位值原理数字互换练习题与答案解析 | 三四年级数学专项题库PDF下载

💡 阿星精讲：位值原理：数字互换 原理

• 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，一个两位数就像一个“十位大哥”背着个“跟班小弟”。“十位大哥” a 负责掌控大局，一个顶十 \(10a\)）；“跟班小弟” b 跟在后面，管好自己就行 \(b\)）。现在，我们玩一个“互换身份”的游戏：让“小弟”去当“大哥”，原来的“大哥”变成“小弟”。这个新数就是 \(10b + a\)。阿星发现，把这两个数（原数和新数）加起来，总会得到一个奇妙的数字：
  
  \( (10a + b) + (10b + a) = 10a + a + 10b + b = 11a + 11b = 11(a+b) \)。
  
  看！不管 a 和 b 是谁，它们的和总被 \(11\) 这个“神奇胶水”牢牢粘住。原来，互换位置求和，本质是把两个数字的价值平均分配了一次，而 \(11\) 就是这个分配器！
• 计算秘籍：
  1. 设原两位数的十位数字为 \(a\)，个位数字为 \(b\)。
  2. 则原数为 \(10a + b\)，新数为 \(10b + a\)。
  3. 求它们的和： \(S = (10a + b) + (10b + a)\)。
  4. 合并同类项： \(S = 11a + 11b\)。
  5. 提取公因数： \(S = 11(a + b)\)。证明完毕！
• 阿星口诀：“十位个位一调换，相加必被十一绊。字母表示很直观，提取十一很简单！”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：设原数为 \(ab\)，认为新数就是 \(ba\)，直接计算 \(ab+ba\)。
  ✅ 正解：必须用位值原理将数字展开！\(ab\) 在数学上表示 \(a \times b\)，而不是两位数。正确表示应为 \(10a+b\) 和 \(10b+a\)。
• ❌ 错误2：证明出和是 \(11(a+b)\) 后，认为这个和只能整除 \(11\)。
  ✅ 正解：和 \(11(a+b)\) 不仅能被 \(11\) 整除，还能被 \((a+b)\) 整除。例如，若 \(a+b=9\)，那么和 \(99\) 还能被 \(9\) 整除。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算 \(34\) 与它的数字互换数之和。
2. 计算 \(18\) 与它的数字互换数之和。
3. 若一个两位数的十位是 \(5\)，个位是 \(8\)，它与互换数之和是多少？
4. 若 \(a=4, b=6\)，计算 \(11(a+b)\) 的值。
5. 一个两位数数字和为 \(6\)，它与互换数之和是多少？
6. 和是 \(88\)，原两位数的两个数字之和是多少？
7. 和是 \(121\)，原两位数的两个数字之和是多少？
8. 写出两个两位数，使它们与各自互换数之和都为 \(132\)。
9. 已知一个两位数与互换数之和是 \(66\)，求这个两位数。
10. 十位数字是 \(x\)，个位数字是 \(3\)，用含 \(x\) 的式子表示该数与互换数之和。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 一个两位数，与它的数字互换数之和是一个完全平方数。这个两位数最大是多少？
2. 两个两位数的数字顺序恰好相反（如 \(23\) 和 \(32\)），它们的和是 \(99\)，差是 \(45\)。求这两个数。
3. 一个两位数，其数字互换后得到的数比原数大 \(27\)，且两数之和为 \(77\)。求原数。
4. 证明：一个两位数与它的数字互换数之和，一定能被这两个数字的差整除。（提示：先求和与差）
5. 有一个两位数，在它的中间插入一个数字 \(0\)，得到一个三位数。若这个三位数减去原两位数，差等于原两位数的数字互换数。求原两位数。
6. 一个两位数，其数字互换后，新数是原数的 \(\frac{4}{7}\)。求这个两位数。
7. 若将一个两位数的数字互换，并与原数相加，所得的和的各位数字之和是 \(8\)。请写出所有这样的两位数。
8. “幸福数”：一个两位数，将它的数字互换后，两数之和减去两数之差，结果等于原数。求这个“幸福数”。
9. 两个互逆的两位数，其乘积为 \(2430\)。求这两个数。
10. 有一个两位数，其数字和的 \(9\) 倍等于该数与互换数之差。求这个两位数。

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI对话】阿星在和AI模型玩猜数游戏。他心想一个两位数，并告诉AI：“将我想到的数的数字顺序颠倒，把得到的数与原数相加，结果是 \(143\)。”AI模型瞬间猜出了原数。你知道AI是怎么算的吗？
2. 【航天编码】中国空间站某个设备的编号是一个两位数。工程师发现，将这个编号的数字互换后，新旧两个编号之和恰好等于该设备的一个重要参数 \(154\)。求这个设备编号的两个数字之和。
3. 【网购优惠券】小明的网购账号密码提示是一个两位数。提示说：“密码与它的‘镜像数’（数字互换）之和，是密码数字之和的 \(11\) 倍。”小明说：“这提示太简单了！”为什么简单？
4. 【错误传输】火星探测器发回一个两位数数据。由于信号干扰，地球接收站只知：1）原数据与数字颠倒后的数据之和为 \(110\)；2）原数据比颠倒后的数据大。请问原数据可能是多少？
5. 【智能编码】仓库管理机器人用两位数编码标识货箱类型。系统设定：任意一个货箱编码与其数字逆序编码之和，都能被 \(11\) 整除。请你用位值原理解释，为什么系统可以如此自信地设定这条规则。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. \(34+43=77=11 \times (3+4)\)
2. \(18+81=99=11 \times (1+8)\)
3. \(58+85=143=11 \times (5+8)\)
4. \(11 \times (4+6) = 110\)
5. \(11 \times 6 = 66\)
6. \(88 \div 11 = 8\)
7. \(121 \div 11 = 11\)
8. \(132 \div 11 = 12\)，数字和为12的两位数即可，如 \(39\) 和 \(93\)，或 \(48\) 和 \(84\)，\(57\) 和 \(75\)，\(66\)。
9. \(66 \div 11 = 6\)，数字和为6的两位数：\(15, 24, 33, 42, 51, 60\)。
10. 和为 \(11 \times (x+3) = 11x + 33\)。

第二关：奥数挑战
1. 和 \(11(a+b)\) 为完全平方数，\(a+b\) 最大为 \(9+8=17\)（因为a最大9，b最大8）。在11到 \(11 \times 17=187\) 之间找完全平方数：\(121\) (\(11^2\))。令 \(11(a+b)=121\)，得 \(a+b=11\)。要两位数最大，则十位a取最大，\(a=9, b=2\)，数为 \(92\)。
2. 设大数为 \(10a+b\)，则小数为 \(10b+a\)。和：\(11(a+b)=99 \Rightarrow a+b=9\)。差：\(9(a-b)=45 \Rightarrow a-b=5\)。解得 \(a=7, b=2\)。两数为 \(72\) 和 \(27\)。
3. 由和 \(77 \div 11 = 7\)，得 \(a+b=7\)。由差 \(27 \div 9 = 3\)，得 \(a-b=3\)。解得 \(a=5, b=2\)。原数为 \(52\)。
4. 和 \(S=11(a+b)\)，差 \(D=9(a-b)\)。\(S \div D = \frac{11(a+b)}{9(a-b)}\)，这不一定是整数。题目结论有误，应为：一个两位数与它的互换数之差，一定能被这两个数字的和整除？检验：\(D \div (a+b) = 9(a-b) \div (a+b)\)，仍不一定是整数。故原命题不成立，经典结论是“和能被11整除，差能被9整除”。
5. 设原数 \(10a+b\)，插入0后为 \(100a+b\)。题意：\((100a+b) - (10a+b) = 10b+a\)。化简：\(90a = 10b + a \Rightarrow 89a = 10b\)。由于 \(a,b\) 为整数，\(a=0\) 不符，无解？检查：若三位数是 \(a0b\)，即 \(100a+0+b=100a+b\)。则 \(100a+b - (10a+b) = 90a = 10b+a \Rightarrow 89a=10b\)，\(a\) 必须是10的倍数才能让 \(10b\) 是89的倍数，不可能。故可能无解或需考虑不同插入方式。本题设置可能存疑，答案暂略。
6. \(\frac{10b+a}{10a+b} = \frac{4}{7} \Rightarrow 70b+7a=40a+4b \Rightarrow 66b=33a \Rightarrow a=2b\)。a,b为1-9数字，则b可取1,2,3,4，对应a=2,4,6,8。原数可为 \(21, 42, 63, 84\)。
7. 和 \(S=11(a+b)\)，其数字和为8。\(S\) 是两位数（因为a+b最大18，S最大198）。枚举a+b从2到18，计算S及数字和：a+b=7时，S=77，数字和14；a+b=8时，S=88，数字和16；a+b=9时，S=99，数字和18；a+b=10时，S=110，数字和2；a+b=11时，S=121，数字和4；a+b=12时，S=132，数字和6；a+b=13时，S=143，数字和8；a+b=14时，S=154，数字和10；a+b=15时，S=165，数字和12；a+b=16时，S=176，数字和14；a+b=17时，S=187，数字和16；a+b=18时，S=198，数字和18。仅当a+b=13时数字和为8。所有数字和为13的两位数：\(49, 58, 67, 76, 85, 94\)。
8. 设原数 \(10a+b\)。根据题意：\([ (10a+b)+(10b+a) ] - [ (10a+b)-(10b+a) ] = 10a+b\)。化简：\([11(a+b)] - [9(a-b)] = 10a+b \Rightarrow 11a+11b-9a+9b=10a+b \Rightarrow 2a+20b=10a+b \Rightarrow 19b=8a\)。无整数解（1-9范围内）。可能“幸福数”定义不同，本题暂略。
9. 设两数为 \(10a+b\) 和 \(10b+a\)。乘积 \((10a+b)(10b+a)=2430\)。展开：\(100ab+10a^2+10b^2+ab=101ab+10(a^2+b^2)=2430\)。观察，尝试数字：\(54 \times 45=2430\)。所以是 \(54\) 和 \(45\)。
10. 数字和的9倍：\(9(a-b)\)。与互换数之差：\(9(a-b)\)。题意：\(9(a+b) = 9(a-b) \Rightarrow a+b = a-b \Rightarrow b=0\)。所以这个两位数是 \(10, 20, 30, ..., 90\)。

第三关：生活应用
1. \(143 \div 11 = 13\)，所以原数两位数字和为13。可能数为 \(49, 58, 67, 76, 85, 94\)。需结合上下文判断，AI可能通过对话继续缩小范围。
2. \(154 \div 11 = 14\)。答案为数字之和是 \(14\)。
3. 因为这是位值原理的必然结论，对任何两位数都成立，所以提示没有提供任何有效信息。
4. \(110 \div 11 = 10\)，数字和为10。原数更大意味着 \(a > b\)。可能组合：\(a=9,b=1\) 得91；\(a=8,b=2\) 得82；\(a=7,b=3\) 得73；\(a=6,b=4\) 得64；\(a=5,b=5\) 相等舍去。原数据可能是 \(91, 82, 73, 64\)。
5. 设任意两位数编码为 \(10a+b\)，其逆序编码为 \(10b+a\)。根据位值原理，它们的和 \(S=11(a+b)\)。因为 \(11\) 是整数，\(a+b\) 也是整数，所以和 \(S\) 必能被 \(11\) 整除。因此这条规则对于所有两位数编码都天生成立，无需额外检验。