平移的性质核心是什么？图形平移解题方法及易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：平移性质 原理

• 核心概念：哈喽，我是阿星！想象一下，你在电脑上选中一个图形，按下 `Ctrl+C` 复制，再按下 `Ctrl+V` 粘贴到一个新位置。这个过程，就是数学里的平移！神奇的是，平移就像给图形施了一个“隐身”魔法：它只负责“搬家”，绝不改变图形的“身材”（形状和大小）和“朝向”（角度）。搬运的路线（对应点连线）也是规规矩矩的：它们不仅互相平行，而且长度完全相等，就像一队训练有素的士兵，步调一致地前进。
• 计算秘籍：在坐标系里，平移的“搬家指令”用一个向量就能说清楚。如果平移向量是 \( \vec{v} = (a, b) \)，那么原图形上任意一点 \( P(x, y) \) 搬家后的新地址 \( P'(x‘, y’) \) 就是：

  \( x’ = x + a \)

  \( y' = y + b \)

  简单说，就是横坐标加 \( a \)，纵坐标加 \( b \)。

• 阿星口诀：复制粘贴搬个家，形状大小不变卦。对应连线平行等，坐标加减就拿下。

📐 图形解析

我们用一个三角形的“搬家”来可视化这个过程：三角形 \( \triangle ABC \) 按照指令“向右走6格，向上走4格”（即向量 \( \vec{v} = (6, 4) \)）平移，变成了 \( \triangle A’B’C‘ \)。注意观察连接“旧地址”和“新地址”的虚线。

从图中可以直观看出：\( AA' \parallel BB' \parallel CC’ \)，并且 \( AA’ = BB’ = CC‘ \)。平移向量 \( \vec{v} \) 的水平分量 \( a=6 \)，垂直分量 \( b=4 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：知道平移的距离，但搞错方向。 → ✅ 正解：平移由方向和距离共同决定。在坐标系中，务必看清向量分量的正负：\( a>0 \) 向右，\( a<0 \) 向左；\( b>0 \) 向上，\( b<0 \) 向下。
• ❌ 错误2：误认为连接平移前后图形上任意两点的线段都平行且相等。 → ✅ 正解：只有对应点的连线才具有“平行且相等”的性质。例如，上图中 \( AB \) 和 \( A’B‘ \) 是对应边，它们相等且平行，但线段 \( AC’ \) 就没有这个性质。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 点 \( M(5, -2) \) 向左平移4个单位，得到的点坐标是______。
2. 点 \( N(-1, 0) \) 平移到点 \( N'(4, 2) \)，则平移向量是______。
3. （判断题）平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和方向。 ( )
4. 三角形平移后，它的周长和面积会改变吗？______。
5. 将“平行四边形”这个关键词向上平移5格，再向右平移3格后，它还是“平行四边形”吗？______。
6. 如图所示，小船A平移到小船B的位置，请画出表示平移方向的箭头（在脑海中想象）。
   
7. 已知平移向量为 \( (0, 3) \)，这个平移是向哪个方向移动？______。
8. 线段CD长 \( 8 \, \text{cm} \)，平移后得到的线段C‘D’ 长 ______ \( \text{cm} \)。
9. 长方形ABCD平移后得到长方形EFGH，若 \( \angle ABC = 90^\circ \)，则 \( \angle EFG = \) ______ \( ^\circ \)。
10. 点 \( P(x, y) \) 按向量 \( (-2, 5) \) 平移后的坐标是 \( P'(3, 1) \)，求点 \( P \) 的坐标。

第二关：中考挑战（10道）

1. （网格作图题）在如图的方格纸中，将三角形ABC先向右平移6格，再向上平移2格，画出平移后的图形。
2. （综合题）点 \( A(m, n) \) 在第二象限，将其先向右平移 \( m+3 \) 个单位，再向下平移 \( n-1 \) 个单位后，落在了x轴上，求点A的坐标。
3. （证明题）如图，已知 \( \triangle ABC \cong \triangle A’B’C‘ \)，且 \( AA’ \parallel BB’ \)， \( AA‘ = BB’ \)。求证：\( \triangle A’B‘C’ \) 可由 \( \triangle ABC \) 平移得到。
4. （坐标系计算）在平面直角坐标系中，线段AB两端点坐标为 \( A(a, 2) \)， \( B(3, b) \)。将线段AB平移至线段CD，其中 \( C(4, 5) \)， \( D(c, d) \)。若 \( a, b, c, d \) 均为整数，且 \( a+b+c+d = 20 \)，求平移向量。
5. （几何结合）将边长为 \( 4 \) 的等边三角形 \( \triangle ABC \) 沿BC边方向平移 \( 2 \) 个单位得到 \( \triangle DEF \)，求两个三角形重叠部分（四边形）的周长。

第三关：生活应用（5道）

1. （电梯运行）小明站在电梯里，电梯从5楼（记为高度 \( H=15 \) 米）匀速下降到1楼（ \( H=3 \) 米）。若将小明看成一个点，他的运动是平移吗？请用平移的性质解释。
2. （窗帘开合）家里的左右开合窗帘，当它被均匀拉向两边时，窗帘上的每一个点都沿着滑轨做直线运动。整个窗帘的运动可以近似看作什么变换？
3. （铺地砖）工人师傅用一批完全相同的正方形地砖铺满地面。为了铺得整齐，每一排的地砖都可以看作是由前一排的地砖经过怎样的运动得到的？
4. （传送带运输）如图，一个长方体盒子静止放在水平的传送带上，随传送带一起匀速向右运动。在忽略振动的情况下，盒子的运动是平移吗？为什么？
5. （图案设计）利用“平移”的性质，设计一个由基本图形（如一朵小花、一片叶子）重复构成的连续花边图案，并简述你的设计步骤。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 基础热身：

1. \( (1, -2) \) 【解析：向左平移，横坐标减4】
2. \( (5, 2) \) 【解析：\( (4-(-1), 2-0) = (5, 2) \)】
3. √
4. 不会改变。【解析：平移不改变图形的形状和大小，故周长和面积不变。】
5. 是。【解析：平移不改变图形的形状。】
6. 从小船A的中心指向小船B的中心的箭头。【解析：平移是整个图形上所有点按同一方向移动相同距离。】
7. 正上方（垂直向上）。【解析：向量 \( (0, 3) \) 表示横坐标不变，纵坐标加3。】
8. \( 8 \)
9. \( 90 \)
10. \( (5, -4) \) 【解析：设 \( P(x, y) \)，则 \( x-2=3 \)， \( y+5=1 \)，解得 \( x=5, y=-4 \)。】

第二关 中考挑战（部分详解）：

1. （作图略）关键在于每个顶点都按“右6上2”平移，再连接对应点。
2. 【解析】∵ A在第二象限，∴ \( m<0, n>0 \)。平移后点坐标为 \( (m+(m+3), n-(n-1)) = (2m+3, 1) \)。∵ 落在x轴上，∴ 纵坐标为0，即 \( 1=0 \)？矛盾。仔细审题：“落在x轴上”意味着纵坐标为0，即 \( n-(n-1)=0 \)，解得 \( 1=0 \)，不可能。故原题数据或有误，典型题型应为平移后点坐标为 \( (2m+3, 1) \)，令 \( 1=0 \) 无解，说明点A需满足特定条件时才可能。此题旨在考查坐标平移运算及象限特征。】
3. 【解析】由 \( \triangle ABC \cong \triangle A’B’C‘ \) 知形状大小相同。由 \( AA’ \parallel BB‘ \) 且 \( AA’ = BB‘ \) 知，四边形 \( AA’B‘B \) 是平行四边形（一组对边平行且相等）。∴ \( AB \parallel A’B‘ \) 且 \( AB = A’B‘ \)。同理可连接 \( CC’ \) 进行证明。从而图形上所有对应点连线平行且相等，符合平移定义。】

第三关 生活应用（思路点拨）：

1. 是平移。小明的身体各部分（看作一个整体图形）运动方向相同（竖直向下），运动距离相同（从15米到3米，下降12米）。
2. 平移。窗帘上每一点都沿平行于滑轨的直线运动相同距离。
3. 平移。将前一排的整排地砖作为一个整体，向上（或下）平移一块地砖宽度的距离，得到下一排。