频数分布直方图深度解析：数据积木法彻底搞懂面积与频数关系专项练习题库

💡 阿星精讲：频数分布直方图 原理

• 核心概念：同学们，想象一下你有一大堆颜色各异的乐高积木。现在，我们要按颜色把它们分类，然后搭成一面“数据墙”。在“频数分布直方图”的世界里，每一个长方形，就是一块“数据积木”。这些积木不是随便搭的，它们的“宽度”（组距）代表了数据的一个范围（比如身高从 \( 150\text{cm} \) 到 \( 160\text{cm} \)），而它们的“高度”呢？注意了，并不是直接代表这组数据的个数（频数）。真正的奥秘在于：每块积木的“面积”才等于这组数据的个数！阿星敲黑板：长方形面积代表频数，组距和组数要分清。这意味着，如果积木的宽度（组距）变了，它的高度（纵轴数值）也要跟着变，才能保证面积正确。
• 计算秘籍：要制作或理解这面“数据积木墙”，请按以下步骤：
  1. 找范围与分组：计算数据最大值与最小值的差，即极差。公式：\( \text{极差} = \text{最大值} - \text{最小值} \)。根据数据量决定分成多少组（组数），然后用 \( \text{组距} = \frac{\text{极差}}{\text{组数}} \)（通常取整）来确定每块“积木”的宽度。
  2. 数数量（频数）：数出落在每个小组内的数据个数，这就是“频数”，它是我们每块积木的“目标面积”。
  3. 关键计算（频率/频数密度）：纵坐标可以是“频数”，这时长方形的高就是频数。但如果是“频率分布直方图”或组距不等时，纵坐标是频率/组距（即频数密度），此时长方形的高 \( = \frac{\text{频数}}{\text{组距}} \) 或 \( = \frac{\text{频率}}{\text{组距}} \)。此时，面积 = 组距 × 频率/组距 = 频率，所有长方形面积之和为 \( 1 \)。
• 阿星口诀：数据积木排排坐，面积大小频数说。组距宽度要统一，高为密度要牢记！

📐 图形解析

下面我们用“数据积木”来搭建一个简单的频数分布直方图。假设我们调查了20位同学每天阅读的时间（单位：分钟），分组结果如下：

• 第一组：\( 0 \leq t < 30 \)， 频数：\( 2 \)
• 第二组：\( 30 \leq t < 60 \)，频数：\( 8 \)
• 第三组：\( 60 \leq t < 90 \)，频数：\( 6 \)
• 第四组：\( 90 \leq t < 120 \)，频数：\( 4 \)

所有组距（积木宽度）相同，为 \( 30 \) 分钟。当组距相等时，我们可以直接用长方形的高代表频数。这时，每个长方形的面积 \( S = \text{组距} \times \text{频数} \)。

如图所示，每一块蓝色“积木”（长方形）的面积直接对应落入该时间段的学生人数（频数）。例如，第二块积木的宽度（组距）为 \( 30 \)，高度对应频数 \( 8 \)，其面积 \( S = 30 \times 8 = 240 \)（面积单位），这个“240”就代表了 \( 8 \) 个学生。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把长方形的高度直接当作这组数据的个数，而不考虑组距是否相等。✅ 正解：牢记“面积代表频数（或频率）”。只有当所有组距相等时，高度才与频数成正比，可以直接比较高度。若组距不等，必须比较面积或计算频数密度（高）。
• ❌ 错误2：在计算频率分布直方图的某个数据范围的频率时，只数了几个长方形的高度。✅ 正解：频率分布直方图中，概率（频率）由面积求解。例如求数据在 \( [a, b) \) 内的频率，需要找出覆盖该范围的所有长方形，计算它们的面积和。公式：\( \text{频率} = \sum (\text{组距} \times \frac{\text{频率}}{\text{组距}}) \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个样本有50个数据，落在某组的频数是10，那么这个组的频率是______。
2. 在频数分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）。
   • A. 组距
   • B. 频数
   • C. 频率
   • D. 频率/组距
3. 已知一个容量为80的样本，把它分成6组，第三组频数是18，则第三组的频率是______。
4. 绘制频数分布直方图时，计算出最大值与最小值的差为25，若取组距为4，则组数应为______。
5. 在等距分组中，各小长方形的高的比等于______的比。
6. 一个样本的频数分布直方图中共有5个小长方形，已知中间一个小长方形的高是其余4个小长方形高的和的 \( \frac{1}{3} \)，且样本容量为80，则中间一组的频数为______。
7. 在频率分布直方图中，所有小长方形的面积之和等于______。
8. 根据下面的频数分布表，制作频数分布直方图（草图）。

9. 上题中，数据落在30.5~35.5的频率是______。
10. 若将上题分组中的“20.5~25.5”改为“20~25”，组距是否变化？______。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题）某校为了解学生体能，抽查了部分学生一分钟跳绳次数，并绘制了频数分布直方图。已知从左到右前四个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，0.1，组距为5。若跳绳次数在100次以上（含100）为达标，则达标人数占总抽查人数的百分比为______。
2. （中考真题）样本容量为80的频数分布直方图中，有11个小长方形。若中间一个小长方形的高等于其余10个小长方形高的和的 \( \frac{1}{4} \)，则中间一组的频数是______。
3. 在频率分布直方图中，共有11个小长方形，中间一个小长方形的面积等于其余10个小长方形面积和的 \( \frac{1}{4} \)，且样本容量为160，则中间一组的频数为______。
4. （中考真题）对某班学生一次数学测验成绩进行统计分析，各分数段的人数如图所示（分数取正整数）。请观察图形，回答：该班有学生______人；70.5~80.5这一组的频数是______，频率是______。
5. （结合图形，题目描述图形特征：如横轴分数，纵轴人数，图形有5个长方形，高度分别为4， 8， 12， 10， 6）
6. 一组数据的最大值是97，最小值是56，若组距为6，则组数应为______。
7. 已知一个样本：27，23，25，27，29，31，27，30，32，31，28，26，27，29，28，24，26，27，28，30。以2为组距，列出频数分布表，并画出频数分布直方图。
8. 从频率分布直方图中可以估计出样本的平均数。方法是：用每个小长方形的______乘以该组中点值，然后求和。
9. （中考真题）某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行长度测量。将所得数据分组整理后，绘制了如图所示的频率分布直方图。已知从左到右各小长方形的面积之比为2：4：3：1，且第二组的频数为8，则这批棉花纤维长度的中位数位于第______组。
10. （开放题）请指出频数分布直方图和条形统计图的主要区别（至少两点）。

第三关：生活应用（5道）

1. （城市规划）交通部门为调查某路口早高峰期间车流量，记录了每分钟通过的车辙数，共记录120分钟。为了制定信号灯配时方案，需要了解车流量的集中分布区间。请你设计一个分组方案（确定组距和组数），并说明如何用频数分布直方图呈现结果以辅助决策。
2. （质量控制）某工厂生产一批螺栓，标准长度为50mm。质检员随机抽取100个，测量其长度并绘制了频率分布直方图。如果直方图显示长度在49.8mm~50.2mm之间的长方形面积占总面积的90%，你如何向生产经理汇报这批产品的质量情况？
3. （环境监测）环保局连续30天记录了一片区域的PM2.5日均浓度（单位：μg/m³）。为了评估空气质量达标情况（国家标准为75μg/m³），他们绘制了频率分布直方图。如果浓度低于75的长方形面积之和为0.7，请解释这个0.7的实际意义。
4. （商业分析）某网店统计了最近1000笔订单的金额（单位：元），并绘制了频数分布直方图。店主发现，订单金额在100-200元区间的“积木”面积最大。这个信息对店主安排促销活动有什么启示？
5. （身高调查）学校医务室为初一新生测量身高，并计划绘制频数分布直方图。如果男生和女生的身高分布有明显差异，你认为应该分开绘制还是合并绘制？为什么？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \frac{10}{50} = 0.2 \)
2. B（频数分布直方图）和C（频率分布直方图）都有可能。严格来说，对于频数分布直方图（组距相等），面积代表频数(B)；对于频率分布直方图，面积代表频率(C)。但中考常默认组距相等，选B。
3. \( \frac{18}{80} = 0.225 \)
4. \( 25 \div 4 = 6.25 \approx 7 \)（组）(通常取比商大的最小整数)
5. 频数
6. 设中间一组频数为 \( x \)，则其余四组频数和为 \( 80 - x \)。由题意 \( x = \frac{1}{3}(80 - x) \)，解得 \( 4x = 80 \)， \( x = 20 \)。
7. \( 1 \)
8. （草图略，注意横轴标注组界，纵轴为频数，长方形连续排列）
9. 总频数 \( = 4+8+10+6+2 = 30 \)，频率 \( = \frac{10}{30} \approx 0.333 \)
10. 不变，仍是 \( 5 \)。(组距=上限-下限)

第二关：中考挑战

1. 达标组为第三、四组，频率和为 \( 0.4 + 0.1 = 0.5 \)，即 \( 50\% \)。
2. 设中间一组频数为 \( x \)，则其余十组频数和为 \( 80 - x \)。\( x = \frac{1}{4}(80 - x) \Rightarrow 5x = 80 \Rightarrow x = 16 \)。
3. 在频率分布直方图中，长方形面积=频率。设中间一组频率为 \( f \)，则 \( f = \frac{1}{4}(1 - f) \Rightarrow 5f = 1 \Rightarrow f = 0.2 \)。故频数 \( = 0.2 \times 160 = 32 \)。
4. （需结合具体图形）假设图形给出各高度：4, 8, 12, 10, 6。则总人数= \( 4+8+12+10+6 = 40 \)；70.5~80.5频数为 \( 12 \)；频率为 \( \frac{12}{40} = 0.3 \)。
5. （同第4题，图形描述省略）
6. 极差 \( = 97 - 56 = 41 \)，\( 41 \div 6 \approx 6.83 \)，故组数应为 \( 7 \)。
7. 样本数据范围约为23-32。以2为组距，分组可为22.5~24.5， 24.5~26.5， 26.5~28.5， 28.5~30.5， 30.5~32.5。统计频数后画图（略）。
8. 面积（即频率）
9. 设四组面积（频率）分别为 \( 2k, 4k, 3k, 1k \)。则 \( 2k+4k+3k+1k=1 \Rightarrow k=0.1 \)。第二组频率 \( 0.4 \)，频数8，故样本容量 \( = 8 \div 0.4 = 20 \)。中位数应是第10、11个数据的平均数。第一组频数 \( = 20*0.2=4 \)，第二组频数8，累计至第二组末为12，故第10、11个数在第二组内。所以中位数位于第二组。
10. ① 直方图的长方形是连续排列的，表示数据是连续的、分组的；条形统计图的长条形是分开排列的，表示数据是离散的、独立的。② 直方图用面积表示频数或频率；条形图用高度（长度）表示数量。

第三关：生活应用（解析要点）

1. 可先计算极差，组距可取5或10，组数6-12组为宜。直方图能直观显示车流量集中在哪个分钟数区间，帮助设定绿灯时长。
2. 可汇报：根据抽样，这批螺栓有90%的产品长度落在标准值附近±0.2mm的范围内，质量控制良好。
3. 这表示在这30天中，有 \( 30 \times 0.7 = 21 \) 天空气质量达标，达标率为70%。
4. 说明100-200元是客户最常消费的区间。促销活动可以针对这个区间的商品，或者设置满减门槛来鼓励向更高金额区间转化。
5. 应该分开绘制。因为合并绘制会混淆两个不同的总体分布，无法清晰看出各自的身高分布特点和集中趋势（如男女各自的平均身高）。分开绘制便于分别进行统计分析。