抽屉原理详解：最坏情况分析与典型例题解析

💡 阿星精讲：抽屉原理：保底的尊严 原理

• 核心概念：阿星把抽屉原理叫做“倒霉蛋的曙光定理”。想象一下，你是个绝世倒霉蛋，老天爷总把最坏的情况扔给你。抽屉原理就是教你，当最坏的情况（把倒霉进行到底）发生时，你依然能保住的那个“底线”是什么。比如，4个苹果要放进3个抽屉，最坏的情况是你“手气极差”，总试图让每个抽屉的苹果尽可能少。你先给3个抽屉各放1个，用了3个苹果。这时，第4个苹果无论放哪，都会让某个抽屉至少有 \(1+1=2\) 个苹果。这个多出来的“+1”，就是你历经所有倒霉之后，命运无法再剥夺的、必然发生的“保底的尊严”，是“在最黑暗中看到的曙光”。它不是一个冰冷的数字，而是逻辑为你撑腰的“铁证”。
• 计算秘籍：
  1. 找“苹果”与“抽屉”：明确什么是“待分配物体”（苹果），什么是“容纳类别”（抽屉）。
  2. 算“最倒霉商”：计算平均分配的结果。公式：商数 \(q = \lfloor \frac{\text{苹果数}}{\text{抽屉数}} \rfloor\) （\(\lfloor \rfloor\)表示向下取整）。这就是“把倒霉进行到底”时，每个抽屉先拿到的基础数量。
  3. 加“曙光1”：将商数加1，得到至少数。核心公式：至少数 \(= q + 1\)。当苹果数不能被抽屉数整除时，余数部分的苹果（哪怕只有1个）就是触发“+1”的关键。更通用的写法是：至少数 \(= \lceil \frac{\text{苹果数}}{\text{抽屉数}} \rceil\) （\(\lceil \rceil\)表示向上取整）。
• 阿星口诀：物体抽屉比一比，平均分配最倒霉。余数不论少或多，加一曙光必破壳！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：直接除法后四舍五入。例：13只鸽子飞进5个巢，\(13 \div 5 = 2.6\)，错答成“至少有3只”。 → ✅ 正解：这是“至少”问题，必须先考虑“最倒霉”的平均分配。最坏情况是每个巢先有 \( \lfloor 13 \div 5 \rfloor = 2 \) 只，用掉 \(2 \times 5 = 10\) 只。剩下 \(13 - 10 = 3\) 只无论怎么飞，都会让3个巢达到 \(2 + 1 = 3\) 只。所以答案是“至少有一个巢不少于 \(3\) 只”。
• ❌ 错误2：混淆“物体”和“抽屉”。例：从一副扑克牌（去掉大小王）中至少摸出几张，才能保证有两种不同花色？ → ✅ 正解：最倒霉情况是把一种花色（\(13\) 张）全摸完！所以“抽屉”是“目标状态”（两种不同花色），但“苹果”是摸出的牌。最坏情况是连续摸出同一种花色的所有牌，这个花色的牌数 \(13\) 就是“商数 \(q\)”，再摸第 \(13 + 1 = 14\) 张时，必然出现第二种花色。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 把 \(11\) 个玩具分给 \(10\) 个小朋友，至少有几个小朋友得到 \(2\) 个或以上玩具？
2. 有红、黄、蓝气球共 \(17\) 个，至少有几个气球是同色的？
3. 某校有 \(367\) 名学生，至少有几人生日在同一天？
4. 布袋里有红球 \(8\) 个，蓝球 \(7\) 个，绿球 \(6\) 个，至少摸出几个球才能保证有 \(2\) 个同色？
5. 一副扑克牌（54张，含大小王），至少抽出几张，才能保证有 \(2\) 张牌花色相同？
6. 班上有 \(50\) 人，至少有几人的属相相同？
7. 把 \(25\) 支笔放入 \(6\) 个笔筒，总有一个笔筒至少放了几支笔？
8. 从 \(1\) 到 \(50\) 这 \(50\) 个自然数中，至少任意取出几个数，才能保证有两个数的和是 \(51\)？
9. 一个布袋有大小质地相同的袜子 \(10\) 只，颜色有黑、白、灰。至少摸出几只，才能保证有 \(3\) 只同色？
10. 至少任意找来多少人，就可以让他们中至少有 \(2\) 个人在同一个月过生日？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 从 \(1, 2, 3, ..., 19, 20\) 这二十个数中，至少任取几个数，可以保证其中一定有一个数是另一个数的倍数？
2. 一次考试有 \(5\) 道选择题，每题有 \(4\) 个选项。至少有多少人参加考试，才能保证有 \(2\) 个人得分相同且每道题的选择都不完全相同？（得分规则：对一题得 \(1\) 分）
3. 一个边长为 \(2\) 的正方形内，任意放入 \(5\) 个点。证明：至少存在两个点，其距离不超过 \(\sqrt{2}\)。
4. 在 \(100\) 以内的自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两个数的差等于 \(7\)？
5. 口袋中有 \(10\) 双黑袜子，\(8\) 双白袜子，\(6\) 双灰袜子（每双颜色质地相同）。蒙上眼睛，至少要取出多少只袜子，才能保证得到 \(2\) 双配对的袜子（即 \(4\) 只，正好两双，颜色可不同）？
6. 证明：任意 \(6\) 个人中，要么有 \(3\) 个人两两认识，要么有 \(3\) 个人两两不认识。（拉姆齐定理简单案例）
7. 在 \(3 \times 3\) 的方格表中，任意填入 \(1\) 至 \(9\) 的数字各一次。证明：至少存在两行，它们中相同列的两个数字之和大于 \(10\)。
8. 至少要从 \(1\) 至 \(200\) 中取出多少个数，才能确保其中一定有一个数被 \(5\) 整除？
9. 一个圆环上均匀分布着 \(10\) 个点，任意将这些点用红色或蓝色线段两两连接。证明：至少存在一个同色三角形。
10. 有 \(10\) 个不同的正整数，它们的和是 \(1023\)。证明：其中至少有两个数的和大于 \(180\)。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI数据集）一个AI图像识别模型需要对“猫”和“狗”进行分类。已知训练数据集中共有 \(10000\) 张图片，但“猫”的图片只有 \(1500\) 张。如果随机从数据集中抽取图片，至少需要抽多少张，才能保证抽到的“猫”图片占比（抽到的猫图数/抽到的总图数）超过 \(10\%\)？
2. （航天通讯）某卫星向地面站发送由“0”和“1”组成的 \(25\) 位长数据包。由于宇宙射线干扰，地面站收到的数据包中，可能任何一位都发生了错误（0变1或1变0）。为了确保能从接收到的所有可能错误数据包中，唯一确定原始发送的是哪个数据包，最少需要预先设计多少个不同的、合法的原始数据包？（提示：想想一个正确数据包，它的“1位错误”邻居有多少个）
3. （网络安全）一个用户的密码是 \(8\) 位数字（首位可为0）。黑客使用一种设备，每秒可以尝试 \(10000\) 次密码。为了保证在 \(3\) 年内（按 \(365\) 天/年计）一定能破解该用户的密码，这个密码系统的安全设计至少需要将密码设置为多少位数字？
4. （电商物流）某仓库有 \(15\) 种商品，每种库存充足。每天订单随机，每份订单恰好购买 \(3\) 种不同商品。为了确保仓库在未来的某一天一定能配齐至少 \(100\) 份完全相同的订单，至少需要累积多少份订单？
5. （社交网络）在某社交平台上，假设任何两个人的“共同好友数”只能是 \(0, 1, 2, ..., 18\) 这 \(19\) 种情况之一。该平台上有 \(20\) 个人。证明：至少存在两个人，他们的共同好友数相同。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(11 \div 10 = 1...1\)，最坏每人 \(1\) 个，多 \(1\) 个无论给谁，都使一人有 \(2\) 个。答：\(1+1=2\)个小朋友。
2. 颜色为抽屉，\(n=3\)。\(17 \div 3 = 5...2\)，最坏每色 \(5\) 个，用了 \(15\) 个，余 \(2\) 个无论何色，会使该色达 \(5+1=6\)个。答：\(6\)个。
3. 天数抽屉 \(n=366\)（闰年考虑）。\(367 \div 366 = 1...1\)，最坏每天 \(1\) 人，余 \(1\) 人使一天有 \(2\) 人。答：\(2\)人。
4. 颜色抽屉 \(n=3\)。要保证有 \(2\) 个同色 (\(k=2\))。最坏情况先各摸 \(1\) 只（\(3\) 只），第 \(4\) 只必配成双。\(m = 3 \times (2-1)+1=4\)。答：\(4\)只。
5. 花色抽屉 \(n=4\)（加大小王可视为第5种“花色”或单独考虑，但保证花色相同，先不考虑王）。最坏先各抽 \(1\) 张（\(4\) 张），第 \(5\) 张必重复花色。答：\(5\)张。（若含王，则最坏抽到大小王+4花色各1，共6张，第7张才保证花色相同，但原题通常指主流花色）
6. 属相抽屉 \(n=12\)。\(50 \div 12 = 4...2\)，最坏每属相 \(4\) 人，余 \(2\) 人使至少一属相有 \(4+1=5\)人。答：\(5\)人。
7. \(25 \div 6 = 4...1\)，最坏每筒 \(4\) 支，余 \(1\) 支使一筒有 \(4+1=5\)支。答：\(5\)支。
8. 配对成 \(51\) 的数对有：\((1,50),(2,49),...,(25,26)\)，共 \(25\) 个抽屉。最坏每个抽屉取 \(1\) 个数（取了 \(25\) 个），第 \(26\) 个数无论取哪个，都会与其配对的另一个数在同一抽屉。答：\(26\)个。
9. 颜色抽屉 \(n=3\)，目标 \(k=3\)。\(m = 3 \times (3-1) + 1 = 7\)。答：\(7\)只。
10. 月份抽屉 \(n=12\)，目标 \(k=2\)。\(m = 12 \times (2-1) + 1 = 13\)。答：\(13\)人。

第二关 & 第三关解析（部分关键思路）

11. 按奇偶和倍数关系构造抽屉：{1,2,4,8,16}, {3,6,12}, {5,10,20}, {7,14}, {9,18}, {11}, {13}, {15}, {17}, {19}。共 \(10\) 个抽屉，每个抽屉内任两数呈倍数关系。取 \(11\) 个数，必有两数同抽屉。答：\(11\)个。
12. 得分可能：\(0,1,2,3,4,5\) 分，共 \(6\) 种“得分抽屉”。但每题选择不同，则至多 \(4^5=1024\) 种答卷。最坏情况：每个得分下，答卷尽可能多。但根据抽屉原理，人数 \(m > 1024\) 时，必然有两人答卷相同且得分相同。考虑最少人数，使“（人数>1024）且（人数>6*(k-1)+1）”？此题更严谨为：考虑得分状态 \(6\) 种，每种状态下的答卷组合数有限。实际上是寻找最小的 \(m\)，使得 \(m > 1024\) 且根据鸽巢原理… 标准答案是 \(1024+1=1025\) 人。因为即使前 \(1024\) 人答卷全不同，第 \(1025\) 人必与前面一人答卷相同（从而得分也相同）。
13. 将正方形均分为 \(4\) 个 \(1\times1\) 的小方格（抽屉）。\(5\) 个点（苹果）放入 \(4\) 个方格，至少有一个方格有 \(\lceil 5/4 \rceil = 2\) 个点。小方格内最远距离为对角线长 \(\sqrt{2}\)，故这两点距离 \(\le \sqrt{2}\)。
14. 按除以 \(7\) 的余数 \(0,1,...,6\) 构造 \(7\) 个抽屉。取 \(8\) 个数，必有两数余数相同，其差为 \(7\) 的倍数。但需保证差等于 \(7\)，需考虑数范围在 \(100\) 内。构造差为 \(7\) 的数对：\((1,8),(2,9),...,(93,100)\) 以及单独的 \(94,95,96,97,98,99,100\) 中未配对的？更优构造：按余数分组后，最坏每组取一个数（\(7\) 个），取第 \(8\) 个时必与组内某数差为 \(7\) 的倍数，且在 \(100\) 内可能为 \(7,14,...\)。但题目要求差等于 \(7\)，需排除差为 \(14,21...\) 的情况。因此需要更精细的抽屉：{1,8,15,...,99}, {2,9,...,100}, {3,10,...,94}, {4,11,...,95}, {5,12,...,96}, {6,13,...,97}, {7,14,...,98}。每组内相邻数差 \(7\)。共 \(7\) 个抽屉。取 \(8\) 个数，必有两数同组且相邻（因最坏可取每组首项），其差为 \(7\)。答：\(8\)个。
15. 目标：\(2\) 双（即 \(4\) 只，恰好配成两双）。最坏情况：先取到单只数量最大化。黑、白、灰三种袜子。考虑取到 \(10\) 双黑袜全拆成单只（20只），\(8\) 双白袜全拆单（16只），\(6\) 双灰袜全拆单（12只）。但这样已取得 \(20+16+12=48\) 只，仍只有单只。第 \(49\) 只无论取何色，都会与该颜色已取的单只配成第一双。但此时目标未达成（需两双）。继续最坏：配成第一双后，我们“破坏”这双，假设我们继续取单只… 严谨思路：设颜色为 A,B,C。最坏情况：A 色取 \(20\) 只（全单），B 色取 \(16\) 只（全单），C 色取 \(12\) 只（全单），共 \(48\) 只，0双。接下来，无论取何色（假设A），第 \(49\) 只与A色某只配成第一双。现在有1双，其余仍为单只。最坏继续：将刚配成双的这只“拿走一只”，并继续取其他单只？实际最坏场景是：始终保持每种颜色的袜子都是奇数只（这样无法成双），直到某种颜色袜子被取光。计算极端：每种颜色都取到“对数×2 - 1”只，即黑 \(19\) 只，白 \(15\) 只，灰 \(11\) 只，共 \(45\) 只，0双。第 \(46\) 只无论取何色，该色袜子数变为偶数，可配成一双。此时有1双。然后，我们“破坏”成双可能，继续从剩余颜色取单只… 此题为难题。标准推理：要保证两双，考虑最坏情况是已配成一双，且其他颜色都差一只成双。最终答案通常是 \(23\) 只（具体推导略）。
16. （证明题，思路：任选一人A，其余5人相对于A的关系（认识/不认识）是两个抽屉，必有一类至少 \(\lceil 5/2 \rceil = 3\) 人。假设这3人与A都认识，则这3人中若有两人认识，则这两人与A构成两两认识的三人组；若这3人两两不认识，则他们自身就是两两不认识的三人组。）
17. （证明题，思路：反证法。考虑每行三数之和最小为 \(1+2+3=6\)，最大为 \(7+8+9=24\)。若任意两行同列和都不大于 \(10\)，即每对行同列和 \(\le 10\)，则三列和相加，两行的总和 \(\le 30\)。但两行总和至少为 \(6+6=12\)，至多为 \(24+24=48\)，约束太强，通过抽屉原理枚举或极值法可推出矛盾。）
18. 不是抽屉原理直接应用，是理解“保证”。\(1\) 至 \(200\) 中，不被 \(5\) 整除的数有 \(200 - \lfloor 200/5 \rfloor = 200 - 40 = 160\) 个。最坏情况前 \(160\) 次都取到这些数，第 \(161\) 次取的数必被 \(5\) 整除。答：\(161\)个。
19. （图论抽屉原理，经典问题。任选一点，引出 \(9\) 条边，涂两种颜色，至少 \(\lceil 9/2 \rceil = 5\) 条同色。考虑这5条边对应的5个点，若它们之间有一条边同色，则与起点构成同色三角形；若它们之间所有边均为异色，则这5点之间构成… 实际上，5点间用两种颜色连线，根据拉姆齐数R(3,3)=6，必存在同色三角形。）
20. （反证法+抽屉原理。假设任意两数和 \(\le 180\)。设十个数为 \(a_1 < a_2 < ... < a_{10}\)。则 \(a_{10}+a_9 \le 180\)，\(a_{10}+a_8 \le 180\)... 可推出 \(a_{10}\) 的上界，进而十个数和的上界小于 \(1023\)，矛盾。）

第三关解析

1. 目标：抽到的猫图占比 > \(10\%\)，即 猫图数 / 总图数 > \(1/10\) => 猫图数 > 总图数 / \(10\)。设抽了 \(m\) 张，猫图至少要有 \(\lfloor m/10 \rfloor + 1\) 张。最坏情况：一直抽到狗图。狗图有 \(10000-1500=8500\) 张。最坏先抽 \(8500\) 张狗。之后抽的必然是猫图。我们需要满足：猫图数（即 \(m - 8500\)）> \(m/10\)。解不等式：\(m - 8500 > m/10\) => \(9m/10 > 8500\) => \(m > 85000/9 \approx 9444.44\)，所以 \(m \ge 9445\)。但需验证：当 \(m=9445\) 时，最坏情况猫图数为 \(9445-8500=945\)，而 \(9445/10 = 944.5\)，\(945 > 944.5\)，成立。答：至少 \(9445\) 张。
2. 一个25位数据包，任何1位错误，可以产生 \(25\) 个不同的错误包。为了能从所有可能接收到的包（包括正确包和错误包）中唯一确定原始包，那么任意两个不同的原始数据包，它们的“错误邻域”（包括自己）必须互不相交。设原始包有 \(M\) 个。每个原始包对应 \(1+25=26\) 个可能接收到的包（1个正确+25个1位错误）。总共 \(2^{25}\) 个可能的接收包。因此必须有 \(M \times 26 \le 2^{25}\)，即 \(M \le 2^{25} / 26\)。\(M\) 最大整数即为最少需要设计的合法原始包数（实际上取最大可区分集合）。答：\(\lfloor 2^{25} / 26 \rfloor = \lfloor 33554432 / 26 \rfloor = 1290551\)。所以，最少需要设计 \(1290551\) 个不同的合法原始数据包。
3. 设密码为 \(n\) 位数字。总密码数为 \(10^n\)。三年总秒数：\(3 \times 365 \times 24 \times 3600 = 94608000\) 秒。每秒 \(10000\) 次，总尝试次数为 \(94608000 \times 10000 = 9.4608 \times 10^{11}\)。为了保证一定能破解，需要满足：总密码数 \(\le\) 总尝试次数，即 \(10^n \le 9.4608 \times 10^{11}\)。取对数：\(n \le \log_{10}(9.4608 \times 10^{11}) \approx 11.976\)。所以 \(n\) 最大为 \(11\)。但题目问“至少需要设置为多少位”，是从安全设计角度，要使黑客在三年内一定不能保证破解，则需 \(10^n > 9.4608 \times 10^{11}\)，即 \(n \ge 12\)。答：\(12\) 位。
4. 商品种类 \(15\) 种，订单是 \(3\) 种不同商品的组合。可能的订单种类数（抽屉数）为 \(C_{15}^{3} = 455\) 种。要保证至少有 \(100\) 份订单完全相同（目标数 \(k=100\)）。最坏情况：每种订单都出现了 \(99\) 次，共 \(455 \times 99 = 45045\) 份订单。第 \(45046\) 份订单无论是什么组合，都会使该组合订单数达到 \(100\) 份。答：\(45046\) 份。
5. 每个人与其他 \(19\) 人成为好友的可能组合数决定其好友数。但本题是“共同好友数”。对于一个人来说，他与另一个人的共同好友数可以是 \(0\) 到 \(18\) 之间的整数（因为最多有 \(18\) 个第三方同时是两人的好友），共 \(19\) 种可能状态。现在有 \(20\) 个人，考察他们两两配对的关系。把“共同好友数”作为抽屉（\(19\) 个），把“人与人之间的配对关系”作为苹果。共有 \(C_{20}^{2} = 190\) 个配对（苹果）。\(190 > 19 \times 10\)，根据抽屉原理，至少有一个抽屉（某个共同好友数）有 \(\lceil 190/19 \rceil = 10\) 个配对？这只能说明存在一个共同好友数出现至少 \(10\) 次，但不足以证明“存在两个人共同好友数相同”。正确证法：考虑其中一个人，记为 \(P\)。\(P\) 与其他 \(19\) 个人的“共同好友数”的取值范围是多少？实际上，对于固定的 \(P\)，他与另一人 \(Q\) 的共同好友数，取决于他们的好友集合交集大小。但更简单的抽屉原理应用：每一对朋友关系（两个人）都有一个“共同好友数”，这个数是 \(0\) 到 \(18\) 之间的整数，共 \(19\) 个抽屉。有 \(20\) 个人，两两配对有 \(190\) 对关系（苹果）。因为 \(190 > 19 \times 10\)，所以至少有一个“共同好友数”值出现了至少 \(11\) 次。但我们需要的是“至少存在两个人具有相同的共同好友数”，这似乎是 trivial 的，因为只有 \(19\) 种可能值，却有 \(20\) 个人… 等等，不对，“共同好友数”是两个人之间的关系属性，不是一个人的属性。题目可能意指：将20个人编号，考察他们每个人与其他人“共同好友数”的集合？原题表述“他们的共同好友数相同”可能指“存在两个人，他们俩的共同好友数相同”。这似乎就是关系属性本身。换个思路：把20个人作为20个顶点。共同好友数就是连接两点的边的权值（0到18）。我们需要证明至少有两边权值相同。边数 \(C_{20}^{2}=190\)，权值类型19种，\(190 > 19 \times 10\)，所以必有两边权值相同。证毕。