平方根性质2：√a²为什么等于|a|？深度解析与易错题攻克专项练习题库

💡 阿星精讲：平方根性质2 原理

• 核心概念：阿星闪亮登场！想象一下，数字 \( a \) 穿上了一件“平方”的铠甲 \( a^2 \)，变得刀枪不入（非负）。这时，我们想用开方手术 \(\sqrt{\quad}\) 把它的“原形”取出来。结果你会发现，如果 \( a \) 本来是正数（好人），取出来还是它自己；但如果 \( a \) 本来是负数（戴着面具的好人），取出来就变成了它的相反数（一个和它绝对值一样大的正数）。为什么？因为开方运算 \(\sqrt{\quad}\) 天生只吐“非负数”这个结果！所以，为了确保结果非负，我们必须给“原形” \( a \) 也穿上一件“绝对值”的防护服，记作 \( |a| \)。这就是公式 \(\sqrt{a^2} = |a|\) 的由来。记住阿星的话：“平方后开方，是数学里最大的‘卸妆术’，但卸完妆必须保证出来的是非负脸（绝对值）！”
• 计算秘籍：
  1. 看到 \(\sqrt{a^2}\) 形式，先写出绝对值框架：\(|a|\)。
  2. 根据 \(a\) 的已知条件（正、负、零或未知），去掉绝对值符号：
     • 若已知 \(a \ge 0\)，则 \(\sqrt{a^2} = |a| = a\)。
     • 若已知 \(a \le 0\)，则 \(\sqrt{a^2} = |a| = -a\)（注意：此时 \(-a\) 是正数）。
     • 若 \(a\) 的符号未知，则结果必须保留为 \(|a|\)。
• 阿星口诀：平方再开方，绝对值穿上。正数原样走，负数变相反。

📐 图形解析

为了理解“绝对值”如何把正负两个数映射到同一个正数，我们借助数轴：

公式说明：如图所示，对于 \(a = -2\) 和 \(a = 2\)，经过“平方”运算后，都得到 \(a^2 = 4\)。再对这个结果进行“开方”运算：\(\sqrt{4} = 2\)。这个“2”正是原来两个数 \(-2\) 和 \(2\) 的绝对值 \(|-2|\) 和 \(|2|\)。这个过程直观地验证了 \(\sqrt{a^2} = |a|\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为 \(\sqrt{a^2} = a\)，直接去掉根号和平方。
  ✅ 正解：结果必须加上绝对值符号，即 \(\sqrt{a^2} = |a|\)。因为 \(a\) 可能是负数，而算术平方根的结果必须非负。
• ❌ 错误2：在化简 \(\sqrt{(x-3)^2}\) 时，直接写成 \(x-3\)。
  ✅ 正解：正确的化简基于 \(x-3\) 的符号。若 \(x \ge 3\)，则 \(\sqrt{(x-3)^2} = x-3\)；若 \(x \le 3\)，则 \(\sqrt{(x-3)^2} = -(x-3) = 3 - x\)；若符号未知，则结果应为 \(|x-3|\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算：\(\sqrt{9^2}\)。
2. 计算：\(\sqrt{(-12)^2}\)。
3. 计算：\(\sqrt{(1/2)^2}\)。
4. 化简：\(\sqrt{m^2}\)（\(m \ge 0\)）。
5. 化简：\(\sqrt{n^2}\)（\(n < 0\)）。
6. 填空：若 \(\sqrt{x^2} = 7\)，则 \(x = \_\_\_\)。
7. 填空：若 \(\sqrt{(y+1)^2} = 0\)，则 \(y = \_\_\_\)。
8. 化简：\(\sqrt{(-0.3)^2}\)。
9. 判断对错：\(\sqrt{(-7)^2} = -7\)。 （ ）
10. 判断对错：对于任意实数 \(p\)，\(\sqrt{p^2} = p\)。 （ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. 已知 \(a < 2\)，化简 \(\sqrt{(a-2)^2} + |3-a|\)。
2. 实数 \(a, b\) 在数轴上的位置如图所示，化简 \(\sqrt{a^2} - \sqrt{(b-a)^2} + |b|\)。
   
3. 若 \(\sqrt{(m-2024)^2} = 2024 - m\)，求 \(m\) 的取值范围。
4. 化简：\(\sqrt{x^2 - 4x + 4}\) （提示：先对二次三项式因式分解）。
5. 已知 \(|x| = 5\)，求 \(\sqrt{(x-8)^2}\) 的值。
6. 比较大小：\(\sqrt{(-6)^2}\) ______ \(|-7|\) （填 >, <, =）。
7. 若 \(\sqrt{a^2} = -a\)，则 \(a\) 的取值范围是 ______。
8. 已知三角形的三边长为 \(a, b, c\)，且满足 \(\sqrt{(a-3)^2} + \sqrt{(b-4)^2} + |c-5| = 0\)，判断该三角形的形状。
9. 计算：\(\sqrt{(\pi - 3.14)^2}\)。（结果保留 \(\pi\)）
10. 当 \(1 < x < 4\) 时，化简 \(\sqrt{x^2 - 8x + 16} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}\)。

第三关：生活应用（5道）

1. 【误差计算】工人师傅加工一个标准长度为 \(L\) 厘米的零件，实际测量长度为 \(l\) 厘米。定义绝对误差为 \(e = |l - L|\)。若某次测量后计算得 \(\sqrt{(l-L)^2} = 0.5\)，请问绝对误差是多少？这体现了性质2的什么思想？
2. 【距离问题】在数轴上，点 \(A\) 对应的数为 \(x\)，点 \(B\) 对应的数为 \(3\)。用含 \(x\) 的式子表示 \(A, B\) 两点间的距离 \(AB\)，并说明其与 \(\sqrt{(x-3)^2}\) 的关系。
3. 【编程思想】在计算机编程中，求一个变量 \(a\) 的绝对值，除了用“abs(a)”函数，有时也会用“sqrt(a*a)”来实现。这利用了哪条数学性质？这种方法在什么情况下可能不适用？
4. 【物理情境】一个物体在东西方向的直路上运动，设向东为正方向。初始时刻在原点，经过一段时间后，它的位置坐标是 \(s\) 米。那么，它走过的路程（总路径长）是否可以用 \(\sqrt{s^2}\) 来表示？为什么？
5. 【建模思想】要为边长为 \(a\) 米的正方形展厅铺地毯。已知每平米地毯价格是 \(p\) 元，总预算为 \(B\) 元。写出预算约束方程。如果最后解出 \(a^2 = \frac{B}{p}\)，那么 \(a\) 应该取正根还是负根？如何用性质2确保我们得到有意义的解？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(9\)
2. \(12\)
3. \(\frac{1}{2}\)
4. \(m\) （因为 \(m \ge 0\)， \(|m| = m\)）
5. \(-n\) （因为 \(n < 0\)， \(|n| = -n\)）
6. \(\pm 7\) （由 \(|x| = 7\) 得出）
7. \(-1\) （由 \(|y+1| = 0\) 得出 \(y+1=0\)）
8. \(0.3\)
9. 错
10. 错

第二关：中考挑战

1. 解：由 \(a<2\) 知 \(a-2<0\)，故 \(\sqrt{(a-2)^2} = |a-2| = -(a-2)=2-a\)。由 \(a<2<3\) 知 \(3-a>0\)，故 \(|3-a|=3-a\)。原式 \(= (2-a)+(3-a)=5-2a\)。
2. 解：由数轴知 \(a<0, b>0, b-a>0\)。\(\sqrt{a^2}=|a|=-a\)，\(\sqrt{(b-a)^2}=|b-a|=b-a\)，\(|b|=b\)。原式 \(= (-a) - (b-a) + b = -a - b + a + b = 0\)。
3. 解：\(\sqrt{(m-2024)^2} = |m-2024|\)。由已知 \(|m-2024| = 2024 - m\)。根据绝对值定义，一个数的绝对值等于它的相反数，说明这个数非正。即 \(m-2024 \le 0\)，所以 \(m \le 2024\)。
4. 解：\(\sqrt{x^2-4x+4} = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2|\)。
5. 解：由 \(|x|=5\)，得 \(x=5\) 或 \(x=-5\)。当 \(x=5\) 时，\(\sqrt{(x-8)^2}=|5-8|=|-3|=3\)。当 \(x=-5\) 时，\(\sqrt{(x-8)^2}=|-5-8|=|-13|=13\)。故值为 \(3\) 或 \(13\)。
6. \(=\) （因为 \(\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6\)， \(|-7|=7\)， \(6<7\)， 故填 \(<\)）注意：此题答案应为 \(<\)。
7. \(a \le 0\) （因为 \(|a| = -a\)， 由定义知 \(-a \ge 0\)， 所以 \(a \le 0\)）
8. 解：几个非负数（算术平方根、绝对值）之和为0，则每个非负数都为0。故 \(a-3=0, b-4=0, c-5=0\)，得 \(a=3, b=4, c=5\)。因为 \(3^2+4^2=5^2\)，所以是直角三角形。
9. 解：\(\pi \approx 3.1416 > 3.14\)，所以 \(\pi - 3.14 > 0\)。原式 \(= |\pi - 3.14| = \pi - 3.14\)。
10. 解：\(\sqrt{x^2-8x+16} = \sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\)。\(\sqrt{x^2-2x+1} = \sqrt{(x-1)^2} = |x-1|\)。因为 \(1 < x < 4\)，所以 \(x-1 > 0\)，\(x-4 < 0\)。故 \(|x-4| = 4-x\)，\(|x-1| = x-1\)。原式 \(= (4-x) + (x-1) = 3\)。

第三关：生活应用（思路点拨）

1. 绝对误差是 \(0.5\) 厘米。体现了 \(\sqrt{(l-L)^2} = |l-L|\) 的思想，即先平方去掉符号影响，再开方恢复量纲，并用绝对值确保误差的非负性。
2. 距离 \(AB = |x - 3|\)。它与 \(\sqrt{(x-3)^2}\) 的关系是：\(AB = \sqrt{(x-3)^2}\)。因为距离就是坐标差的绝对值，而 \(\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|\)。
3. 利用了 \(\sqrt{a^2} = |a|\) 的性质。不适用情况：当 \(a\) 是非常大或非常小的数时，\(a*a\) 可能导致计算机“溢出”（超过表示范围），而直接求绝对值函数“abs(a)”更安全高效。
4. 可以。因为路程是标量，总为非负。物体可能向东或向西运动，位置坐标 \(s\) 可正可负，但 \(\sqrt{s^2} = |s|\) 恰好表示了物体离开原点的距离，即单次直线运动中（无折返）的路程。
5. 预算方程：\(p \cdot a^2 = B\)，即 \(a^2 = \frac{B}{p}\)。边长 \(a\) 应取正根。用性质2确保：由 \(a^2 = \frac{B}{p}\)，得 \(a = \pm\sqrt{\frac{B}{p}}\)。但 \(a\) 是边长，故应取 \(a = \sqrt{\frac{B}{p}} = \sqrt{(\sqrt{\frac{B}{p}})^2} = |\sqrt{\frac{B}{p}}|\)，由于 \(\sqrt{\frac{B}{p}} > 0\)，所以结果就是 \(\sqrt{\frac{B}{p}}\)，自然得到正解。