平行投影：太阳光下影子长度怎么算？初中几何相似三角形深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：平行投影 原理

• 核心概念：想象一下，清晨的阳光洒向大地。我阿星站在操场上，发现我和我的影子总是有种“默契”。为什么？因为来自太阳的光线，到达地球时可以看作是平行的。当一束束平行的光线照在物体上，被物体挡住，就会在地面形成一个影子，这个过程就叫做平行投影。最关键的是，如果地面是平的，那么物体的实际高度和它影子的长度是成固定比例的！比如，一根1米高的杆子，影子长2米；那么旁边3米高的旗杆，它的影子就一定是 \( 3 \times 2 = 6 \) 米。记住我的比喻：阳光作画笔，平行是手法，影子成比例，测量全靠它！
• 计算秘籍：核心公式就一个比例关系。
  1. 确定基准：在同一时间、同一地面，找一个已知高度的物体A，测出它的影子长度。
  2. 列出比例：设待求物体高度为 \( H \)，其影子长为 \( L \)。已知物体高度为 \( h \)，影子长为 \( l \)。则有比例关系：
     \[ \frac{H}{L} = \frac{h}{l} \]
     这个等式的含义是：高度与影子长度的比值是定值。
  3. 求解未知：交叉相乘，解出未知量。例如求高度：\( H = \frac{h \times L}{l} \)。
• 阿星口诀：平行光线下影子长，高度影子成比例。你知我知求未知，列出等式解迷题！

📐 图形解析

平行投影的几何本质：光线（太阳光）平行照射，物体（线段AB）与它的影子（线段A‘B’）以及连接顶点的光线构成了一个经典几何模型。

数学模型：\( \triangle ABC \) 与 \( \triangle A‘B’C \) 是相似三角形。因此对应边成比例：\( \frac{AB}{A’B‘} = \frac{BC}{B’C} \)。

在上图中，物体AB的高度 \( h \) 与影子BB‘的长度 \( l \) 的比值，等于投影高度A’B‘（即光线与物体交点形成的虚像高度）与其对应长度的比值。在大多数基础问题中，我们直接运用 \( \frac{h}{l} = \frac{H}{L} \) 的比例关系。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为任何光线下高度和影子都成比例。 → ✅ 正解：必须是平行光线下才成立！像台灯、手电筒这种点光源发出的光线是不平行的，此时比例关系不成立。
• ❌ 错误2：列比例式时，写成 \( \frac{H}{h} = \frac{L}{l} \)。 → ✅ 正解：必须保证对应边相比。最稳妥的方法是：\( \frac{\text{物体甲高}}{\text{物体甲影}} = \frac{\text{物体乙高}}{\text{物体乙影}} \)。记住“高比影等于高比影”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在同一时刻，1.5米高的竹竿影长是2米。那么影长是10米的树有多高？
2. 阳光下一座塔的影子长24米。同一时间，一根3米长的木棍竖立在地上，影子长4米。求塔高。
3. 若某建筑物高度与影子长度之比为4:7，影子长21米，求建筑高度。
4. 画图说明：用平行线画出长度为3cm的线段AB在给定方向下的平行投影。（请动手绘制）
5. 判断题：路灯下人的影子长度变化也符合平行投影的比例关系。（判断对错）
6. 早上9点，一棵树的影子一部分落在墙上。已知地面影子长6米，墙上影子高1米。若树高8米，求墙上影子对应点到树根的水平距离。（提示：需分两部分考虑）
7. 已知某时刻，\( \frac{\text{物体高度}}{\text{影子长度}} = 0.8 \)。一个烟囱的影子长15米，求烟囱高度。
8. 若旗杆的高度是其地面影长的 \( \frac{2}{3} \)，且旗杆高12米，求影子长度。
9. 简单应用：小华想估算路灯高度，他能用平行投影原理吗？为什么？
10. 连线题：将“太阳光”、“台灯光”、“平行投影”、“中心投影”正确连线。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，小明用镜子测量树高。他调整镜子位置，使镜子、自己、树顶在同一直线上。这利用了什么光学原理？这与平行投影测量法在数学原理上有何共同点？（需画示意图）
2. 如图，AB是垂直于地面的电线杆，高度为h米。在阳光照射下，顶端A的影子恰好落在地面的C点和斜坡上的D点。已知BC=6米，CD=4米，斜坡坡度i=1:\( \sqrt{3} \)。求电线杆的高度h。
3. 投影与相似综合题：在矩形操场上，两根等高灯杆相距24米。一个身高1.7米的学生站在两灯杆之间，在其中一个灯杆下影子长为2米，在另一个灯杆下影子长为3米。求灯杆高度。
4. 某一时刻，测得校园里三棵笔直的树A、B、C的影子长度分别为 \( l_A, l_B, l_C \)。已知 \( h_A : h_B : h_C = 2:3:5 \)，且 \( l_A + l_B = 10 \) 米，\( l_C = 8 \) 米。求树A的高度 \( h_A \)。
5. （动点问题）如图，在平面直角坐标系中，线段AB代表垂直于x轴的物体。一束平行光从点P(0,4)方向射出（即所有光线斜率相同）。求AB在x轴上投影长度的函数表达式。
6. 某数学兴趣小组利用平行投影测量校内雕塑高度。由于雕塑底座很高，他们先测了底座上一点到影子顶端的距离，再测了雕塑自身的高度在影子中的体现。请设计一个测量方案并写出计算公式。
7. 证明题：利用相似三角形，证明在平行光线下，垂直于地面的两根不等长木棍，它们的影子长度之比等于其高度之比。
8. （分类讨论）一根木棒放置在水平地面上。在平行光照射下，如果将木棒一端抬起，使其与地面成30°角，它的影子长度如何变化？是变长、变短还是不变？请证明你的结论。
9. 已知两栋楼高度之比为5:4，它们在同一时刻影子长度之差为3米，且较矮的楼影子长为12米。求两栋楼的实际高度。
10. 阅读理解题：阅读关于“晷仪”（古代日影计时工具）的材料，解释其工作原理与平行投影知识点的关联。

第三关：生活应用（5道）

1. 建筑测量：工程师在河对岸要估算一座古塔高度。他在河这边选择两点，用经纬仪测量出在这两点看塔顶的仰角，并结合两点间距离，能否算出塔高？这与平行投影有何异同？
2. 艺术与科学：在绘画透视中，“平行透视”（一点透视）的数学原理与平行投影密切相关。请解释为什么铁轨在画中会交汇于一点，而现实中我们认为铁轨是平行的。
3. 太阳能板安装：为了获得最佳光照，太阳能板需要倾斜一定角度。已知冬至日正午太阳高度角为 \( \alpha \），如果要让阳光垂直照射板面，板面与水平面的夹角应设计为多少？请用几何图形说明。
4. 侦查与刑侦：根据现场照片中物体的影子长度和方向，可以推断拍照时间。需要哪些已知条件？请简述推理步骤。
5. 创意设计：你如何利用平行投影的原理，设计一个简单的装置，来测量你家附近一棵无法直接攀爬的大树的高度？画出设计草图并列出所需工具。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关答案：

1. \( \frac{1.5}{2} = \frac{H}{10} \)， \( H = 7.5 \) 米。
2. \( \frac{3}{4} = \frac{H}{24} \)， \( H = 18 \) 米。
3. 设高为 \( 4k \)，影为 \( 7k \)， \( 7k=21 \)， \( k=3 \)， 高= \( 12 \) 米。
4. （略，学生自行绘制）。
5. 错。路灯是点光源，属于中心投影。
6. 设树根到墙脚距离为 \( x \) 米。树在地面的投影部分高为 \( h_1 \)，满足 \( \frac{8}{h_1} = \frac{h_1}{6} \)？不对。应利用总高与总水平投影成比例。树总高8米，地面影长6米对应部分树高为 \( h‘ \)，有 \( \frac{h’}{6} = \frac{8-1}{x} \)？更清晰的方法：将树分为上下两段。下段高 \( h_1 \)，对应地面影长6米；上段高 \( 8-h_1 = 1 \) 米？不对，墙上影子1米是垂直的，不是高度。正确解：设墙上影子对应点在地面的垂直落点到树根距离为 \( d \)。则树高8米对应的总水平影长为 \( d \)。同时，标杆（或利用树自身比例）：\( \frac{8}{d} = \frac{1}{?} \) 无法直接列式。需设树在墙上的投影是由一段树高 \( h_w \) 产生的，则 \( h_w = 1 \) 米。剩余树高 \( 8-1=7 \) 米产生地面6米影长。故 \( \frac{7}{6} = \frac{1}{x} \)，解得 \( x = \frac{6}{7} \) 米。此为墙上影子下端到墙脚的水平距离。因此树根到墙脚距离 = \( 6 + \frac{6}{7} = \frac{48}{7} \approx 6.86 \) 米。
7. \( 0.8 = \frac{H}{15} \)， \( H = 12 \) 米。
8. \( 12 = \frac{2}{3} \times L \)， \( L = 18 \) 米。
9. 不能。因为路灯本身是光源，其光线从一点发出，不是平行光，属于中心投影，高度与影子不成固定比例。
10. 太阳光——平行投影；台灯光——中心投影。

第二关及第三关答案将提供于后续资料中，鼓励同学们先独立思考完成。