平行线分线段成比例定理深度解析：A字模型与8字模型全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：平行线分线段 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来玩一个“找影子”的游戏。想象一下，太阳光（一组平行线）照在一个三角形上，它在地上投出的影子，是不是和它自己形状一模一样，只是大小不同？这就是“相似”。而“平行线分线段成比例”就是描述这个影子游戏里的数学规则。特别地，我们会遇到两个经典模特：“A字模特”和“8字模特”。

  “A字模特”：当一条直线平行于三角形的一边，并与另外两边相交，就构成了一个躺在原三角形里面的小三角形，像一个躺倒的“A”字。阿星说：这个小三角形和原来的大三角形一定是相似的！即 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)。

  “8字模特”：在梯形中，连接对角线后，被平行线段所截，图形看起来像一个横着的“8”字（或沙漏）。其中的两个三角形也是相似的！即 \( \triangle AOB \sim \triangle DOC \)。

  抓住这两个模特，你就抓住了这个知识点的灵魂！

• 计算秘籍：

  从相似出发，我们能得到最重要的比例关系。

  对于“A字模特”：因为 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)，所以对应边成比例：
  \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]
  这个比例式意味着，线段 \(AB\) 和 \(AC\) 被同一条平行线 \(DE\) 分割成的两部分比例是相等的。即：
  \[ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \]

  对于“8字模特”：因为 \( \triangle AOB \sim \triangle DOC \)，所以：
  \[ \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} \]

  秘诀就是：先找“A”字或“8”字，锁定相似三角形，然后列出比例式。

• 阿星口诀：平行线，分线段，A字8字是关键。对应边，成比例，交叉相乘解谜题。

📐 图形解析

让我们用图形来具象化这两个核心“模特”。

“A字模特”图示： 条件：\( DE \parallel BC \)

结论：\( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)，因此有 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \)。

“8字模特”图示： 条件：\( AB \parallel DC \)

结论：\( \triangle AOB \sim \triangle DOC \)，因此有 \( \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{AB}{DC} \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到线段被分，不找“A”或“8”就直接瞎比。例如，在“A字模特”中，错误地认为 \( \frac{AD}{DB} = \frac{BC}{DE} \)。
  ✅ 正解：必须严格依据相似三角形的对应边来写比例。先证明或指出“A字”相似，再列出如 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) 这样的比例式。
• ❌ 错误2：在列比例式时，线段顺序混乱。比如写 \( \frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \)，这只有在 \( DE \parallel BC \) 时才成立（对应边成比例），但顺序不统一容易出错。
  ✅ 正解：遵循“同一三角形的边比”原则。要么都是小三角形的边比等于大三角形的对应边比 \( (\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}) \)，要么是上比全等于上比全 \( (\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}) \)，确保分子分母来自同一个三角形或对应的位置。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，\( l_1 \parallel l_2 \parallel l_3 \)，直线 \( a, b \) 被它们所截。若 \( AB=3 \)，\( BC=5 \)，\( DE=4 \)，求 \( EF \) 的长。
2. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( DE \parallel BC \)，\( AD=2 \)，\( BD=4 \)，\( DE=3 \)，求 \( BC \)。
3. 如图，梯形 \( ABCD \) 中，\( AD \parallel BC \)，\( AC \)、\( BD \) 交于 \( O \)，\( AD=2 \)，\( BC=6 \)，则 \( S_{\triangle AOD} : S_{\triangle COB} = \) ______。
4. 已知 \( \frac{a}{b} = \frac{2}{3} \)，且 \( b = 12 \)，求 \( a \) 的值。
5. 若 \( \frac{x}{5} = \frac{y}{7} \)，且 \( x+y = 24 \)，求 \( x, y \) 的值。
6. 判断题：平行线所截得的线段一定相等。（ ）
7. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( D, E \) 分别在 \( AB, AC \) 上，且 \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)，那么 \( DE \) 与 \( BC \) 平行吗？为什么？
8. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( \angle ACB=90^\circ \)，四边形 \( DEFG \) 是正方形，点 \( D, G \) 分别在 \( AC, BC \) 上，\( E, F \) 在 \( AB \) 上。若 \( AD=3 \)，\( DG=4 \)，求 \( BE \) 的长。（提示：寻找多个A字模型）
9. 利用比例性质，化简：\( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)，证明 \( \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \)。
10. 生活题：小明的影子长 \( 2 \) 米，同时刻一棵树的影子长 \( 8 \) 米。已知小明身高 \( 1.6 \) 米，求树的高度。（原理：太阳光是平行光）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( D, E \) 分别是 \( AB, AC \) 上的点，\( DE \parallel BC \)。若 \( AD=6 \)，\( BD=3 \)，\( AE=4 \)，则 \( CE \) 的长是______。
2. （中考真题改编）如图，\( \triangle ABC \) 中，\( DE \parallel BC \)，\( EF \parallel AB \)。若 \( AD:DB=3:2 \)，\( BC=20 \)，则 \( FC = \) ______。
3. （中考真题改编）如图，在平行四边形 \( ABCD \) 中，\( E \) 是 \( AD \) 的中点，\( BE \) 交 \( AC \) 于点 \( F \)，则 \( \frac{AF}{FC} = \) ______。
4. 已知 \( \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4} \)，且 \( x+y+z = 36 \)，求 \( x, y, z \) 的值。
5. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( D \) 为 \( BC \) 中点，\( E \) 为 \( AD \) 中点，\( BE \) 的延长线交 \( AC \) 于 \( F \)，则 \( \frac{AF}{FC} = \) ______。（提示：作平行线构造A字或8字）
6. 如图，\( \triangle ABC \) 被平行于 \( BC \) 的线段 \( DE \) 分成面积相等的两部分，即 \( S_{\text{梯形}DBCE} = S_{\triangle ADE} \)。求 \( \frac{AD}{AB} \) 的值。
7. 求证：平行线分线段成比例定理的逆定理（在 \( \triangle ABC \) 中，若点 \( D, E \) 分别在 \( AB, AC \) 上，且满足 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)，则 \( DE \parallel BC \)）。
8. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，四边形 \( DCEF \) 是正方形，点 \( D, E, F \) 分别在 \( AC, BC, AB \) 上。若 \( AC=6 \)，\( BC=8 \)，求正方形 \( DCEF \) 的边长。
9. （动点问题）如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=6 \)，\( BC=8 \)。点 \( P \) 从点 \( B \) 出发沿 \( BC \) 向 \( C \) 运动，速度为 \( 1 \) 单位/秒；点 \( Q \) 从点 \( C \) 出发沿 \( CD \) 向 \( D \) 运动，速度为 \( 2 \) 单位/秒。两点同时出发，当 \( t \) 为何值时，\( PQ \parallel BD \)？（提示：利用平行线分线段成比例建立方程）
10. （综合题）如图，\( \triangle ABC \) 中，\( AB = AC \)，\( D \) 在 \( BC \) 延长线上，\( E \) 在 \( AC \) 上，且 \( \angle ADE = \angle B \)。求证：\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{CD} \)。（提示：证明三角形相似）

第三关：生活应用（5道）

1. 测量河宽：如图，为了测量河对岸 \( B \) 点到岸边 \( A \) 点的距离（即河宽 \( AB \)），测量者在同侧岸边 \( A \) 点正对 \( B \) 点，再沿岸边走到 \( C \) 点，测得 \( AC=30 \) 米。然后继续走到 \( D \) 点，使得 \( CD=10 \) 米。最后垂直走到 \( E \) 点，使得 \( E, C, B \) 三点共线。测得 \( DE=15 \) 米。请问河宽 \( AB \) 是多少米？（原理：构造A字模型）
2. 金字塔高度：泰勒斯利用相似三角形测量金字塔高度。他在金字塔影子末端竖立一根木棍，当木棍影长等于木棍长度时，立刻测量金字塔影子的长度（包含底边边长）。若金字塔底边正方形边长约为 \( 230 \) 米，此时测得整个金字塔的影子长度（从塔尖在地面的投影到影子末端）约为 \( 346 \) 米。请估算金字塔的高度。（提示：此时木棍与其影子构成的三角形是等腰直角三角形）

图纸缩放：工程师需要将一个比例为 \( 1:50 \) 的设计图放大为 \( 1:20 \) 的施工大样图。图纸上一个零件原本的长度是 \( 4 \) 厘米。请问在大样图上，这个零件的长度应该画多少厘米？

3. 摄影构图：在摄影中，“黄金分割”是常用构图法。若一张照片宽为 \( W \) 像素，将宽分成两部分，较长部分与整体的比等于较短部分与较长部分的比，即满足 \( \frac{a}{W} = \frac{W-a}{a} \) (\( a > W-a \))。设 \( \frac{a}{W} = k \)，请推导出 \( k \) 满足的方程，并求出 \( k \) 的近似值（黄金分割比约 \( 0.618 \)）。（提示：利用比例性质）
4. 杠杆原理：根据物理杠杆原理，动力×动力臂=阻力×阻力臂。即 \( F_1 \times L_1 = F_2 \times L_2 \)。若想用 \( 200N \) 的力撬动一块 \( 1000N \) 的石头，已知阻力臂（石头到支点的距离）是 \( 0.3 \) 米，请问动力臂（你到支点的距离）至少需要多长？这本质上是一个什么数学关系？（反比例关系）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( EF = \frac{BC \times DE}{AB} = \frac{5 \times 4}{3} = \frac{20}{3} \)。 (平行线分线段成比例定理)
2. 由 \( \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} \)，得 \( \frac{3}{BC} = \frac{2}{2+4} = \frac{1}{3} \)，所以 \( BC = 9 \)。
3. 面积比等于相似比的平方。由 \( \triangle AOD \sim \triangle COB \)，相似比 \( \frac{AD}{BC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)，所以面积比 \( = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} \)。
4. 由 \( \frac{a}{12} = \frac{2}{3} \)，得 \( a = 12 \times \frac{2}{3} = 8 \)。
5. 设 \( x = 5k, y = 7k \)，则 \( 5k+7k=24 \)，\( 12k=24 \)，\( k=2 \)。所以 \( x=10, y=14 \)。
6. ❌ 错误。只有被一组平行线所截，在每条直线上截得的线段才成比例，不一定相等。
7. 平行。由 \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)，可得 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) (合比性质)，满足平行线分线段成比例的逆定理，故 \( DE \parallel BC \)。
8. 由 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) 和 \( \triangle BEF \sim \triangle BCG \) 等多个A字模型可解。设正方形边长为 \( 4 \)，则 \( AC=3+4=7 \)。由 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) 得 \( \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC} \)，即 \( \frac{4}{BC} = \frac{3}{7} \)，得 \( BC = \frac{28}{3} \)。所以 \( BE = BC - EC = \frac{28}{3} - 4 = \frac{16}{3} \)。
9. 证明：由 \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \)，则 \( a = bk, c = dk \)。左边 \( \frac{a+b}{b} = \frac{bk+b}{b} = k+1 \)，右边 \( \frac{c+d}{d} = \frac{dk+d}{d} = k+1 \)。故相等。
10. 设树高为 \( h \) 米。由相似得 \( \frac{1.6}{2} = \frac{h}{8} \)，解得 \( h = 6.4 \) 米。

第二关：中考挑战 (解析要点)

1. \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)，\( \frac{6}{9} = \frac{4}{AC} \)，\( AC=6 \)，故 \( CE=AC-AE=2 \)。
2. 由 \( DE \parallel BC \) 得 \( \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} = \frac{3}{5} \)，由 \( EF \parallel AB \) 得 \( \frac{CF}{CB} = \frac{CE}{CA} = 1 - \frac{AE}{AC} = \frac{2}{5} \)，所以 \( FC = 20 \times \frac{2}{5} = 8 \)。
3. 延长 \( AD, BC \) 交于 \( G \)，构造“8”字，或取 \( BC \) 中点等方法。结论：\( \frac{AF}{FC} = \frac{1}{2} \)。
4. 设 \( x=2k, y=3k, z=4k \)，则 \( 2k+3k+4k=36 \)，\( k=4 \)，所以 \( x=8, y=12, z=16 \)。
5. 过 \( D \) 作 \( DG \parallel BF \) 交 \( AC \) 于 \( G \)。在 \( \triangle BFC \) 中，\( D \) 为中点，\( DG \parallel BF \)，则 \( G \) 为 \( FC \) 中点。在 \( \triangle ADG \) 中，\( E \) 为中点，\( EF \parallel DG \)，则 \( F \) 为 \( AG \) 中点。所以 \( AF = FG = GC \)，故 \( \frac{AF}{FC} = \frac{1}{2} \)。
6. 面积比 \( \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{1}{2} \)。相似三角形面积比等于相似比的平方，所以 \( (\frac{AD}{AB})^2 = \frac{1}{2} \)，故 \( \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。
7. 证明：连接 \( DE \)。假设 \( DE \) 不平行于 \( BC \)，过 \( D \) 作 \( DF \parallel BC \) 交 \( AC \) 于 \( F \)。则由平行线分线段成比例定理，有 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AC} \)。已知 \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)，所以 \( \frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AC} \)，即 \( AF = AE \)，所以点 \( F \) 与点 \( E \) 重合，因此 \( DE \) 与 \( DF \) 重合，故 \( DE \parallel BC \)。
8. 设正方形边长为 \( x \)。由 \( \triangle ADF \sim \triangle ABC \) 得 \( \frac{AD}{AC} = \frac{DF}{BC} \)，即 \( \frac{6-x}{6} = \frac{x}{8} \)，解得 \( x = \frac{24}{7} \)。
9. 当 \( PQ \parallel BD \) 时，\( \frac{BP}{PC} = \frac{CQ}{QD} \)。\( BP = t \)，\( PC = 8 - t \)，\( CQ = 2t \)，\( QD = 6 - 2t \)。代入得 \( \frac{t}{8-t} = \frac{2t}{6-2t} \)，解得 \( t = 0 \)（舍去）或 \( t = 2.4 \)。
10. 证明：\( \because AB=AC \)，\( \therefore \angle B = \angle C \)。又 \( \angle ADE = \angle B \)，\( \therefore \angle ADE = \angle C \)。又 \( \angle DAE = \angle CAD \)（公共角），\( \therefore \triangle ADE \sim \triangle ACD \)（AA）。\( \therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{CD} \)。又 \( AB = AC \)，\( \therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{CD} \)。

第三关：生活应用

1. 由 \( \triangle CDE \sim \triangle CAB \) 得 \( \frac{DE}{AB} = \frac{CD}{CA} \)，即 \( \frac{15}{AB} = \frac{10}{30} \)，解得 \( AB = 45 \) 米。
2. 此时，木棍、木棍影子、太阳光线构成等腰直角三角形，所以金字塔高度等于其影子在地面部分的长度（不包括底边宽度的一半）。影子全长 \( 346 \) 米，底边长 \( 230 \) 米，故塔尖在地面的投影到塔底中心的距离为 \( 346 - 115 = 231 \) 米。此距离即等于金字塔高度，所以高度约为 \( 231 \) 米。
3. 放大比例 = \( \frac{1/20}{1/50} = \frac{50}{20} = 2.5 \)。所以大样图上长度应为 \( 4 \times 2.5 = 10 \) 厘米。
4. 由 \( \frac{a}{W} = \frac{W-a}{a} \)，设 \( \frac{a}{W} = k \)，则 \( \frac{W-a}{a} = \frac{1}{k} - 1 \)。所以方程 \( k = \frac{1}{k} - 1 \)，即 \( k^2 + k - 1 = 0 \)。解得正根 \( k = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618 \)。
5. 由 \( F_1 \times L_1 = F_2 \times L_2 \)，得 \( 200 \times L_1 = 1000 \times 0.3 \)，解得 \( L_1 = 1.5 \) 米。这是反比例关系（在阻力与阻力臂乘积一定时，动力与动力臂成反比）。