平移知识点全解析：概念、公式、题型与易错点深度讲解专项练习题库

💡 阿星精讲：平移 原理

• 核心概念：想象一下，你有一张印着精美图案的透明胶片（比如一个三角形、一朵小花）。现在，你把这张胶片在桌面上，不旋转、不翻转、也不拉扯，只是整体地滑到另一个位置。这个过程就是“平移”！阿星把它叫做“图案还原”——因为你滑动的只是图案的位置，图案本身的形状和大小没有一丝一毫的改变。更神奇的是，原来图案上的每一个点（比如三角形的三个顶点），都沿着相同的方向，移动了相同的距离。连接新旧位置对应点的线段，不仅长度相等，而且互相平行（或者在同一条直线上）。这就是“连接各点的线段平行且相等”的生动体现。
• 计算秘籍：在坐标系中，平移被量化了。平移的方向和距离由一个“指挥棒”——平移向量 来决定。假设这个向量是 \( \vec{v} = (a， b) \)，那么图形上任意一点 \( P(x， y) \) 平移后的新位置 \( P'(x'， y') \) 可以通过一个简单的“加减法口诀”找到：
  • 横坐标变化：\( x' = x + a \)
  • 纵坐标变化：\( y' = y + b \)

  口诀：“向量指挥，横纵相加”。如果 \( a \) 是正数，向右移；负数则向左。如果 \( b \) 是正数，向上移；负数则向下。

• 阿星口诀：平移图形像搬家，大小形状不变卦。对应点间连线段，平行相等是密码。

📐 图形解析

下图展示了三角形 \( ABC \) 在平移向量 \( \vec{v} \) 的“指挥”下，平移到新位置 \( A'B'C' \) 的过程。

观察图形：\( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \)，且 \( AA' \parallel BB' \parallel CC' \)，\( AA' = BB' = CC' \)。若测得向量 \( \vec{v} \) 的坐标约为 \( (110， -40) \)，则平移规律为：\( (x', y') = (x + 110， y - 40) \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：平移时，只移动了图形的一部分点，导致图形“散架”或变形。
  ✅ 正解：平移是图形上所有点的整体、一致运动。必须确保每一个点都按照相同的规则（相同的平移向量）移动。
• ❌ 错误2：在网格题中，数错平移的格子数，或者弄错方向（左右、上下混淆）。
  ✅ 正解：选定一个关键点（如顶点），追踪它移动的轨迹。先看水平方向：向左还是向右，移动几格；再看垂直方向：向上还是向下，移动几格。用“\( (水平变化， 垂直变化) \)”来记录平移向量。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 点 \( M(5， -1) \) 向左平移2个单位，得到的点坐标是______。
2. 点 \( N(-3， 4) \) 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的点坐标是______。
3. 如果一个图形上所有点都向下平移了5个单位，那么这个图形上某一点 \( (a， b) \) 平移后的坐标是______。
4. （看图题）下图中，小船向（ ）平移了（ ）格。
   （配简图：网格中左边一艘小船，右边一艘一模一样的小船）
5. 平移不改变图形的______和______，只改变其______。
6. 连接平移前后图形对应点的线段，其关系是______且______。
7. 将三角形ABC平移，顶点A从 (1， 1) 移到了 (4， 5)，则平移向量是______。
8. 点 \( P(0， 0) \) 经过平移向量 \( (-2， 7) \) 平移后，坐标变为______。
9. 判断题：平移后的图形一定与原图形全等。（ ）
10. 判断题：平移的方向只能是水平或垂直的。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. （网格综合）在平面直角坐标系中，已知 \( \triangle ABC \) 三个顶点的坐标分别为 \( A(-1， 2)， B(-3， 1)， C(0， -1) \)。将 \( \triangle ABC \) 平移后得到 \( \triangle A'B'C' \)，若点 \( A' \) 的坐标为 \( (2， 3) \)，则点 \( B' \) 的坐标为______。
2. （确定平移方式）如图，将 \( \triangle ABC \) 沿射线BC方向平移，使点B与点C重合，得到 \( \triangle DCE \)。若 \( AB=5， BC=3， AC=4 \)，则平移的距离为______，线段AD的长为______。
3. （求面积）在坐标系中，将梯形OABC平移得到梯形O‘A’B‘C’。已知原梯形面积为8，则平移后梯形面积为______。
4. （函数图像平移）将抛物线 \( y = x^2 \) 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为______。
5. （逆向思维）在平面直角坐标系中，线段AB两端点的坐标分别为 \( A(-2， 1)， B(1， 3) \)，将线段AB平移后，端点A的对应点 \( A' \) 坐标为 \( (3， -1) \)，则端点B的对应点 \( B' \) 坐标为______。
6. （几何证明）如图，已知 \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)，且点B， E， C， F在同一直线上。求证：四边形ABED是平行四边形。（提示：利用平移性质证明线段平行且相等）
7. （找规律）第一个图案由4个基础图形组成，第二个图案由7个组成，第三个由10个组成…若每个基础图形通过平移得到下一个，则第n个图案中基础图形的个数是______。
8. （最短路径-平移应用）如图，在直线l同侧有两点A， B。在l上找一点P，使 \( AP + BP \) 最短。（提示：利用平移将其中一点移到直线另一侧）
9. （坐标系中的面积不变性）三角形顶点为 \( A(0，0), B(3，0), C(1，2) \)，将其平移后，顶点A‘落在 (2， 3)，求平移后的三角形与原三角形重叠部分的面积（假设不重叠）。
10. （综合应用）某公园的长方形花坛要进行扩建，设计方案是将原花坛（如图中实线）向东平移4米，再向南平移3米得到新花坛（虚线）。已知原花坛长为10米，宽为6米，求新花坛比原花坛面积增大了多少平方米？

第三关：生活应用（5道）

1. （电梯移动）你站在匀速上升的电梯里。从3楼到8楼，这个过程可以看作是你相对于地面做了一次______运动。你的______和______没有变，但______改变了。
2. （推拉门设计）商场的一扇推拉门，其每一扇门板在滑轨上的运动是______运动。设计师要确保门板上的装饰图案在门开合时保持完整美观，利用了平移______的性质。
3. （汽车入库）司机将汽车笔直地倒入车位。如果把汽车看作一个整体图形，这个过程近似于一次______。为了不刮蹭，司机需要保证汽车在移动过程中不发生______。
4. （印刷排版）打印机在打印一行文字时，打印头沿水平方向的移动可以看作是______运动。为了保证每个字符对齐，每次移动的距离必须是______的。
5. （传送带运输）工厂传送带上的产品从A工位运送到B工位。假设产品在传送带上没有翻滚滑动，这个运输过程对产品而言是一次______。产品在A、B两个工位上的朝向是______的。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (3， -1) \) （解析：向左平移，横坐标减2）
2. \( (0， 6) \) （解析：\( (-3+3， 4+2) = (0， 6) \)）
3. \( (a， b-5) \) （解析：向下平移，纵坐标减5）
4. 右，7 （解析：以船头最顶端一点计数）
5. 形状，大小，位置
6. 平行，相等
7. \( (3， 4) \) （解析：\( (4-1， 5-1) = (3， 4) \)）
8. \( (-2， 7) \) （解析：直接应用向量加法）
9. √
10. × （解析：平移可以是任意方向）

第二关：中考挑战

1. \( (0， 2) \) （解析：由 \( A(-1，2) \) 到 \( A'(2，3) \) 得向量 \( (3， 1) \)，则 \( B' = (-3+3， 1+1) = (0， 2) \)）
2. 3， 8 （解析：平移距离为BC长3；AD = AB + BC + CD = 5+3+?， 由全等知CD=AC=4， 故AD=5+3+4=12？ 更正：沿BC方向平移到B与C重合，则平移距离=BC=3。A对应D，则AD平行且等于BC？不对。因为B与C重合，所以是将三角形整体沿BC移动了距离BC=3。点A移动到了D，所以AA‘=3，且AA’平行于BC。四边形ABCA‘是平行四边形吗？不，是梯形？更严谨：B到C是平移，则向量为 \( \vec{BC} \)，所以 \( \vec{AD} = \vec{BC} \)，所以AD平行等于BC=3。所以AD=3？题目给AB=5，AC=4，BC=3，三角形是直角三角形（\(3^2+4^2=5^2\)）。平移后，A到D，B到C，C到E。所以BC是平移距离=3。AD的长度等于平移的距离吗？连接对应点的线段平行且相等，所以AD平行等于BE？B和E不是对应点。对应点是A和D，B和C，C和E。所以AD平行等于BC？不对，A对应D，B对应C，所以向量AD=向量BC。所以AD=BC=3。而AB=5，DC=AB=5（因为平移）。求AD？AD=BC=3。但三角形ABC平移到了DCE，所以四边形ABED是平行四边形吗？A对D，B对C，所以AB平行等于DC。A、D、E、B不构成四边形。题目问AD，即点A平移后的起点到终点的距离，等于平移向量的模，即BC=3。若问线段AD的长度，就是3。所以答案：平移距离3，AD长3。原解析有误，特此更正。）
3. 8 （解析：平移不改变面积）
4. \( y = (x+2)^2 - 1 \) （解析：左加右减，上加下减）
5. \( (6， 1) \) （解析：由 \( A(-2，1) \) 到 \( A'(3，-1) \) 得向量 \( (5， -2) \)，则 \( B' = (1+5， 3-2) = (6， 1) \)）
6. 证明：∵ \( \triangle ABC \cong \triangle DEF \) 且由图形位置知是平移得到，∴ \( AB \parallel DE \) 且 \( AB = DE \)，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴ 四边形ABED是平行四边形。
7. \( 3n+1 \) （解析：等差数列，首项4，公差3）
8. 解析：作点B关于直线l的对称点B‘，连接AB’交l于点P，即为所求。此方法本质是将折线APB转化为线段AB‘，利用了两点之间线段最短。其中，将BP“平移”或“对称”到了B’P。
9. 0 （解析：平移后的三角形与原三角形位置不同，无重叠）
10. 解析：原面积 \( S_{\text{原}} = 10 \times 6 = 60 \) 平方米。新花坛仍是长方形，长宽不变，面积仍为60平方米。平移不改变形状大小，所以面积不变，增大了0平方米。题目可能意在考察平移性质，而非面积增大。

第三关：生活应用

1. 平移，形状，大小，高度（位置）
2. 平移，形状大小不变
3. 平移，旋转
4. 平移，固定（或相等）
5. 平移，相同