平方根怎么算？算术平方根与平方根区别深度解析与例题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：平方根 原理

• 核心概念：阿星：嘿，同学！想象一下，有一个秘密基地，叫「平方城」。城里的每一个正数公民，都有两个长得一模一样、但性格完全相反的秘密保镖，叫做“平方根双生子”！比如，公民\(9\)，它的双生子保镖就是\(3\)和\(-3\)。因为 \(3^2 = 9\)，\((-3)^2 = 9\)。它们一个正、一个负，总是成对出现，像镜子内外的两个人，这就是“互为相反数”。而那个正数的保镖（\(3\)）还有个特别的名字，叫「算术平方根」。记住啦，只有正数公民才有这样的双生子哦！
• 计算秘籍：
  1. 定位目标：确定要求谁的平方根，比如求 \(16\) 的平方根。
  2. 找出“老大”：先找到它的算术平方根，即正的那个。想：什么数的平方等于 \(16\)？答案是 \(4\)。所以算术平方根是 \(4\)，记作 \( \sqrt{16} = 4 \)。
  3. 召唤“影子”：根据双生子原理，另一个平方根就是它的相反数 \(-4\)。
  4. 合体写法：\(16\) 的平方根写作 \( \pm \sqrt{16} = \pm 4 \)。这里的“±”读作“正负”，就是双生子同时登场的意思！
• 阿星口诀：平方根，双生子，一正一负伴你走。先找正的算术根，再变负的牵到手。正数才有这对宝，零的根是它自己，负数请你摇摇头！

📐 图形解析

我们用一个正方形的面积来理解平方根。已知一个正方形的面积，求它的边长，这个过程就是在求面积的（算术）平方根。

公式：设正方形面积为 \( S \)，边长为 \( a \)，则 \( S = a^2 \)，那么 \( a = \sqrt{S} \) (取正值)。

从图形可知，边长 \( a \) 是面积 \( S \) 的算术平方根。那么，它的双生子 \(-a\) 在哪里呢？在几何上，边长通常取正值。但“-a”可以理解为在数轴上，位于原点另一侧、长度相等的线段起点，这体现了“相反数”的概念。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：求 \(9\) 的平方根，写成 \( \sqrt{9} = 3 \)。
  ✅ 正解：题目问“平方根”，指的是双生子两个。正确写法是：\(9\)的平方根是 \( \pm \sqrt{9} = \pm 3 \)。而 \( \sqrt{9} = 3 \) 仅表示算术平方根。
• ❌ 错误2：认为 \( \sqrt{(-4)^2} = -4 \)。
  ✅ 正解：根据运算顺序，先算 \((-4)^2 = 16\)，再求 \( \sqrt{16} \)。而算术平方根 \(\sqrt{}\) 运算的结果永远是非负数。所以 \( \sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 \)。记住公式：\( \sqrt{a^2} = |a| \)（\(a\)的绝对值）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \(16\)的平方根是______。
2. \( \sqrt{81} \) 的值是______。
3. \( \frac{1}{9} \) 的算术平方根是______。
4. 写出一个平方根等于它本身的数：______。
5. \(0.49\)的平方根是______。
6. 若 \( \sqrt{x} = 7 \)，则 \(x = \)______。
7. 若 \(x^2 = \frac{36}{121}\)，则 \(x = \)______。
8. 判断：\(-4\)是\(16\)的一个平方根。 ( )
9. 判断：\( \sqrt{25} = \pm 5 \)。 ( )
10. 判断：任何数都有两个平方根。 ( )

第二关：中考挑战（10道）

1. 已知 \( |a| = 5 \)，\( b^2 = 16 \)，且 \( ab < 0 \)，求 \( a + b \) 的值。
2. 若 \( \sqrt{(x-2)^2} = 2 - x \)，求 \(x\)的取值范围。
3. 一个正数\(a\)的两个平方根分别是 \(2m-3\) 和 \(5-m\)，求 \(a\) 和 \(m\) 的值。
4. 计算：\( \sqrt{(-3)^2} + \sqrt[3]{(-2)^3} - \sqrt{4^2} \)。
5. 已知 \(y = \sqrt{x-3} + \sqrt{3-x} + 8\)，求 \( \sqrt{x+y} \) 的值。
6. 若 \( \sqrt{1.84} \approx 1.356 \)，则 \( \sqrt{184} \approx \) ______，\( \sqrt{0.0184} \approx \) ______。
7. 观察：\( \sqrt{1^3} = 1 \)，\( \sqrt{1^3+2^3} = 3 \)，\( \sqrt{1^3+2^3+3^3} = 6 \) … 猜想 \( \sqrt{1^3+2^3+…+8^3} = \) ______。
8. 已知实数 \(a, b\) 满足 \( \sqrt{a-1} + |b+2| = 0 \)，求 \( (a+b)^{2025} \) 的值。
9. 若 \( \sqrt{18-n} \) 是整数，求自然数 \(n\) 的所有可能值。
10. 如图，点A在数轴上表示的数为 \( \sqrt{5} \)，请用圆规和直尺作出表示 \( -\sqrt{5} \) 的点B。（描述作图步骤）

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑设计）某展厅要铺正方形地砖，已知展厅面积是 \(288 \text{ m}^2\)，计划用边长为 \( \sqrt{72} \text{ m}\) 的正方形地砖，请问需要多少块？
2. （物理相关）自由落体运动中，物体下落的高度 \(h\)（米）与时间 \(t\)（秒）满足 \( h = 5t^2 \)。求物体从 \(80\) 米高处落到地面所需的时间。
3. （编程思维）在计算机图形学中，计算一个点 \((x, y)\) 到原点 \((0, 0)\) 的距离（模长）公式为 \( d = \sqrt{x^2 + y^2} \)。求点 \((3, -4)\) 到原点的距离。
4. （经济决策）某公司利润连续两年增长，增长率相同。已知第一年利润为 \(100\)万元，第三年利润为 \(144\)万元。求每年的增长率。（提示：设增长率为 \(r\)，则第二年利润为 \(100(1+r)\)，第三年为 \(100(1+r)^2\)）
5. （生活常识）小明家的电视是 \(55\) 英寸，指的是屏幕对角线的长度。如果屏幕长宽比为 \(16:9\)，你能估算出屏幕的大致长和宽吗？（1英寸≈\(2.54 \text{ cm}\)，提示：设比例系数为 \(k\)，则长 \(16k\)，宽 \(9k\)，用勾股定理）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \pm 4 \)
2. \( 9 \)
3. \( \frac{1}{3} \)
4. \( 0 \) 或 \( 1 \) (注意：0的平方根是0，1的平方根是±1，但1的算术平方根是1)
5. \( \pm 0.7 \)
6. \( 49 \) (因为 \( \sqrt{x} = 7 \)，所以 \( x = 7^2 \))
7. \( \pm \frac{6}{11} \)
8. ✅ 正确。因为 \( (-4)^2 = 16 \)。
9. ❌ 错误。\( \sqrt{25} = 5 \)，表示算术平方根。\( \pm \sqrt{25} = \pm 5 \) 才表示平方根。
10. ❌ 错误。负数没有平方根（在实数范围内），0只有一个平方根（0本身）。

第二关：中考挑战

1. 解：由 \( |a|=5 \) 得 \( a=\pm5 \)。由 \( b^2=16 \) 得 \( b=\pm4 \)。又 \( ab < 0 \)，即 \(a, b\) 异号。
   情况1：\( a=5, b=-4 \)，则 \( a+b=1 \)。
   情况2：\( a=-5, b=4 \)，则 \( a+b=-1 \)。
   综上，\( a+b = \pm 1 \)。
2. 解：\( \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \)。原式化为 \( |x-2| = 2 - x \)。
   由于绝对值非负，所以 \( 2 - x \geq 0 \)，即 \( x \leq 2 \)。
   在此条件下，\( |x-2| = 2 - x \) 恒成立（因为当 \( x \leq 2 \) 时，\( x-2 \leq 0 \)，其绝对值为 \( 2-x \)）。
   所以 \( x \) 的取值范围是 \( x \leq 2 \)。
3. 解：由题意，\( (2m-3) + (5-m) = 0 \)。解得 \( m = -2 \)。
   则一个平方根为 \( 2 \times (-2) - 3 = -7 \)，另一个为 \( 5 - (-2) = 7 \)。
   所以正数 \( a = 7^2 = 49 \)。
4. 解：原式 \( = | -3 | + ( -2 ) - | 4 | = 3 - 2 - 4 = -3 \)。
5. 解：要使 \( \sqrt{x-3} \) 和 \( \sqrt{3-x} \) 同时有意义，必须 \( x-3 \geq 0 \) 且 \( 3-x \geq 0 \)，解得 \( x = 3 \)。
   代入得 \( y = 0 + 0 + 8 = 8 \)。
   所以 \( \sqrt{x+y} = \sqrt{3+8} = \sqrt{11} \)。
6. 解：\( \sqrt{184} = \sqrt{1.84 \times 100} = \sqrt{1.84} \times \sqrt{100} \approx 1.356 \times 10 = 13.56 \)。
   \( \sqrt{0.0184} = \sqrt{1.84 \times 10^{-2}} = \sqrt{1.84} \times \sqrt{10^{-2}} \approx 1.356 \times 0.1 = 0.1356 \)。
7. 解：观察规律：\( \sqrt{1^3} = 1 \)，\( \sqrt{1^3+2^3} = 3 = 1+2 \)，\( \sqrt{1^3+2^3+3^3} = 6 = 1+2+3 \)。
   猜想：\( \sqrt{1^3+2^3+…+n^3} = 1+2+…+n = \frac{n(n+1)}{2} \)。
   当 \( n=8 \) 时，结果为 \( \frac{8 \times 9}{2} = 36 \)。所以填 \( 36 \)。
8. 解：由非负性：\( \sqrt{a-1} \geq 0 \)，\( |b+2| \geq 0 \)，和为0，则各自为0。
   所以 \( a-1=0 \)，\( b+2=0 \)。解得 \( a=1, b=-2 \)。
   则 \( (a+b)^{2025} = (1-2)^{2025} = (-1)^{2025} = -1 \)。
9. 解：设 \( \sqrt{18-n} = k \) （\(k\)为整数，且 \(k \geq 0\)），则 \( 18 - n = k^2 \)，即 \( n = 18 - k^2 \)。
   又 \( n \) 为自然数（\(n \geq 0\)），且 \( 18-n \geq 0 \)。所以 \( 0 \leq k^2 \leq 18 \)。整数 \(k\) 可取 \(0, 1, 2, 3, 4\)。
   对应 \(n\) 值为：18, 17, 14, 9, 2。
10. 解：步骤：
    1. 以原点O为圆心，OA长为半径画弧，交数轴负半轴于点B。
    2. 点B即为所求表示 \( -\sqrt{5} \) 的点。（原理：数轴上到原点距离相等的点有两个，互为相反数）

第三关：生活应用

1. 解：地砖边长 \( a = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ m} \)，单块面积 \( S_1 = (6\sqrt{2})^2 = 72 \text{ m}^2 \)。
   需要地砖数：\( \frac{288}{72} = 4 \)（块）。
2. 解：由 \( 80 = 5t^2 \) 得 \( t^2 = 16 \)。所以 \( t = \sqrt{16} = 4 \)（秒）。（取正值，时间不为负）
3. 解：\( d = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)。
4. 解：由题意 \( 100(1+r)^2 = 144 \)。
   得 \( (1+r)^2 = 1.44 \)，所以 \( 1+r = \pm \sqrt{1.44} = \pm 1.2 \)。
   因为增长率 \( r > 0 \)，所以 \( 1+r = 1.2 \)，\( r = 0.2 = 20\% \)。
5. 解：对角线长 \( 55 \times 2.54 = 139.7 \text{ cm} \)。
   设长 \( 16k \text{ cm} \)，宽 \( 9k \text{ cm} \)。由勾股定理：
   \( (16k)^2 + (9k)^2 = 139.7^2 \)
   \( (256+81)k^2 = 19516.09 \)
   \( 337k^2 \approx 19516.09 \)
   \( k^2 \approx 57.91 \)，\( k \approx \sqrt{57.91} \approx 7.61 \)。
   所以长 \( \approx 16 \times 7.61 \approx 121.8 \text{ cm} \)，宽 \( \approx 9 \times 7.61 \approx 68.5 \text{ cm} \)。