平方差公式因式分解：逆用技巧与几何意义深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：平方差分解 原理

• 核心概念：嗨，我是阿星！今天我们来玩一个“图形变身”魔术。想想公式 \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)，它就像两个正方形在“比大小”。\( a^2 \) 是大正方形面积，\( b^2 \) 是小正方形面积，它们的差就是角落里一圈“L”形的面积。这个魔术的精髓就是“逆用”！当你看到一个式子长得像“两项平方在相减”，别犹豫，立刻启动这个“逆用”程序：把它变成“和”乘以“差”。我阿星的口头禅就是：“看到两项平方相减就用它！” 这招能瞬间把复杂的式子“拆解”成简单的零件。
• 计算秘籍：
  1. 识别：瞪大眼睛找“\(-\)”号，并且前后两项都是平方项（如 \( x^2, 9, (2m)^2, (n+1)^2 \)）。
  2. 定位：确定谁是 \( a \)，谁是 \( b \)。即 \( a^2 \) 和 \( b^2 \) 分别对应原式中的哪部分。
  3. 变身（逆用）：写下括号：第一个括号填 \( a \) 与 \( b \) 的和 \( (a+b) \)，第二个括号填 \( a \) 与 \( b \) 的差 \( (a-b) \)。
• 阿星口诀：平方相减莫要慌，和差相乘帮大忙。找准 \( a \) 和 \( b \)，逆用公式最在行！

📐 图形解析

为什么 \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)？看下面的图形魔术：

左边的大正方形面积是 \( a^2 \)，我们要从中减去小正方形面积 \( b^2 \)（黄色部分）。剩下的蓝色“L”形面积就是 \( a^2 - b^2 \)。

沿着红色切割线，把蓝色的“L”形剪开，可以重新拼成一个长方形。这个长方形的长是 \( a + b \)，宽是 \( a - b \)。所以，它的面积 \( (a+b)(a-b) \) 就等于原来的面积差 \( a^2 - b^2 \)。这就是公式的几何意义！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：符号看错。 把 \( -x^2 - 9 \) 当成平方差分解。 → ✅ 正解：平方差公式必须是两项相减 \( ( )^2 - ( )^2 \)。\( -x^2 - 9 \) 是两项相加（负加负），应先提取负号：\( -(x^2 + 9) \)，它不能用平方差分解。
• ❌ 错误2：系数忘平方。 把 \( 4x^2 - 9 \) 分解成 \( (4x+3)(4x-3) \)。 → ✅ 正解：确定 \( a \) 和 \( b \) 时，要保证 \( a^2 = 4x^2 \)，所以 \( a = 2x \)；\( b^2 = 9 \)，所以 \( b = 3 \)。正确分解为 \( (2x+3)(2x-3) \)。
• ❌ 错误3：括号外忘平方。 把 \( (m+n)^2 - 1 \) 分解成 \( (m+n+1)(m+n-1) \) 后，画蛇添足再把括号拆开。 → ✅ 正解：分解到 \( (m+n+1)(m+n-1) \) 已经是最简形式，除非有合并同类项的可能，否则保持乘积形式就是最终答案。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( x^2 - 1 \)
2. \( 9 - y^2 \)
3. \( 4m^2 - n^2 \)
4. \( 25p^2 - 16 \)
5. \( \frac{1}{4}x^2 - 9 \)
6. \( 0.64a^2 - b^2 \)
7. \( (x+2)^2 - 4 \) （提示：把\( (x+2) \)看作整体 \( a \)）
8. \( 49 - (y-3)^2 \)
9. \( 100k^2 - 81h^2 \)
10. \( -36 + t^2 \) （提示：先调整顺序）

第二关：中考挑战（10道）

1. \( 16(x+y)^2 - 9(x-y)^2 \)
2. \( a^4 - 81b^4 \) （提示：连续使用平方差）
3. \( (2m+3n)^2 - (3m+2n)^2 \)
4. \( x^2 - (y+1)^2 \)
5. \( 50a^2 - 8 \) （提示：先提取公因式）
6. \( -x^2y^2 + 4z^2 \)
7. \( (a^2+b^2)^2 - a^2b^2 \)
8. \( 9(a+b)^2 - 4(a-b)^2 \)
9. \( 1 - (x^2 - 2xy + y^2) \) （提示：括号内是一个完全平方式）
10. \( (m+n)^2 - 4(m-n)^2 \)

第三关：生活应用（5道）

1. 【材料计算】 从一块边长为 \( 1.2 \) 米的正方形铁皮上，剪掉一个边长为 \( 0.8 \) 米的正方形。用平方差公式快速计算剩余铁皮的面积。
2. 【密码设计】 一个简单的密码生成规则是：将两个数字 \( p \) 和 \( q \) 代入表达式 \( p^2 - q^2 \) 得到密码。已知密码为 \( 55 \)，且 \( p \) 和 \( q \) 都是正整数，\( p > q \)。你能找出多组可能的 \( (p, q) \) 吗？
3. 【图形拼接】 如上图“例题3”，若已知剩下草坪的面积是 \( 105 \) 平方米，且大正方形边长比小正方形边长多 \( 3 \) 米。你能求出两个正方形的边长吗？（提示：设未知数，利用分解后的形式）
4. 【物理情境】 计算一个外半径为 \( R \)，内半径为 \( r \) 的圆环面积公式是 \( S = \pi R^2 - \pi r^2 \)。请用平方差公式因式分解这个表达式，并解释其几何意义。
5. 【投资回报】 某种投资，第一年的回报率是 \( a \)，第二年的回报率是 \( b \)。两年后的总资产增长因子为 \( (1+a)(1+b) \)。证明：两年后的总增长 \( (1+a)(1+b) - 1 \) 可以部分地用平方差形式来简化分析和比较。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (x+1)(x-1) \)
2. \( (3+y)(3-y) \)
3. \( (2m+n)(2m-n) \)
4. \( (5p+4)(5p-4) \)
5. \( (\frac{1}{2}x+3)(\frac{1}{2}x-3) \)
6. \( (0.8a+b)(0.8a-b) \)
7. 令 \( a = x+2 \)， 则原式 = \( a^2 - 2^2 = (a+2)(a-2) = (x+2+2)(x+2-2) = x(x+4) \)
8. \( [7+(y-3)][7-(y-3)] = (y+4)(10-y) \)
9. \( (10k+9h)(10k-9h) \)
10. \( t^2 - 36 = (t+6)(t-6) \)

第二关：中考挑战

1. \( [4(x+y) + 3(x-y)][4(x+y) - 3(x-y)] = (7x+y)(x+7y) \)
2. \( (a^2+9b^2)(a^2-9b^2) = (a^2+9b^2)(a+3b)(a-3b) \)
3. \( [(2m+3n)+(3m+2n)][(2m+3n)-(3m+2n)] = (5m+5n)(-m+n) = 5(m+n)(n-m) \)
4. \( [x+(y+1)][x-(y+1)] = (x+y+1)(x-y-1) \)
5. \( 2(25a^2-4) = 2(5a+2)(5a-2) \)
6. \( 4z^2 - x^2y^2 = (2z+xy)(2z-xy) \)
7. 令 \( A = a^2, B = b^2 \)，原式 = \( (A+B)^2 - (ab)^2 = (A+B+ab)(A+B-ab) = (a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab) \)
8. \( [3(a+b)+2(a-b)][3(a+b)-2(a-b)] = (5a+b)(a+5b) \)
9. \( 1 - (x-y)^2 = [1+(x-y)][1-(x-y)] = (1+x-y)(1-x+y) \)
10. \( [(m+n)+2(m-n)][(m+n)-2(m-n)] = (3m-n)(3n-m) \)

第三关：生活应用

1. 面积 = \( 1.2^2 - 0.8^2 = (1.2+0.8)(1.2-0.8) = 2 \times 0.4 = 0.8 \)（平方米）。用公式比直接算 \( 1.44-0.64 \) 更快。
2. 密码 \( p^2 - q^2 = (p+q)(p-q) = 55 \)。将 \( 55 \) 分解为两整数乘积：\( 55 \times 1 \)， \( 11 \times 5 \)。解方程组：
   • 情况1：\( p+q=55, p-q=1 \) → \( p=28, q=27 \)
   • 情况2：\( p+q=11, p-q=5 \) → \( p=8, q=3 \)

   所以可能的有 \( (28,27) \) 和 \( (8,3) \)。

3. 设大正方形边长为 \( a \)，小正方形边长为 \( b \)。则 \( a - b = 3 \)，且草坪面积 \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = 105 \)。代入得 \( (a+b) \times 3 = 105 \)，所以 \( a+b = 35 \)。联立 \( a+b=35 \)，\( a-b=3 \)，解得 \( a=19 \)， \( b=16 \)（米）。
4. \( S = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (R+r)(R-r) \)。几何意义：圆环面积等于一个“长度”为圆环平均周长 \( \pi (R+r) \)，“宽度”为环宽 \( (R-r) \) 的“矩形”面积。这提供了另一种理解方式。
5. \( (1+a)(1+b) - 1 = 1 + a + b + ab - 1 = a + b + ab \)。这个形式本身不是标准平方差。但如果我们考虑两次回报率相同（\( a = b \)）的特殊情况，则总增长 = \( (1+a)^2 - 1 = (1+a+1)(1+a-1) = (2+a)a \)。这展示了平方差在分析对称情况时的简化作用。