函数图像平移规律左加右减口诀详解 及 易错题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：平移规律 原理

• 核心概念：想象函数的图像是一个有生命的“图形小精灵”。当我们要它在坐标平面上移动时，改变它的“身份证”（函数表达式） 就行。阿星发现了一个大秘密：只看它身上最突出的那个“顶点”怎么动，就能写出整个图形的搬家规则！移动规则就藏在两句口诀里。
• 计算秘籍：
  1. 确定移动方向和距离：向右 \(a\) 个单位，向上 \(b\) 个单位。
  2. 应用阿星口诀：
     • “左加右减（在x里变）”：横向移动要动 \(x\) 自己。向右移 \(a\)，新位置 = 旧位置 - \(a\)，所以在表达式里是 \(x\) 减去 \(a\)，即 \(f(x)\) 变成 \(f(x-a)\)。
     • “上加下减（在尾巴上变）”：纵向移动是整体调整。向上移 \(b\)，整个函数值都要 加上 \(b\)，所以在表达式最后加，即 \(f(x)\) 变成 \(f(x)+b\)。
  3. 合并公式：若将 \(y = f(x)\) 的图像向右平移 \(a (a>0)\) 个单位，再向上平移 \(b (b>0)\) 个单位，得到的新图像解析式为：
     \[ y = f(x - a) + b \]
• 阿星口诀：“函数搬家不用慌，阿星口诀来帮忙。左右平移x加减，上下平移尾巴扛。 紧盯顶点怎么跑，新的式子不会忘！”

📐 图形解析

我们以最简单的“山包”函数 \(y = x^2\) 为例，它的顶点在 \((0, 0)\)。将它向右平移3个单位，再向上平移2个单位。

平移后顶点坐标： \((0+3, 0+2) = (3, 2)\)

根据口诀“左加右减（在x里变）”，向右3，则 \(x\) 变成 \(x-3\)；“上加下减（在尾巴上变）”，向上2，则整体加2。

新函数为：\[ y = (x - 3)^2 + 2 \]

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把方向记反。比如，将 \(y=2x\) 向右平移4个单位，写成 \(y=2(x+4)\)。
  ✅ 正解：牢记口诀 “左加右减” 。“右减”意味着向右移动要在 \(x\) 上做减法。正确应为 \(y=2(x-4)\)。
• ❌ 错误2：混淆“在x里变”和“在尾巴上变”。比如，将 \(y=x^3\) 向上平移5个单位，写成 \(y=(x+5)^3\)。
  ✅ 正解：口诀 “上加下减（在尾巴上变）” 。“上加”意味着整个函数值增加。向上平移5，是尾巴上整体+5，正确应为 \(y=x^3+5\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 将点 \(A(2, 5)\) 向左平移3个单位，得到的点A'坐标是？
2. 将直线 \(y = -x + 2\) 向上平移5个单位，新直线的解析式是？
3. 抛物线 \(y = x^2\) 向右平移1个单位，再向下平移4个单位后，解析式变为？
4. 将函数 \(y = \sqrt{x}\) 的图像向右平移2个单位，新图像对应的函数是？
5. 将 \(y = |x|\) 的图像向左平移3个单位，所得图像解析式为？
6. 把双曲线 \(y = -\frac{2}{x}\) 向上平移3个单位，新函数解析式是？
7. 点 \(B(-1, 3)\) 经过“向右平移4，向下平移2”后到达点B‘，求B’坐标。
8. 将 \(y = 2x - 7\) 的图像向下平移3个单位，求平移后的函数在 \(x=0\) 时的函数值。
9. 把 \(y = (x-1)^2\) 的图像向上平移2个单位，新图像的顶点坐标是？
10. 一次函数图像经过平移后与 \(y=5x\) 重合，且它过点 \((0, 3)\)，求原一次函数解析式。

第二关：中考挑战（10道）

1. （改编自中考题）在平面直角坐标系中，将函数 \(y=2x^2\) 的图像先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为\_\_\_\_\_。
2. 将直线 \(y=2x-1\) 沿x轴向右平移m个单位后，恰好经过点 \((4, 3)\)，则m的值为\_\_\_\_\_。
3. （顶点转移法）抛物线 \(y=ax^2+bx+c (a \neq 0)\) 的顶点为 \((1, 4)\)，将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线顶点为\_\_\_\_\_。
4. （综合题）若把一次函数 \(y=kx+b\) 的图像向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的图像与原图重合，则 \(k\) 的值为\_\_\_\_\_。
5. （反比例函数平移）反比例函数 \(y=\frac{k}{x}\) 的图像经过点 \((2, -1)\)，若将其图像向左平移1个单位，则平移后图像对应的函数解析式是\_\_\_\_\_。
6. （几何变换结合）在坐标系中，\(\triangle ABC\) 三个顶点坐标分别为 \(A(1,2), B(3,1), C(2,4)\)，将其整体向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到 \(\triangle A'B'C‘\)，则点C’的坐标为\_\_\_\_\_。
7. （找原图）若抛物线 \(y=x^2-4x+7\) 可由某抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，则原抛物线的解析式为\_\_\_\_\_。
8. （参数求解）已知函数 \(y=\frac{1}{2}x^2\) 的图像经过平移后，顶点落在直线 \(y=x+1\) 上，且新的图像过点 \((2, 4)\)，求平移后的解析式。
9. （比较难度）函数 \(y=\sqrt{3x-6}\) 的图像向右平移\_\_\_\_\_个单位，可得到函数 \(y=\sqrt{3x+3}\) 的图像。
10. （阅读理解）定义：在平面内，将函数图像G上所有点的横坐标变为原来的n倍（n>0），纵坐标不变，得到新图像G‘。若将G’看作由G平移得到，则这个“平移”是\_\_\_\_\_（填“左右”或“上下”）平移，距离为\_\_\_\_\_。（提示：思考特殊点如顶点的移动）

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑设计）一个拱门形状是抛物线 \(y=-\frac{1}{8}x^2 + 4\)（单位：米）。现需在旁边建造一个形状相同、但顶部高出1米、且向右平移2米的拱门。求新拱门的抛物线方程。
2. （图形设计）在电脑绘图软件中，一个心形图案的轮廓线一部分可用函数 \(y=\sqrt{1-x^2}\) 描述。设计师想复制这个图案，并将复制品整体向右移动3个像素，向上移动2个像素。描述复制品对应部分的函数关系式。
3. （车辆导航）一辆汽车沿直线道路匀速行驶，其位置s（米）与时间t（秒）关系为 \(s=5t\)。另一辆晚出发10秒的汽车，以相同速度从同一地点出发追赶。写出第二辆汽车的位置s与时间t的关系式。这可以看作是什么函数图像的平移？
4. （测量校准）一个传感器的输出信号y与实际物理量x成反比，即 \(y=\frac{k}{x}\)。安装时，由于零点偏移，实际测量值 \(x_m\) 比真实值 \(x\) 大2个单位（即 \(x_m = x + 2\)）。请写出校准后，用测量值 \(x_m\) 表示真实物理量 \(x\) 的函数关系式。
5. （图案拼接）地砖的基本花纹单元是函数 \(y=\sin x\) 在 \([0, 2\pi]\) 的一段图像。为了铺满地面，需要将基本单元向右连续平移 \(2\pi\) 的整数倍距离。写出第n块（\(n\)为自然数）地砖上花纹所对应的函数解析式（定义域为 \([2n\pi, 2(n+1)\pi]\) ）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (-1, 5) \)（向左，x减3）
2. \( y = -x + 7 \)（上加5，常数项2+5）
3. \( y = (x-1)^2 - 4 \)（右1：x-1；下4：-4）
4. \( y = \sqrt{x-2} \)（右2：x-2）
5. \( y = |x+3| \)（左3：x+3）
6. \( y = -\frac{2}{x} + 3 \)（上加3）
7. \( (3, 1) \)（x: -1+4=3； y: 3-2=1）
8. -10（原式下移3：\( y=2x-7-3=2x-10 \)，代入 \( x=0 \) 得 -10）
9. \( (1, 2) \)（原顶点(1,0)，向上2，纵坐标+2）
10. \( y=5x+3 \)（过(0,3)说明是由 \( y=5x \) 向上平移3个单位得到）

第二关：中考挑战

1. \( y=2(x-1)^2+2 \)
2. 3（平移m单位后解析式为 \( y=2(x-m)-1 \)，代入(4,3)： \( 3=2(4-m)-1 \)，解得 m=3）
3. \( (-1, 1) \)（顶点(1,4) → 左2：(1-2,4)=(-1,4) → 下3：(-1, 4-3)=(-1,1)）
4. \( \frac{2}{3} \)（设原图平移后为 \( y=k(x-2)+b+3 = kx -2k + b +3 \)，与原图 \( y=kx+b \) 重合，则 \( -2k+b+3 = b \)，解得 \( k=\frac{3}{2} \)。）
5. \( y=\frac{-2}{x+1} \)（先求k：将(2,-1)代入 \( y=k/x \) 得 k=-2。左移1：\( x \to x+1 \)，得 \( y=\frac{-2}{x+1} \)）
6. \( (0, 5) \)（C(2,4) → 左2：(0,4) → 上1：(0,5)）
7. \( y=(x+1)^2+2 \) 或 \( y=x^2+2x+3 \)（逆向操作：将给定抛物线“左移2，上移1”。顶点(2,3)逆向移回(0,4)，或解析式：\( y=(x-2)^2+3 \) → 逆向：\( y=(x+2)^2+4 = x^2+4x+8 \)？检查：给定式 \( y=x^2-4x+7 = (x-2)^2+3 \)，逆向：左2：\( y=(x+2-2)^2+3 = x^2+3 \)？不对。应：新图顶点(2,3)，原图顶点应为(2-2, 3+1)=(0,4)，原式为 \( y=(x-0)^2+4 = x^2+4 \)。验证：将 \( y=x^2+4 \) 右2下1：\( y=(x-2)^2+4-1 = x^2-4x+4+3 = x^2-4x+7 \)。正确。）
8. \( y=\frac{1}{2}(x-1)^2+2 \)（设平移后为 \( y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k \)，顶点(h,k)在 \( y=x+1 \) 上，有 \( k=h+1 \)。又过点(2,4)： \( 4=\frac{1}{2}(2-h)^2+h+1 \)，解得 \( h=1, k=2 \)。）
9. 3（令 \( \sqrt{3(x-h)} = \sqrt{3x+3} \)，则 \( 3(x-h)=3x+3 \)，解得 \( h=-1 \)。即“向右平移-1个单位”=向左平移1个单位？但题目是“向右平移_个单位”。检查：\( y=\sqrt{3x+3}=\sqrt{3(x+1)} \)，是由 \( y=\sqrt{3x} \) 左移1得到。而原函数 \( y=\sqrt{3x-6}=\sqrt{3(x-2)} \)，它到 \( y=\sqrt{3(x+1)} \) 需要左移3（即右移-3）。题目可能意为从 \( y=\sqrt{3x-6} \) 到 \( y=\sqrt{3x+3} \)。设右移h：\( \sqrt{3(x-h)-6} = \sqrt{3x+3} \)，得 \( 3x-3h-6=3x+3 \)，\( -3h=9 \)，\( h=-3 \)。故应填“-3”，即向左3单位。本题需注意起始函数。）【答案：左3】
10. 左右；距离与n有关，不是固定值。（例如，顶点(1,1)变为(n, 1)，相当于水平移动了 \( n-1 \) 个单位。但n是缩放因子，对所有点缩放比例相同，这本质上不是平移，是伸缩。题目定义是一种“变换”，若硬看作平移，则是左右移动，移动距离对每个点不同，因此没有统一的平移距离。此题为理解概念而设。）【答案：左右，无法确定统一距离】

第三关：生活应用

1. 新拱门方程：\( y = -\frac{1}{8}(x-2)^2 + 5 \)（原顶点(0,4)，新顶点(2,5)，代入顶点式。）
2. 复制品函数：\( y = \sqrt{1-(x-3)^2} + 2 \)（右3：x变x-3；上2：整体+2）
3. 第二辆车：\( s = 5(t-10) \)（相当于将第一辆车的s-t图像 \( s=5t \) 向右平移10个单位）。
4. 校准关系：\( x = x_m - 2 \)。（由 \( x_m = x + 2 \) 直接变形，或理解为真实值x是测量值 \( x_m \) 向左平移2个单位。）
5. 第n块地砖花纹：\( y = \sin(x - 2n\pi) \)，其中 \( x \in [2n\pi, 2(n+1)\pi] \)。（基本单元 \( y=\sin x, x\in[0,2\pi] \)，右移 \( 2n\pi \) 得到。）