期末复习：八年级数学上册整式乘法考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：易错：整式乘法 核心考点速记
【开篇语：整式乘法是代数运算的基石，期末试卷中必然出现！通常以选择、填空和综合计算大题的形式考察，既是送分点，也是粗心失分重灾区。掌握规律，一分不丢！】
- 必背概念：整式乘法主要包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。核心思想是“分配律”。就像创意切入点所说：(a+b)(m+n)，可以想象成a和b两个人，要分别去和m、n握手，会产生am， an， bm， bn一共4次“握手”（4项），一个都不能少，最后再整理合并。
- 阿星顺口溜：“单项相乘，系数乘，同底幂相加；遇到多项式，分配律当家；两项乘两项，握手四次不能忘；乘完合并同类项，检查符号和指数！”
- 万能公式：
- 单项式乘法：\( (kx^a)(ly^b) = (kl)x^{a}y^{b} \)（k、l为系数）
- 单项式乘多项式：\( m(a+b+c) = ma + mb + mc \)
- 多项式乘多项式：\( (a+b)(m+n) = am + an + bm + bn \)
- 完全平方公式：\( (a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \)
- 平方差公式：\( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解：计算 \((x-2y)^2\) 时，直接写成 \(x^2 - 4y^2\) 或 \(x^2 + 4y^2\)。
- ✅ 满分规范：这是混淆了“完全平方公式”和“平方差公式”，且漏掉了中间项。必须按公式展开：\((x-2y)^2 = x^2 - 2\cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2\)。
- ❌ 常见错解：计算 \((-2a^2)(3ab - b^2)\) 时，第二项符号出错，写成 \(-2a^2 \cdot 3ab + 2a^2 \cdot b^2\)。
- ✅ 满分规范：单项式乘以多项式时，必须用单项式去乘多项式的每一项，包括符号！正确过程：原式 = \((-2a^2)\cdot(3ab) + (-2a^2)\cdot(-b^2) = -6a^3b + 2a^2b^2\)。建议先把负号看作系数的一部分。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：（期末真题改编）计算 \(2x \cdot (-3xy^2)^2\) 的结果是（ ）。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——考察积的乘方和单项式乘法，运算顺序是先乘方，后乘除。
- 第二步：快速求解——先算 \((-3xy^2)^2 = 9x^2y^4\)，再算 \(2x \cdot 9x^2y^4 = 18x^3y^4\)。
✅ 答案：\(18x^3y^4\)
模型 2：公式灵活运用题（化简求值）
题目：（期末真题改编）先化简，再求值：\((2x+1)(x-2) - (x-1)^2\)，其中 \(x = -\frac{1}{2}\)。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点——多项式乘法和完全平方公式的混合运算。
- 第二步：快速求解——先展开：\((2x+1)(x-2)=2x^2-4x+x-2=2x^2-3x-2\)；\((x-1)^2=x^2-2x+1\)。然后相减：\((2x^2-3x-2) - (x^2-2x+1) = x^2 - x - 3\)。最后代入 \(x = -\frac{1}{2}\)：\((-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) - 3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 3 = -\frac{9}{4}\)。
✅ 答案：化简得 \(x^2 - x - 3\)，求值得 \(-\frac{9}{4}\)。
模型 3：实际应用或规律探究题
题目：如图，将一个大正方形纸片剪成四个形状大小相同的小矩形，已知大正方形的边长为 \(a+b\)，小矩形的长为 \(a\)，宽为 \(b\)。
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（1）用两种不同的方法表示四个小矩形的总面积。
（2）根据（1）的结果，你能得到什么恒等式？
📌 秒杀技巧：
- 第一步：形数结合——题目本质是“数形结合验证乘法公式”。总面积法一（整体）：大正方形面积 \((a+b)^2\)；法二（部分和）：四个矩形加中间小正方形，或直接表示为 \(4ab + (a-b)^2\)？仔细看图，四个矩形拼在四周，中间会空出一个边长为 \((a-b)\) 的小正方形？需要文字说明：“如图，设大正方形边长为a+b，被分成…”。
- 第二步：建立联系——更经典的模型是：大正方形面积 \((a+b)^2\) 等于两个小正方形面积 \(a^2, b^2\) 加上两个长方形面积 \(2ab\)。由此得到恒等式 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。本题图形需调整描述。
✅ 答案：（1）方法一：\((a+b)^2\)；方法二：\(a^2 + 2ab + b^2\)（根据图形，总面积也可看作1个边长为a的正方形、2个ab长方形和1个边长为b的正方形组成）。（2）恒等式：\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 计算：\(3x^2 \cdot 5x^3 =\) \_\_\_\_\_\_。
- 计算：\(-2a(3a - 4b) =\) \_\_\_\_\_\_。
- 计算：\((x+2)(x-3) =\) \_\_\_\_\_\_。
- 运用平方差公式计算：\((2m+1)(2m-1) =\) \_\_\_\_\_\_。
- 运用完全平方公式计算：\((3x - 2)^2 =\) \_\_\_\_\_\_。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 化简：\((2x - y)(x + 3y) - x(2x - y)\)。
- 已知 \(x^2 - 4x + 1 = 0\)，求 \((x-2)^2\) 的值。
- 若 \((x + p)(x + q) = x^2 + mx + 6\)，且 \(p, q, m\) 均为整数，则 \(m\) 的所有可能值之和为 \_\_\_\_\_\_。
- 一个长方形的长增加 \(3\)，宽减少 \(1\)，得到一个新长方形。设原长方形长为 \(a\)，宽为 \(b\)，用含 \(a, b\) 的式子表示新长方形面积比原面积增加了多少？
- 先化简，再求值：\((a+2b)(a-2b) + (a+2b)^2 - 4ab\)，其中 \(a=1, b=-\frac{1}{2}\)。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 已知 \(a + b = 5, ab = 3\)，求 \(a^2 + b^2\) 和 \((a-b)^2\) 的值。
- 观察下列等式：
\(1 \times 3 = 2^2 - 1\)，
\(2 \times 4 = 3^2 - 1\)，
\(3 \times 5 = 4^2 - 1\)，
…
请写出第 \(n\) 个等式（用含 \(n\) 的式子表示），并证明其正确性。 - 已知实数 \(x\) 满足 \(x - \frac{1}{x} = 3\)，求 \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) 和 \(x^4 + \frac{1}{x^4}\) 的值。
- 计算：\((2+1)(2^2+1)(2^4+1)...(2^{64}+1) + 1\)。（提示：巧用平方差公式）
- 已知多项式 \(A = 2x^2 + 3xy - 2y^2\)，\(B = x^2 + 2xy + y^2\)。若 \(A \cdot B\)（即A乘以B）的积中不含 \(x^3y\) 项，求 \(x, y\) 满足的关系式。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：阿星推荐“倒序检查法”和“特殊值检验法”。1. 倒序检查：从最后一步往回推，看每一步的符号、系数、指数是否正确。2. 特殊值法：对于化简求值或恒等式证明的题目，可以在草稿纸上取一个简单的数（如x=1）代入原式和你的结果，看是否相等。这能快速排查重大计算错误。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：千万不要空着！用“握手原则”现场推导！例如，忘了 \((a+b)^2\) 的公式，就写成 \((a+b)(a+b)\)，然后用多项式乘法法则一项一项乘开：\(a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2 + 2ab + b^2\)。虽然慢一点，但绝对能拿到分数。
参考答案
第一关：1. \(15x^5\) 2. \(-6a^2 + 8ab\) 3. \(x^2 - x - 6\) 4. \(4m^2 - 1\) 5. \(9x^2 - 12x + 4\)
第二关：1. \(-2x^2 + 5xy - 3y^2\) 2. \(3\) （由已知得 \((x-2)^2 = x^2-4x+4 = (x^2-4x+1)+3=3\)） 3. \(±5, ±7\)，和为0 4. 新面积: \((a+3)(b-1)=ab -a+3b-3\)，比原面积增加: \((-a+3b-3)\) 5. 化简得 \(2a^2\)，求值得 \(2\)。
第三关：1. \(a^2+b^2=19\), \((a-b)^2=13\) 2. 第n个等式: \(n(n+2) = (n+1)^2 - 1\)，证明：右边= \(n^2+2n+1-1=n^2+2n=n(n+2)\)=左边。 3. \(x^2+\frac{1}{x^2}=11\), \(x^4+\frac{1}{x^4}=119\) 4. \(2^{128}\) （提示：前面补乘(2-1)，连锁使用平方差） 5. 关系式为 \(y = -2x\) 或 \(x = -\frac{y}{2}\)。（计算出A*B，找出\(x^3y\)项系数令其为0）