平方根性质(√a)²=a深度解析：易错点、例题精讲与中考应用专项练习题库

💡 阿星精讲：平方根性质1 原理

• 核心概念：想象一下，数字 \( a \) (记得 \( a \geq 0 \) 哦) 为了执行一个秘密任务，给自己穿上了一件“根号披风”，变成了 \( \sqrt{a} \)。当我们对这个乔装打扮后的 \( \sqrt{a} \) 施加“平方魔法”时，也就是计算 \( (\sqrt{a})^2 \)，会发生什么？阿星告诉你：这件“根号披风”会立刻被魔法的光芒烧掉，让 \( a \) 原形毕露！这个过程就像照妖镜，根号遇到平方，直接抵消，变回它本来的样子。
• 计算秘籍：
  1. 第一步：确认被开方数 \( a \) 的身份——非负数（\( a \geq 0 \)）。
  2. 第二步：直接让根号 \( \sqrt{\quad} \) 和外面的平方 \( ^2 \) 这两个“小冤家”互相抵消。
  3. 第三步：露出真面目，得到结果 \( a \)。公式就是：\( (\sqrt{a})^2 = a \ (a \geq 0) \)。
• 阿星口诀：根号平方两相遇，互相抵消成空气，非负真身现原形，简单直接真神奇！

📐 图形解析

我们可以用一个正方形来可视化这个性质。已知一个正方形的面积为 \( a \) ( \( a \geq 0 \) )，那么它的边长就是 \( \sqrt{a} \)。如果我们把边长平方（即求边长为边长的正方形的面积），得到的不就是原来的面积 \( a \) 吗？

公式：\( (\text{边长})^2 = \text{面积} \)，即 \( (\sqrt{a})^2 = a \) 。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：不管 \( a \) 是正还是负，都认为 \( (\sqrt{a})^2 = a \)。 → ✅ 正解：必须先确认根号下的 \( a \geq 0 \)，这是性质成立的前提。如果 \( a < 0 \)，\( \sqrt{a} \) 在实数范围内无意义。
• ❌ 错误2：将 \( (\sqrt{a})^2 \) 与 \( \sqrt{a^2} \) 混淆。 → ✅ 正解：\( (\sqrt{a})^2 \) 是先开方后平方，结果是 \( a \) ( \( a \geq 0 \) )。而 \( \sqrt{a^2} \) 是先平方后开方，结果是 \( |a| \)，两者计算顺序和含义都不同。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算 \( (\sqrt{5})^2 \)。
2. 计算 \( (\sqrt{0.09})^2 \)。
3. 计算 \( (\sqrt{\frac{16}{81}})^2 \)。
4. 若 \( x = 9 \)，求 \( (\sqrt{x})^2 \) 的值。
5. 若 \( y = 1.44 \)，求 \( (\sqrt{y})^2 \) 的值。
6. 判断对错：对于任意数 \( m \)，\( (\sqrt{m})^2 = m \)。
7. 填空：若 \( \sqrt{t} \) 有意义，则 \( (\sqrt{t})^2 = \) ____。
8. 一个正方形的面积是 \( 36 \, \text{m}^2 \)，其边长是 \( \sqrt{36} = 6 \, \text{m} \)。验证：\( (6)^2 = 36 \)，这与 \( (\sqrt{36})^2 = 36 \) 一致吗？
9. 计算 \( (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 \)。
10. 已知 \( (\sqrt{a})^2 = 13 \)，直接写出 \( a \) 的值。

第二关：中考挑战（10道）

1. 计算 \( (\sqrt{3-π})^2 \)。 (提示：注意 \( 3-π \) 的符号)
2. 已知 \( |x-2| + \sqrt{y+5} = 0 \)，求 \( (\sqrt{y})^2 \) 的值。
3. 化简：\( \sqrt{( \sqrt{5} - 3 )^2} + (\sqrt{5})^2 \)。
4. 若实数 \( a \) 满足 \( \sqrt{(a-1)^2} = 1-a \)，求 \( (\sqrt{a})^2 \) 的取值范围。
5. 已知 \( x = \sqrt{7} + 1 \)，\( y = \sqrt{7} - 1 \)，求 \( x^2 - 2xy + y^2 \) 的值。
6. 比较大小：\( (\sqrt{10})^2 \) ______ \( 3^2 \)。（填 >, <, =）
7. 若 \( \sqrt{a-2024} \) 有意义，则 \( (\sqrt{a-2024})^2 \) 的值为 ______。
8. 已知 \( m = (\sqrt{2})^2 \)，\( n = \sqrt{2^2} \)，比较 \( m \) 和 \( n \) 的大小。
9. 一个正数 \( x \) 的平方根是 \( a+1 \) 和 \( 2a-7 \)，求 \( (\sqrt{x})^2 \) 的值。
10. 观察规律：\( \sqrt{1^3} = 1 \)，\( \sqrt{1^3+2^3} = 3 \)，\( \sqrt{1^3+2^3+3^3} = 6 \) … 计算 \( (\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3})^2 \)。

第三关：生活应用（5道）

1. 海报设计：设计师需要制作一张正方形的公益海报，要求其面积恰好为 \( 1.21 \, \text{m}^2 \)。请问海报的边长应设计为多少米？若用公式“边长 = \( \sqrt{\text{面积}} \)”计算后，再验证“面积 = (边长)\(^2\)”，验证结果是什么？
2. 地基施工：一块正方形的地基，其面积为 \( S \) 平方米。施工队在计算所需地砖数量时，需要知道地基的周长。如果他们已经算出边长为 \( \sqrt{S} \) 米，请写出周长的表达式，并解释表达式 \( (\sqrt{S}) \times 4 \) 中，为什么 \( \sqrt{S} \) 可以直接用来计算。
3. 物理中的平方反比定律：在照明中，某点的光照度 \( E \) 与到光源距离 \( r \) 的平方成反比，即 \( E = \frac{k}{r^2} \) ( \( k \) 为常数)。如果我们通过测量得到了 \( E \) 和 \( k \)，那么距离 \( r = \sqrt{\frac{k}{E}} \)。请验证，将你求出的 \( r \) 代回原公式，是否一定能得到 \( E \)。（提示：计算 \( \frac{k}{(\sqrt{\frac{k}{E}})^2} \)）
4. 数据分析：在统计学中，标准差 \( \sigma \) 是方差 \( \sigma^2 \) 的算术平方根，即 \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)。如果一组数据的方差是 \( 16 \)，那么标准差是 \( 4 \)。请问，这组数据的方差是否等于“标准差的平方”？写出计算过程。
5. 编程思维：在计算机程序中，有时为了避免重复计算开销较大的平方根运算，会先存储 \( \sqrt{x} \) 的值。当需要用到 \( x \) 本身时，程序会直接计算 \( (\sqrt{x})^2 \)。假设 \( x = 18 \)，存储的 \( \sqrt{18} \approx 4.2426 \)，程序计算 \( (4.2426)^2 \approx 18.0001 \)。请解释为什么结果不是精确的 18？这反映了数学性质 \( (\sqrt{a})^2 = a \) 在计算机中的哪一点局限性？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 5 \)
2. \( 0.09 \)
3. \( \frac{16}{81} \)
4. \( 9 \)
5. \( 1.44 \)
6. 错。必须 \( m \geq 0 \)。
7. \( t \)
8. 一致。
9. \( 2 + 3 = 5 \)
10. \( a = 13 \)

第二关：中考挑战

1. \( \because 3-π < 0, \therefore \sqrt{3-π} \) 在实数范围内无意义，本题无实数解。（若在复数范围外，一般不考）
2. \( \because |x-2| \geq 0, \sqrt{y+5} \geq 0 \)，且和为0，∴ \( x-2=0, y+5=0 \)，得 \( y=-5 \)。但此时 \( \sqrt{y} = \sqrt{-5} \) 无意义，∴ \( (\sqrt{y})^2 \) 无实数解。（题目本意可能是求 \( y \) 值，常见题是求 \( x^y \) 等，此处原题有瑕疵，但警示了验条件的重要性）
3. 原式 = \( |\sqrt{5}-3| + 5 \)。∵ \( \sqrt{5} \approx 2.236 < 3 \)，∴ \( \sqrt{5}-3 < 0 \)，∴ 原式 = \( -(\sqrt{5}-3) + 5 = 3 - \sqrt{5} + 5 = 8 - \sqrt{5} \)。
4. 由 \( \sqrt{(a-1)^2} = |a-1| = 1-a \)，可知 \( 1-a \geq 0 \) 即 \( a \leq 1 \)，且 \( |a-1| = 1-a \) 成立。∴ \( a \) 的取值范围是 \( a \leq 1 \)。又 \( (\sqrt{a})^2 = a \) 要求 \( a \geq 0 \)。综上，\( a \) 的取值范围是 \( 0 \leq a \leq 1 \)，所以 \( (\sqrt{a})^2 \) 的取值范围是 \( [0, 1] \)。
5. \( x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 = [(\sqrt{7}+1) - (\sqrt{7}-1)]^2 = (2)^2 = 4 \)。
6. \( (\sqrt{10})^2 = 10 \)，\( 3^2 = 9 \)，∴ \( 10 > 9 \)，填 >。
7. \( a-2024 \)
8. \( m = (\sqrt{2})^2 = 2 \)，\( n = \sqrt{2^2} = \sqrt{4} = 2 \)，∴ \( m = n \)。
9. 一个正数的两个平方根互为相反数，∴ \( (a+1) + (2a-7) = 0 \)，解得 \( a = 2 \)。则平方根为 \( 3 \) 和 \( -3 \)，∴ \( x = 9 \)，\( (\sqrt{x})^2 = x = 9 \)。
10. 观察知，\( \sqrt{1^3+2^3+...+n^3} = 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2} \)。当 \( n=4 \) 时，\( \sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3} = 1+2+3+4 = 10 \)。∴ \( (\sqrt{1^3+2^3+3^3+4^3})^2 = 10^2 = 100 \)。

第三关：生活应用

1. 边长 = \( \sqrt{1.21} = 1.1 \, \text{m} \)。验证：\( (1.1)^2 = 1.21 \, \text{m}^2 \)，与 \( (\sqrt{1.21})^2 = 1.21 \) 一致。
2. 周长 \( C = 4 \times \sqrt{S} \) 米。因为 \( \sqrt{S} \) 直接就是边长的值，所以可以直接用于周长计算。这里的 \( \sqrt{S} \) 就是边长这个具体的长度值。
3. 验证：\( \frac{k}{(\sqrt{\frac{k}{E}})^2} = \frac{k}{(\frac{k}{E})} = \frac{k \times E}{k} = E \)。是的，一定成立。这正是性质 \( (\sqrt{a})^2 = a \) 的应用，其中 \( a = \frac{k}{E} > 0 \)。
4. 是。计算过程：方差 \( \sigma^2 = 16 \)，标准差 \( \sigma = \sqrt{16} = 4 \)。标准差的平方 \( = (\sigma)^2 = (4)^2 = 16 \)，恰好等于方差。这正是因为 \( (\sqrt{\sigma^2})^2 = \sigma^2 \)。
5. 因为计算机中存储的 \( \sqrt{18} \) 是一个有限精度的近似值（如 4.2426），并非精确的 \( \sqrt{18} \)。对这个近似值进行平方运算，得到的是近似值的精确平方（18.0001），而非原始的数 18。这反映了数学上的精确恒等式在数值计算中会受舍入误差影响。数学性质是理想的，计算机实现是近似的。