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平行四边形对角相等邻角互补怎么算？性质深度解析与题型全攻略专项练习题库

适用年级

初二

难度等级

⭐⭐⭐

资料格式

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：平行四边形性质(角) 原理

  • 核心概念：嘿，伙伴们！阿星来啦。想象一下，平行四边形就像一个四人团队，四个角就是四个成员，他们的关系可铁了！这个团队有两条核心规则：对角的两位成员总是穿一模一样的衣服（对角相等）；挨着的两位成员，他们的力量刚好能组合成一个完整的拍档（邻角互补，和为 \(180^\circ\)）。所以，阿星常说：“对角相等，邻角互补。知道一个角，剩下三个角全能算出来。” 这就像一个侦探游戏，只要你“抓住”一个角，就能顺藤摸瓜，推算出整个团队的构成！
  • 计算秘籍：
    1. 设平行四边形中已知一个角为 \( \angle A = x^\circ \)。
    2. 根据对角相等：其对角的度数 \( \angle C = x^\circ \)。
    3. 根据邻角互补：与 \( \angle A \) 相邻的角 \( \angle B = 180^\circ - x^\circ \)。
    4. 同理，\( \angle B \) 的对角 \( \angle D = 180^\circ - x^\circ \)。

    最终，四个角可统一表示为：\( \angle A = \angle C = x^\circ \)， \( \angle B = \angle D = (180 - x)^\circ \)。

  • 阿星口诀：对角哥俩好，度数一样高；邻角肩并肩，合是一百八。一角破案，三角全现！

📐 图形解析

让我们通过图形直观理解这个“团队规则”。在下图中，我们清晰地标注了角的关系。

A B C D ∠A ∠B ∠C ∠D 规则：∠A = ∠C， ∠B = ∠D ∠A + ∠B = 180°

从图中可以看到，相同颜色的角相等（对角相等），例如 \( \angle A = \angle C \)。同时，观察点 \(A\) 和点 \(B\)，由于 \(AD // BC\)，根据平行线的性质，同旁内角互补，即 \( \angle A + \angle B = 180^\circ \)（邻角互补）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：认为“相邻的角相等”。
    ✅ 正解：相邻的角（邻角）是互补关系，和为 \(180^\circ\)。只有相对的两个角（对角）才相等。一定要分清“邻”和“对”。
  • ❌ 错误2：在计算时，知道 \( \angle A = 70^\circ \)，误以为 \( \angle B = 70^\circ \) 或 \( \angle B = 110^\circ \) 但不说明是对角还是邻角。
    ✅ 正解：计算必须清晰对应关系。若 \( \angle A = 70^\circ \)，则其对角 \( \angle C = 70^\circ \)，其邻角 \( \angle B = \angle D = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)。

🔥 三例题精讲

例题1：在平行四边形 \(ABCD\) 中，若 \( \angle A = 65^\circ \)，求其余三个角的度数。

A B C D 65° ? ? ?

📌 解析：

  1. 已知 \( \angle A = 65^\circ \)。
  2. 根据对角相等，其对角 \( \angle C = \angle A = 65^\circ \)。
  3. 根据邻角互补，\( \angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \)。
  4. 同理，\( \angle D = \angle B = 115^\circ \)。

✅ 总结：直接应用“对角相等，邻角互补”八字真言，一步到位。

例题2：在平行四边形 \(ABCD\) 中，\( \angle A \) 和 \( \angle B \) 的度数比为 \(2:3\)，求平行四边形各内角的度数。

📌 解析：

  1. 由邻角互补知，\( \angle A + \angle B = 180^\circ \)。
  2. 设 \( \angle A = 2k \)， \( \angle B = 3k \)，则 \( 2k + 3k = 180^\circ \)。
  3. 解得 \( 5k = 180^\circ \)， \( k = 36^\circ \)。
  4. 所以 \( \angle A = 2 \times 36^\circ = 72^\circ \)， \( \angle B = 3 \times 36^\circ = 108^\circ \)。
  5. 根据对角相等，\( \angle C = \angle A = 72^\circ \)， \( \angle D = \angle B = 108^\circ \)。

✅ 总结：遇到比例问题，先利用邻角互补关系（和为 \(180^\circ\)）建立方程，求出比例系数 \(k\)，一切迎刃而解。

例题3：如图，过平行四边形 \(ABCD\) 的顶点 \(D\) 作 \(DE \perp AB\) 于 \(E\)，若 \( \angle DAE = 25^\circ \)，求平行四边形 \(ABCD\) 各内角的度数。

A B C D E DE 25°

📌 解析：

  1. 在 \(Rt\triangle AED\) 中，\( \angle AED = 90^\circ \)， \( \angle DAE = 25^\circ \)。
  2. 所以 \( \angle ADE = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ \)。
  3. 在平行四边形 \(ABCD\) 中，\(AD // BC\)，所以 \( \angle ADE \) 与 \( \angle D \) 的邻角（即 \( \angle ADC \)）互余吗？不，要小心！\( \angle ADC \) 是平行四边形的一个内角，而 \( \angle ADE \) 是其中的一部分。
  4. 实际上，\( \angle ADC = \angle ADE + \angle CDE \)。由于 \(DE \perp AB\) 且 \(AB // DC\)，所以 \(DE \perp DC\)，即 \( \angle CDE = 90^\circ \)。
  5. 因此，\( \angle ADC = \angle ADE + \angle CDE = 65^\circ + 90^\circ = 155^\circ \)。
  6. 这个 \( \angle ADC \) 就是平行四边形的内角 \( \angle D \)。根据性质，其对角 \( \angle B = \angle D = 155^\circ \)，邻角 \( \angle A = \angle C = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ \)。

✅ 总结：本题综合了直角三角形和平行线的性质。关键是将图形中的已知角（\(25^\circ\)）转化到平行四边形的一个内角上。记住，最终一定要回归到平行四边形的内角来进行计算。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 平行四边形中，一个角是 \(80^\circ\)，它的对角是 ______ 度。
  2. 平行四边形中，一个角是 \(110^\circ\)，与它相邻的角是 ______ 度。
  3. 在平行四边形 \(ABCD\) 中，若 \( \angle A = 50^\circ \)，则 \( \angle B = \) ______， \( \angle C = \) ______， \( \angle D = \) ______。
  4. 平行四边形两邻角的度数比为 \(4:5\)，则其中较小的角为 ______ 度。
  5. 平行四边形的四个内角中，最多可以有 ______ 个锐角。
  6. 判断：平行四边形的对角一定互补。 （ ）
  7. 判断：平行四边形的邻角可能相等。 （ ）（提示：什么时候可能？）
  8. 若平行四边形的一个内角比其相邻内角小 \(40^\circ\)，求这个平行四边形的各内角。
  9. 如图，平行四边形 \(ABCD\) 中，\(AE\) 平分 \( \angle BAD \)，若 \( \angle BAE = 35^\circ \)，求 \( \angle C \) 的度数。
  10. 平行四边形中，一个角等于其邻角的 \(2\) 倍，求各角的度数。

第二关：中考挑战（10道）

  1. (中考真题改编) 平行四边形 \(ABCD\) 中，\( \angle A \) 的平分线交 \(BC\) 于点 \(E\)，且 \(BE=3\), \(EC=2\)，则平行四边形 \(ABCD\) 的周长是 ______。（提示：结合等腰三角形）
  2. 平行四边形一内角的平分线分对边为 \(3cm\) 和 \(4cm\) 两部分，则该平行四边形的周长是 ______ \(cm\)。
  3. 在平行四边形 \(ABCD\) 中，\( \angle B = 150^\circ \)，\(AD=6\)，则 \(AB\) 与 \(CD\) 之间的距离为 ______。
  4. 如图，平行四边形 \(ABCD\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转 \(30^\circ\) 得到平行四边形 \(AB'C'D'\)，若 \( \angle BAD = 70^\circ\)，则 \( \angle C'AB' = \) ______°。
  5. 平行四边形 \(ABCD\) 中，\( \angle A : \angle B : \angle C : \angle D \) 的值可能是（ ） A. \(1:2:3:4\) B. \(2:3:2:3\) C. \(3:2:3:2\) D. \(2:3:3:2\)
  6. 若平行四边形相邻两边长分别为 \(8\) 和 \(10\)，且其夹角为 \(60^\circ\)，则这个平行四边形的面积是 ______。
  7. 平行四边形的一个内角比它的对角大 \(30^\circ\)，求这个平行四边形各内角的度数。
  8. 如图，\(E, F\) 是平行四边形 \(ABCD\) 对角线 \(AC\) 上的点，且 \(AE=CF\)，连接 \(BE, DF\)。求证：\( \angle 1 = \angle 2 \)。（提示：先证全等）
  9. 在平行四边形 \(ABCD\) 中，\( \angle ABC\) 的平分线交 \(AD\) 于 \(E\)，\( \angle BCD\) 的平分线交 \(AD\) 于 \(F\)，若 \(AB=3\), \(EF=1\)，则 \(BC=\) ______。
  10. 平行四边形 \(ABCD\) 中，\( \angle A = 60^\circ \)，\(DE\) 平分 \( \angle ADC\) 交 \(BC\) 于 \(E\)，若 \(AD=6\), \(BE=2\)，求 \(AB\) 的长。

第三关：生活应用（5道）

  1. （工程测量） 一个平行四边形形状的太阳能板支架，为了最大化光照效率，需要调整其角度。已知支架的一个内角设计为 \(105^\circ\)，请问其他三个支撑角应分别调整为多少度？
  2. （艺术设计） 设计师正在绘制一个由多个平行四边形单元重复构成的图案。为了确保图案在拼接时角度完美衔接，每个单元的一个角固定为 \(72^\circ\)。请问这个图案单元中，会出现多少种不同大小的角？它们分别是多少度？
  3. （物理中的力学） 两个力 \(F_1\) 和 \(F_2\) 作用于一点，它们的合力可以用以这两个力为邻边作出的平行四边形的对角线表示。如果两个力的夹角（即平行四边形的一个内角）为 \(120^\circ\)，且大小相等，请问这个平行四边形的其他内角是多少度？这说明了这两个力的什么关系？
  4. （地理与导航） 一艘船从港口 \(A\) 出发，向东北方向（与正北夹角 \(45^\circ\)）航行一段距离到达点 \(B\)，然后改变航向，为保证最终能到达港口 \(A\) 正东方向的点 \(C\)，且航线 \(AB\) 与航线 \(BC\) 构成一个平行四边形路线的一部分，请问在点 \(B\) 处，船需要转向多少度？（提示：画出草图，将航线视为平行四边形的边）
  5. （材料力学） 一种新型蜂窝结构材料采用平行四边形空洞设计以减轻重量。在测试中，发现当一个内角为 \(85^\circ\) 时，结构抗压性能最佳。如果批量生产，切割模具时，需要知道所有内角的度数，请计算出来。

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：平行四边形性质(角) 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：觉得难通常有两个原因。第一是性质混淆，容易把“对角相等”和“邻角互补”记混或张冠李戴。第二是综合应用时的“转化”意识不足。题目不会直接问“已知∠A求∠B”，而是把∠A藏在直角三角形、角平分线或旋转图形里。关键在于，无论图形多复杂，都要锁定目标：先把已知条件转化到平行四边形的一个内角上，再利用“对角相等、邻角互补”这套核心规则去推算。例如，看到角平分线，立刻想到 \( \angle 1 = \angle 2 \)；看到垂直，想到 \(90^\circ\)。把这些零散的角拼回平行四边形的内角，问题就简化了。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是几何学习的基石之一，影响深远。1. 多边形基础：平行四边形是特殊的四边形，它的角度性质推广到一般多边形内角和公式 \( (n-2) \times 180^\circ \)。2. 特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形都继承并强化了这些性质（矩形四个角都是 \(90^\circ\)）。3. 几何证明：培养利用已知定理（平行线性质）推导新图形性质（平行四边形性质）的逻辑链条，这是所有几何证明的核心思维。4. 工具属性：在解决更复杂的面积问题、相似问题、坐标系问题时，平行四边形的角度常常是隐含的解题条件。可以说，学透了它，就打通了四边形王国的大门。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！可以总结为一个“万能起手式”：“知一求三，比邻列方”。

  • 知一求三：只要知道平行四边形中任何一个内角的度数 \(x\)，另外三个角立刻确定：对角也是 \(x\)，邻角都是 \(180^\circ - x\)。
  • 比邻列方：如果已知条件是两邻角的关系（比如比例、差值），立刻设未知数，根据邻角互补列出方程 \( \angle A + \angle B = 180^\circ \)。解出方程，就等于“知一”，然后就能“求三”。

记住这个流程，绝大部分角度计算题都能直接切入核心。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \(80^\circ\)
  2. \(70^\circ\)
  3. \( \angle B = 130^\circ \)， \( \angle C = 50^\circ \)， \( \angle D = 130^\circ \)
  4. 设角为 \(4k\) 和 \(5k\)，则 \(4k+5k=180^\circ\)， \(k=20^\circ\)，较小角为 \(4 \times 20^\circ = 80^\circ\)。
  5. \(2\)个（因为邻角互补，若有一个锐角，其邻角必为钝角）。
  6. 错误。对角是相等，不是互补。
  7. 正确。当平行四边形的一个角是 \(90^\circ\) 时（即矩形），邻角相等，都是 \(90^\circ\)。
  8. 设较小角为 \(x^\circ\)，则邻角为 \((x+40)^\circ\)。由 \(x + (x+40) = 180\)，解得 \(x=70\)。所以各角为 \(70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ\)。
  9. 由 \(AE\) 平分 \( \angle BAD \)，且 \( \angle BAE = 35^\circ\)，得 \( \angle BAD = 70^\circ\)。所以 \( \angle C = \angle BAD = 70^\circ\)。
  10. 设较小邻角为 \(x^\circ\)，则较大邻角为 \(2x^\circ\)。由 \(x + 2x = 180\)，解得 \(x=60\)。所以各角为 \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\)。

第二关：中考挑战（部分详解）

  1. \( \angle AEB = \angle DAE = \angle BAE \) (内错角加角平分线)，故 \(\triangle ABE\) 为等腰三角形，\(AB=BE=3\)。又 \(BC=BE+EC=5\)，周长 \(=2 \times (3+5) = 16\)。
  2. 有两种情况，周长可能为 \(20cm\) 或 \(22cm\)。（解析略）
  3. \( \angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\)。过点 \(D\) 作 \(AB\) 的垂线，距离 \(= AD \times \sin 30^\circ = 6 \times \frac{1}{2} = 3\)。
  4. 旋转后，\( \angle B'AD' = \angle BAD = 70^\circ\)。旋转角 \( \angle BAB' = 30^\circ\)。所以 \( \angle D'AB' = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ\)。在平行四边形 \(AB'C'D'\) 中，\( \angle C'AB' = 180^\circ - \angle D'AB' = 140^\circ\)。
  5. 答案：B、C。平行四边形对角相等，因此比例必须是 A:B:C:D = A:B:A:B 的形式。
  6. 面积 \(= 8 \times 10 \times \sin 60^\circ = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}\)。
  7. 设较小对角为 \(x^\circ\)，则较大对角为 \((x+30)^\circ\)。对角相等，但不能直接加和。正确思路：由对角相等，知两组对角分别相等。设一组对角为 \(x^\circ\)，另一组为 \(y^\circ\)。则根据邻角互补：\(x+y=180\)，又根据题意：\(|x-y|=30\)。解得两组解：\(x=105, y=75\) 或 \(x=75, y=105\)。所以各角为 \(105^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 75^\circ\)。
  8. 先证 \(\triangle ABE \cong \triangle CDF\) (SAS)，则对应角 \( \angle 1 = \angle 2 \)。
  9. 易证 \(AB=AE=3\)， \(CD=FD=3\)。设 \(DE = x\)，则 \(AD = BC = 3 + x\)。又 \(AF = 3 - 1 = 2\)。由 \(AD = AF + FD?\) 不，需要画图仔细分段。\(AD = AE + EF + FD = 3 + 1 + 3 = 7\)。所以 \(BC = AD = 7\)。
  10. 由 \( \angle A = 60^\circ\)，得 \( \angle ADC = 120^\circ\)。\(DE\) 平分得 \( \angle CDE = 60^\circ\)。易证 \(\triangle CDE\) 为等边三角形，\(\triangle ABE\) 为含 \(30^\circ\) 的直角三角形。（解析略）答案：\(AB=4\)。

第三关：生活应用

  1. 其他三角为：对角 \(105^\circ\)，两个邻角均为 \(180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\)。
  2. 两种。\(72^\circ\) 和 \(180^\circ - 72^\circ = 108^\circ\)。
  3. 其他内角为：\(120^\circ\) (对角)， \(60^\circ\)， \(60^\circ\)。说明这两个力大小相等，方向夹角为 \(120^\circ\) 时，其合力与这两个力构成的平行四边形是菱形的一半（两个等边三角形）。
  4. 画图可知，航线应构成平行四边形 \(ABCD\)，其中 \(A \to B\) 是东北方向，\(B \to C\) 是所求方向，\(C \to D\) // \(A \to B\)， \(D \to A\) 为正西方向（因为 \(C\) 在 \(A\) 正东）。在平行四边形中，邻角互补。\( \angle ABC\) 的内角是港口 \(B\) 处的转向角。计算得 \( \angle ABC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\)。所以船需要从 \(45^\circ\) (东北) 转向到 \(135^\circ\) (东南偏东) 方向，即右转 \(90^\circ\)。
  5. 各内角为：\(85^\circ\)， \(95^\circ\)， \(85^\circ\)， \(95^\circ\)。

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