期末复习：九年级数学上册垂径定理考点总结与真题解析 | 星火网专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-30
💡 期末突击：垂径定理 核心考点速记
【开篇语】垂径定理是“圆”这章的基石，期末考100%会考！题型覆盖填空、选择，更是计算大题和几何证明题的解题钥匙，务必吃透。
- 必背概念：核心就一句话：知二推三。一条直线，如果满足①经过圆心（是直径）、②垂直于弦、③平分弦、④平分弦所对的优弧、⑤平分弦所对的劣弧这五点中的任意两点，就能推出其他三点。最经典的：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 阿星顺口溜：“看见弦，心莫乱，连接半径作垂线。半径半弦弦心距，勾股定理来相见！”
- 万能公式：设圆的半径为 \( r \)，弦长为 \( a \)，弦心距（圆心到弦的距离）为 \( d \)，则有：
$$ r^2 = d^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 $$
这是解决所有相关计算题的核心方程。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1：垂径定理使用条件不全。例如，已知 \( OC \perp AB \)，就直接写 \( AC = BC \)，却漏写“OC过圆心O”这个关键前提。
- ✅ 满分规范：使用定理必须“按规矩办事”。正确写法应为：“∵ \( CD \) 是直径，且 \( CD \perp AB \)（于点 \( E \)），∴ \( AE = BE \)，\( \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD} \)”。条件、结论要写全。
- ❌ 常见错解2：在利用“半径 \( r \)、弦心距 \( d \)、半弦长 \( \frac{a}{2} \)”列勾股定理方程时，混淆三边对应关系，误把弦长 \( a \) 直接当作直角边。
- ✅ 满分规范：牢牢记住“直角三角形的三条边分别是：半径（斜边）、弦心距（直角边）、半弦长（直角边）”。画图标出 \( r, d, \frac{a}{2} \)，再列式 \( r^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2 \)。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：（改编）如图，\( \odot O \) 的直径 \( CD \) 垂直于弦 \( AB \)，垂足为 \( E \)。若 \( AB=8 \)，\( CE=2 \)，则 \( \odot O \) 的半径为 ______。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（识别考点）：典型的“半径、弦心距、半弦长”勾股模型。
- 第二步（快速求解）：连接 \( OA \)。由垂径定理， \( AE = \frac{1}{2}AB = 4 \)。设半径为 \( r \)，则 \( OA = r \)， \( OE = OC - CE = r - 2 \)。在 \( Rt\triangle OAE \) 中，列方程：\( r^2 = (r-2)^2 + 4^2 \)，解出 \( r = 5 \)。
✅ 答案：5
模型 2：证明与计算题（解答题）
题目：（改编）如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的弦，\( C \) 是 \( \overset{\frown}{AB} \) 的中点，\( CD \perp AB \) 于点 \( D \)，交 \( \odot O \) 于点 \( E \)。求证：\( AE = BE = CE \)。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（识别考点）：综合了垂径定理的推论“平分弧的直径垂直平分弦”，以及同圆中弧、弦、圆心角的关系。
- 第二步（逻辑拆解）：① 由 \( C \) 是弧 \( AB \) 中点，可推出 \( OC \perp AB \) 且平分 \( AB \)（垂径定理推论）。② 已知 \( CD \perp AB \)，故 \( O, C, D \) 三点共线，即 \( CE \) 是直径。③ 由直径 \( CE \perp AB \) 得 \( \overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{BE} \)，从而 \( AE = BE \)。④ 由 \( \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC} \)，得 \( \angle AEC = \angle BEC \)。结合公共边 \( CE \)，可证三角形全等，最终得 \( AE = BE = CE \)。
模型 3：综合应用题（压轴题前奏）
题目：（改编）某隧道截面由半圆和矩形构成，半圆圆心为 \( O \)，路面宽 \( AB=8 \) 米，净高 \( CD=6 \) 米。现需在隧道内壁安装照明灯，要求灯到路面 \( AB \) 的距离为 4.5 米，请问灯能否安装在隧道中心线 \( OC \) 上？说明理由。
📌 秒杀技巧：
- 第一步（数学建模）：抽象为圆的问题。将隧道半圆补全为 \( \odot O \)，\( AB \) 为弦，\( CD \) 为弓形高（即半径减弦心距）。设半径为 \( r \) 米，则 \( OA = r \)， \( OD = r - 6 \)， \( AD = 4 \)。
- 第二步（列式求解）：在 \( Rt\triangle OAD \) 中， \( r^2 = (r-6)^2 + 4^2 \)，解得 \( r = \frac{13}{3} \approx 6.33 \) 米。计算弦心距 \( OD = r - 6 \approx 0.33 \) 米。若灯在 \( OC \) 上，其到 \( AB \) 的距离即为该点的弦心距。要求距离为4.5米，则需 \( r - 弦心距 = 4.5 \)，即弦心距 \( \approx 1.83 \) 米。而实际中心线 \( OC \) 上最小弦心距为 \( OD \approx 0.33 \) 米，最大为 \( r \approx 6.33 \) 米，包含1.83米，因此可以安装。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 下列说法正确的是（ ）。(A)平分弦的直径垂直于弦 (B)垂直于弦的直径平分弦 (C)弦的垂直平分线是直径 (D)平分弦的直线平分弦所对的弧
- 在 \( \odot O \) 中，弦 \( AB \) 的长为 8 cm，圆心 O 到 AB 的距离为 3 cm，则 \( \odot O \) 的半径为 ______ cm。
- 如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，弦 \( CD \perp AB \) 于 \( E \)。若 \( CD=10 \)，\( BE=1 \)，则 \( AB = \) ______。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- “垂直于弦的直径平分弦”的逆命题是______________________________。
- 利用垂径定理推导“圆心角、弧、弦”关系定理时，关键是通过作______，构造全等三角形。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 在半径为 5 的 \( \odot O \) 中，弦 \( AB \parallel CD \)，且 \( AB=6 \)，\( CD=8 \)，求 \( AB \) 与 \( CD \) 之间的距离。
- 如图，\( \odot O \) 中，\( AB \)、\( AC \) 为弦，\( OM \perp AB \) 于 \( M \)，\( ON \perp AC \) 于 \( N \)，且 \( OM=ON \)。求证：\( AB = AC \)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 已知 \( \odot O \) 的半径为 13，弦 \( AB=24 \)，弦 \( CD=10 \)，且 \( AB \parallel CD \)。求这两条平行弦之间的距离。
- 如图，破残的轮片上，弓形弦 \( AB \) 长为 40 cm，高 \( CD \) 为 10 cm。求原轮片的半径。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 点 \( P \) 是 \( \odot O \) 内一点，过点 \( P \) 的最长弦长为 10 cm，最短弦长为 6 cm，则 \( OP \) 的长为 ______ cm。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 如图，\( \odot O \) 的弦 \( AB、CD \) 互相垂直，垂足为 \( E \)，且 \( AE=5 \)，\( BE=13 \)，点 \( M \) 为 \( CD \) 中点，\( OM=4 \)。求 \( \odot O \) 的半径。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 在平面直角坐标系中，以点 \( A(3,0) \) 为圆心，5 为半径的 \( \odot A \) 与 y 轴相交于 \( B、C \) 两点，求弦 \( BC \) 的长。
- 如图，\( \triangle ABC \) 内接于 \( \odot O \)，\( \angle BAC \) 的平分线交 \( BC \) 于 \( F \)，交 \( \odot O \) 于 \( D \)，\( DE \perp AB \) 于 \( E \)，且交 \( \odot O \) 于 \( G \)。(1) 求证：\( \overset{\frown}{BG} = \overset{\frown}{CG} \)；(2) 连接 \( OG \)，若 \( OG \perp BC \)，求证：\( BG^2 = AB \cdot EB \)。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 已知 \( \odot O \) 的半径为 \( r \)，弦 \( AB \) 将圆周分成 1:2 的两部分，则弦心距 \( d = \) ______。
- （阅读理解）《九章算术》记载“圆材埋壁”：今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。问径几何？转化为数学问题：如图，\( \odot O \) 代表圆柱截面，\( CD \) 为“锯道”（弦），\( AB \) 为“径”（直径），\( CE \perp AB \) 于 \( E \)，\( CE=1 \) 寸（深），\( CD=10 \) 寸（道）。求直径 \( AB \) 的长。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：① 检查“垂径”条件是否用全（过圆心+垂直）。② 检查勾股方程：斜边永远是半径！③ 如果题目没有图，一定要根据题意画出标准图形（圆心、弦、垂足），避免因想象出错。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：立刻画一个标准的“半径-弦心距-半弦”直角三角形，在图上标出已知量。然后直接用勾股定理 \( a^2 + b^2 = c^2 \)** 去列式，这个公式就自然出来了。记住，垂径定理的核心就是化归为直角三角形。
参考答案
第一关： 1. B 2. 5 3. 26 4. 平分弦的直径垂直于这条弦（注意：这个命题不一定成立，需强调“非直径”弦）5. 垂直于弦的半径（或直径）
第二关： 1. 1 或 7（注意平行弦在圆心同侧和异侧两种情况）2. 略（利用HL证Rt△AOM≌Rt△AON，得AM=AN，再由垂径定理得AB=2AM，AC=2AN）3. 17 或 7 4. 25 cm 5. 4
第三关： 1. \( \sqrt{65} \) (提示：由AB、CD位置关系，可证M、O、E共线，设半径=r，在多个直角三角形中运用勾股定理) 2. 8 3. 略 4. \( \frac{r}{2} \) 或 \( \frac{\sqrt{3}}{2}r \) (提示：分优弧与劣弧比为1:2和2:1两种情况，对应圆心角为120°或240°，弦心距为60°或30°角的对边) 5. 26寸
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