因为 \(\sqrt{97} \approx 9.8\)，所以我们只需要用小于 \(10\) 的质数 \(2, 3, 5, 7\) 去试除即可。\(97 \div 2\) 不整，\(97 \div 3\) 不整，\(97 \div 5\) 不整，\(97 \div 7\) 不整，所以 \(97\) 是质数。
  4. 和为3的倍数： 如果一个数各位数字之和是 \(3\) 的倍数，那么这个数本身也能被 \(3\) 整除（比如 \(87\)， \(8+7=15\)，是3的倍数，所以 \(87\) 是合数）。
• 阿星口诀：
  • 质数合数分得清，因数个数是准绳。
  • 2、3、5、7先看尾，试除要到根号停。
  • 9、1、1是大坏蛋，伪装质数要辨明！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为 \(1\) 是质数。 → ✅ 正解：质数定义要求有且仅有 \(2\) 个因数（\(1\) 和它本身）。\(1\) 只有 \(1\) 个因数，所以它既不是质数，也不是合数。
• ❌ 错误2：判断大数时，盲目地一个一个数试除，不知道何时停止。 → ✅ 正解：采用试除法，并且只需试除到这个数的算术平方根。因为如果一个大数 \(N\) 是合数，它必然有一个因数不大于 \(\sqrt{N}\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断 \(23\) 是质数还是合数。
2. 判断 \(57\) 是质数还是合数。
3. 判断 \(81\) 是质数还是合数。
4. 最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）。
5. 在 \(1, 2, 9, 15, 21, 29\) 中，质数有（ ），合数有（ ）。
6. 一个两位数，个位和十位都是质数，且这个数本身也是质数，这个数可能是（ ）。（写出一个）
7. 两个质数的积是 \(35\)，它们的和是（ ）。
8. 判断 \(101\) 是质数还是合数。
9. 判断 \(121\) 是质数还是合数。
10. 20以内的质数共有（ ）个。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 三个质数的和是 \(80\)，这三个质数的乘积最大是多少？
2. 如果 \(p\) 和 \(p+2\) 都是质数，这样的质数对称为“孪生质数”。\(100\) 以内最大的孪生质数对是（ ）。
3. 一个质数，它加上 \(10\) 是质数，加上 \(14\) 也是质数，这个质数是（ ）。
4. 将 \(42\) 写成两个质数相加的形式：\(42 = ( ) + ( )\)。你能找出所有可能吗？
5. 已知 \(n\) 是自然数，\(n^2 + 5\) 是质数，求 \(n\)。
6. 两个质数的差是 \(15\)，积是 \(34\)，这两个质数是（ ）和（ ）。
7. 判断 \(221\) 是质数还是合数。
8. 三个连续奇数的乘积是 \(315\)，这三个数中最大的质因数是多少？
9. 一个长方形的长和宽都是质数厘米，面积是 \(65\) 平方厘米，周长是多少厘米？
10. \(a, b, c\) 都是质数，且 \(a+b+c=30\)， \(a

第三关：生活应用（5道）

1. （AI与密码） RSA加密算法的基础是极大质数的乘积难以分解。如果阿星想用两个质数 \(p\) 和 \(q\) 生成一个类似“公钥”的合数 \(N\)，他选了 \(p=17\)， \(q=23\)，请问 \(N\) 是多少？并分解这个 \(N\)。
2. （航天周期） 空间站上三个设备A、B、C的自检周期分别是 \(13\) 天、 \(17\) 天、 \(19\) 天（都是质数）。今天它们同时自检，请问至少多少天后它们会再次同时自检？
3. （网购优化） 某电商平台用质数为商品ID分类。一批商品的ID是连续合数： \(91, 92, 93, 94, 95\)。请快速指出其中哪个ID可能是“伪装”得最像质数的合数？并分解它。
4. （游戏设计） 在一个数学游戏里，踩到质数格子加 \(2\) 分，踩到合数格子扣 \(1\) 分。小明依次踩到了 \(21, 37, 52, 79, 100\) 这几个数字格子，他的总分是多少？
5. （资源分配） 将 \(111\) 份纪念品平均分给一些班级，要求每班份数相同且是质数，正好分完。可能有几种分配方案？（每班份数 >1）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 质数。\(\sqrt{23}\approx4.8\)，用 \(2,3\) 试除不整。
2. 合数。\(5+7=12\) 是 \(3\) 的倍数，所以 \(57\) 能被 \(3\) 整除：\(57 \div 3 = 19\)。
3. 合数。\(81=9 \times 9\)。
4. \(2\)， \(4\)。
5. 质数：\(2, 29\)；合数：\(9, 15, 21\)。（注意 \(1\) 不是质数也不是合数）
6. 例如 \(23\)（\(2\) 和 \(3\) 都是质数，且 \(23\) 是质数）。
7. \(12\)。\(35=5\times7\)， \(5+7=12\)。
8. 质数。\(\sqrt{101}\approx10.05\)，用 \(2,3,5,7\) 试除均不整。
9. 合数。\(121=11 \times 11\)。
10. \(8\) 个。\((2,3,5,7,11,13,17,19)\)。

第二关：奥数挑战

1. \(3034\)。要让积最大，三个质数应尽可能接近。\(80=2+37+41\)，积为 \(2\times37\times41=3034\)。
2. \((71, 73)\)。
3. \(3\)。检验：\(3+10=13\)（质数），\(3+14=17\)（质数）。
4. \(42=5+37=11+31=13+29=19+23\)。共 \(4\) 组。
5. \(n=2\) 或 \(n=6\)。当 \(n=2\)， \(n^2+5=9\) 是合数？题目说“是质数”，所以检查：\(n=2\)时，\(2^2+5=9\)（合数），不符。需验证：\(n=0\)， \(0^2+5=5\)（质数）；\(n=6\)， \(6^2+5=41\)（质数）。故答案为 \(n=0\) 或 \(n=6\)。（通常考虑自然数包括0）
6. \(2\) 和 \(17\)。\(17-2=15\)， \(17\times2=34\)。
7. 合数。\(\sqrt{221}\approx14.9\)，用 \(13\) 试除：\(221\div13=17\)。所以 \(221=13\times17\)。
8. \(7\)。设三个奇数为 \(n-2, n, n+2\)。积为 \(n(n^2-4)=315\)，试得 \(n=7\)，三数为 \(5,7,9\)。其中最大质因数为 \(7\)（\(9\) 的质因数是 \(3\)）。
9. \(36\) 厘米。面积 \(65=5\times13\)，周长 \(=(5+13)\times2=36\)。
10. \(a=2, b=11, c=17\)。三奇质数和为偶数，必有一个偶质数 \(2\)。所以 \(b+c=28\)，尝试得 \(b=11, c=17\)。

第三关：生活应用

1. \(N = p \times q = 17 \times 23 = 391\)。分解它就是 \(391 = 17 \times 23\)。
2. \(13 \times 17 \times 19 = 4199\) 天。因为周期两两互质（都是质数），最小公倍数即它们的乘积。
3. \(91\)。它就是著名的“伪装质数”， \(91=7\times13\)。
4. \(1\) 分。\(21\)(合，-1)， \(37\)(质，+2)， \(52\)(合，-1)， \(79\)(质，+2)， \(100\)(合，-1)。总分：\((-1)+2+(-1)+2+(-1)=1\)。
5. \(2\) 种。将 \(111\) 分解质因数：\(111=3\times37\)。每班份数是质数且大于 \(1\)，所以可以是 \(3\) 或 \(37\)。对应班级数为 \(37\) 或 \(3\)。