平行投影知识点全解+易错题剖析+中考真题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：平行投影 原理

• 核心概念：想象一下，早上八九点钟的太阳光，是不是一束束平行地洒下来？阿星：“就像无数个并肩前进的士兵，步伐一致，绝不交叉！” 这就是平行光线。当一束束平行光照射到一个物体上，在平面上留下的影子，就叫做平行投影。你的影子，楼房的影子，都是太阳这位“总指挥官”手下的“平行光士兵”画出来的！最神奇的是，在这些平行光下，物体的实际高度和它的影子长度，总是保持着固定的比例关系，这就是解开所有问题的金钥匙。
• 计算秘籍：关键在于找到一个不变的“缩放系数”。
  1. 确定基准：在同一时间、同一光源（如太阳）下，找一个你知道高度的物体（比如一根 \(1.5\mathrm{m}\) 的竹竿），测量它的影长（比如 \(2\mathrm{m}\)）。
  2. 计算比例系数 \(k\)： \(k = \frac{\text{物体高度}}{\text{影长}} = \frac{1.5}{2} = 0.75\)。这个 \(k\) 值在此时此地，对所有物体都相同！
  3. 应用求解：测量未知物体的影长 \(l\)，它的真实高度 \(h\) 满足：\(h = k \times l = 0.75 \times l\)。

  通用公式：在同一组平行光下，有 \( \frac{h_1}{l_1} = \frac{h_2}{l_2} = k \)。

• 阿星口诀：光线平行如士兵，影长高度定比例。知二求一用等式，影子世界藏真理。

📐 图形解析

下面这张图，完美展示了“平行光士兵”如何工作。注意观察，所有光线（蓝色虚线）方向大小一致。物体的顶端和底端，通过平行光线，精准地投射到地面，形成了影子。

核心数学关系：\( \frac{\text{物体AB的高度}}{\text{影子BC的长度}} = \frac{\text{物体DE的高度}}{\text{影子EF的长度}} \)，即 \( \frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：以为任何光线下，高度和影长都成正比。 → ✅ 正解：只有在平行光源（如太阳、探照灯）下才成立。台灯、手电筒等点光源不适用！
• ❌ 错误2：测量时忽略“同一时间”。上午和下午的太阳角度不同，比例系数 \(k\) 会变！ → ✅ 正解：所有测量必须在同一时刻完成，以保证光线平行度一致。
• ❌ 错误3：看到“影子”就套公式，忽略物体是否垂直于地面。 → ✅ 正解：公式 \( \frac{h}{l} = k \) 默认物体是竖直的。如果物体倾斜，其“投影高度”与影长的关系会更复杂。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一根 \(1.8\mathrm{m}\) 的竹竿，影长 \(1.2\mathrm{m}\)。同一时刻，一座钟楼的影长是 \(20\mathrm{m}\)，钟楼高多少米？
2. 下午，一棵 \(6\mathrm{m}\) 高的树影子长 \(4\mathrm{m}\)。小明站在树旁，影长 \(1.2\mathrm{m}\)，小明身高多少米？
3. 在同一时刻的阳光下，甲物体高 \(2\mathrm{m}\)，影长 \(2.5\mathrm{m}\)；乙物体影长 \(7.5\mathrm{m}\)，乙物体高多少米？
4. 判断题：晚上在路灯下走路，人影的长度变化也遵循平行投影的比例关系。（ ）
5. 如图，两根垂直于地面的电线杆AB和CD，在太阳光下影子如图所示。已知AB高 \(6\mathrm{m}\)，影长 \(BE=4\mathrm{m}\)，CD影长 \(DF=6\mathrm{m}\)，求CD的高度。
   
6. 若某时刻，身高与影长的比例系数 \(k = 0.8\)，一个影长为 \(3.5\mathrm{m}\) 的旗杆，实际高度是多少？
7. 填空题：在平行投影中，物体的高度增加一倍，其影长会 ______ 。
8. 上午9点，教学楼影子长 \(30\mathrm{m}\)，已知此时比例系数 \(k = 1.2\)，教学楼高 ______ \(\mathrm{m}\)。
9. 两根竹竿，第一根高 \(a\mathrm{m}\)，影长 \(b\mathrm{m}\)；第二根高 \(c\mathrm{m}\)，其影长如何用 \(a, b, c\) 表示？
10. 请用平行投影原理解释，为什么正午时分人的影子最短？

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）如图，小明用镜子测量树高。他把镜子放在地上C点，后退到D点刚好看到树顶A。已知小明眼高 \(ED=1.5\mathrm{m}\)，\(CD=2\mathrm{m}\)，\(BC=10\mathrm{m}\)，且光线满足入射角等于反射角。请说明此方法本质是平行投影的变形，并求树高AB。
   
   （提示：将太阳光视为平行光，反射后依然平行）
2. （比例计算）在某一时刻，测得学校操场上国旗杆的影子一部分落在平地上，长 \(6\mathrm{m}\)，另一部分落在台阶上，台阶每级高 \(0.15\mathrm{m}\)，宽 \(0.3\mathrm{m}\)，影子在台阶上占了两级。若此时 \(1\mathrm{m}\) 长的竹竿影长 \(0.8\mathrm{m}\)，求旗杆的高度。
3. （方程思想）小亮在阳光下玩耍，他的影子以固定速度变长。已知影子长度从 \(1\mathrm{m}\) 变为 \(1.5\mathrm{m}\) 时，身高不变的小亮在这段时间内走过的路程是 \(3\mathrm{m}\)。求小亮的身高。
4. （格点图形）如图，在 \(4 \times 4\) 的正方形网格中，每个小正方形边长为1。太阳光线从点A方向平行射入，请画出线段BC在该平行光下的投影，并计算投影的长度。
   
   （提示：投影即过端点作平行于光线的直线，与地面的交点连线）
5. （实际应用）工程队需要测量一条河的宽度。他们在河对岸选定一个目标点P，在河这边垂直于河岸的方向上取两点A和B，使得PA与河岸垂直。在阳光下，测得PA的影子AQ长 \(12\mathrm{m}\)，同时测得一根垂直于地面、高 \(2\mathrm{m}\) 的标杆在此时影长 \(1.5\mathrm{m}\)。求河宽PA。

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑测量）建筑工人需要安装一块玻璃幕墙，为了确定横梁的位置，他们在阳光下用一根激光笔（模拟平行光）照射一个已知尺寸的模型，观察其影子落在图纸上的位置进行放大定位。若模型高 \(0.5\mathrm{m}\)，在图纸上影长 \(0.2\mathrm{m}\)，希望最终实际幕墙的某个部件在图纸上计划的影长为 \(1.6\mathrm{m}\)，则该部件的实际设计高度应为多少？
2. （艺术创作）画家在画室外写生，为了在画布上准确描绘出远处建筑物的透视比例，他举起画笔，用一只眼睛观察，用画笔的高度来测量建筑物各部分在视线中的比例。这利用了什么数学原理？这与平行投影有何异同？
3. （科技设备）太阳能电池板为了获得最大发电效率，需要正对太阳光。在某地，夏至日正午太阳光线与水平面夹角为 \(75^\circ\)。如果电池板板面需要垂直于光线，那么它的支架与水平面的夹角应设计为多少度？请画出示意图。
4. （历史地理）古希腊数学家泰勒斯利用影子测量了金字塔的高度。历史记载他选择了一个“影子长度等于身高的时刻”进行测量。请分析他这样做的巧妙之处，并推导出在此刻，只需测量什么长度即可得到金字塔高？
5. （创新设计）请你为社区设计一个“日晷”玩具，利用太阳的影子来指示时间。画出设计草图，并说明：
   • 晷针（产生影子的杆）应如何放置？
   • 晷面（刻有时间的面）的形状应该是怎样的？
   • 在不同的季节（太阳高度角变化），读数需要进行怎样的补偿或说明？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解：设钟楼高 \(h\)。由比例 \( \frac{1.8}{1.2} = \frac{h}{20} \)，得 \(h = \frac{1.8}{1.2} \times 20 = 1.5 \times 20 = 30 \, (\mathrm{m})\)。
2. 解：设小明身高 \(x\)。由比例 \( \frac{6}{4} = \frac{x}{1.2} \)，得 \(x = \frac{6}{4} \times 1.2 = 1.5 \times 1.2 = 1.8 \, (\mathrm{m})\)。
3. 解：设乙物体高 \(h\)。由比例 \( \frac{2}{2.5} = \frac{h}{7.5} \)，得 \(h = \frac{2}{2.5} \times 7.5 = 0.8 \times 7.5 = 6 \, (\mathrm{m})\)。
4. 答：错误。路灯是点光源，光线不平行，人影变化不符合固定比例关系。
5. 解：设 \(CD = h\)。由 \(\triangle ABE \sim \triangle CDF\)，得 \( \frac{AB}{BE} = \frac{CD}{DF} \)，即 \( \frac{6}{4} = \frac{h}{6} \)，解得 \(h = 9 \, (\mathrm{m})\)。
6. 解：旗杆高 \(h = k \times l = 0.8 \times 3.5 = 2.8 \, (\mathrm{m})\)。
7. 答：也增加一倍。
8. 解：教学楼高 \(h = k \times l = 1.2 \times 30 = 36 \, (\mathrm{m})\)。
9. 答：影长为 \( \frac{b \cdot c}{a} \, \mathrm{m}\)。
10. 答：正午太阳在正上方，光线与地面夹角最大（接近垂直）。根据平行投影，物体高度 \(h\) 不变，影长 \(l = \frac{h}{k}\)，而 \(k = \tan(\text{太阳高度角})\)。正午时太阳高度角最大，\(\tan\) 值最大，故 \(k\) 最大，所以影长 \(l\) 最短。

第二关 & 第三关（解析思路提要）

11. 本质是利用光的反射定律，将来自树顶的平行光（太阳光）反射到人眼，构造出相似三角形（\(\triangle ABC \sim \triangle EDC\)）。树高 \(AB = \frac{ED \times BC}{CD} = \frac{1.5 \times 10}{2} = 7.5\mathrm{m}\)。
12. 关键是将台阶上的影子长度“拉直”到水平方向。两级台阶高 \(0.3\mathrm{m}\)，宽 \(0.6\mathrm{m}\)。影子在台阶上相当于沿着斜坡走了两段。需要将斜坡影长换算成水平分量，加上平地上的 \(6\mathrm{m}\)，得到总水平影长，再利用竹竿比例求解。
13. 设身高为 \(h\)，初始太阳高度角为 \(\theta_1\)，则 \(l_1 = h / \tan\theta_1 = 1\)。终了时 \(l_2 = h / \tan\theta_2 = 1.5\)。影子端点移动距离为 \(3\mathrm{m}\)，即 \(l_2 - l_1 = 0.5\mathrm{m}\) ？不，这里需要结合人的移动，利用几何关系列方程。此题较难，需构建人与影子端点的运动关系图。
14. 过B、C两点作与光线（从A点出发的方向）平行的直线，与“地面”（假设为网格底边）交于两点，这两点间的线段长度即为投影长。需要用勾股定理计算。
15. 河宽PA即为物体高度。标杆及其影子提供了比例系数 \(k = 2 / 1.5 = 4/3\)。因此，PA = \(k \times AQ = (4/3) \times 12 = 16\mathrm{m}\)。