排列排队问题专项练习：题型解析与答案解析PDF下载

💡 阿星精讲：排列：排队问题 原理

• 核心概念：想象一下，我们要给5个好朋友（阿星、小蓝、小红、小明、小美）在教室门口排成一队。这就叫一个“排列”。怎么算有多少种排法呢？阿星来当裁判：我们先确定第一个位置。这时，5个人都还没站，所以谁都可以站第一个，有 \(5\) 种选法。假设小蓝抢到了第一个位置。接下来定第二个位置，这时小蓝已经站好了，只剩4个人可以选，所以有 \(4\) 种选法。依此类推，第三个位置有 \(3\) 种，第四个有 \(2\) 种，最后一个位置只剩 \(1\) 个人。所以总的排队方法就是：\(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)。看，是不是像一场“位置选秀大会”？
• 计算秘籍：
  1. 画出与总人数相等的空位。
  2. 从第一个位置开始，思考当前位置有多少种选择（未被选中的人）。
  3. 将每个位置的可选数依次相乘。
  4. 得到公式：\(n\) 个人排队的排法总数是 \(n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 2 \times 1\)，记作 \(n!\)（读作“n的阶乘”）。
• 阿星口诀：“一个一个去占位，前一个选完后一个备，所有选择乘起来，排列总数就到位！”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：题目说“阿星必须站在正中间”，很多同学直接从5个人里选一个放中间，然后剩下4个随便排，写成 \(1 \times 4!\)。
  ✅ 正解：这种“特殊要求”要优先处理。先安排阿星到中间那个唯一的位置，只有 \(1\) 种方法。然后剩下的4个人在剩下4个位置自由排列，有 \(4!\) 种。所以是 \(1 \times 4! = 24\) 种。逻辑是“先定特殊，再排一般”。
• ❌ 错误2：把“排列”（讲究顺序）和“组合”（不讲究顺序）搞混。例如，从5人中选3人去比赛（只关心是谁去，不关心出场顺序）是组合；选3人然后排冠亚季军（顺序很重要）就是排列。
  ✅ 正解：问自己一个问题：交换其中两个人的位置，结果一样吗？ 如果一样，是组合；如果不一样，就是排列。排队问题中，交换位置队伍就变了，所以一定是排列。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 3本不同的书排成一排，有多少种排法？
2. 用数字 \(1, 2, 3, 4\) 可以组成多少个没有重复数字的四位数？
3. 6个同学排队做操，一共有多少种队列？
4. 阿星、小蓝、小红三个人站成一排合影，有多少种站法？
5. 把“火”、“星”、“AI”三个词牌排成一行，有多少种排法？
6. 5辆不同颜色的玩具小汽车一字排开，有多少种排法？
7. 从“春”、“夏”、“秋”、“冬”4个字中选3个排成一列，有多少种排法？
8. 7个小朋友玩“老鹰捉小鸡”，需要排成一队（1个老鹰，1个母鸡，5个小鸡），如果只考虑角色的前后顺序，有多少种排队方式？
9. 班级值日表需要安排周一至周五的5位值日生（每人一天），有多少种安排方式？
10. 书架上有4本不同的故事书，全部拿出来再按任意顺序放回去，有多少种放法？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 5个人排队，其中甲和乙必须相邻，有多少种排法？
2. 5个人排队，其中甲和乙不能相邻，有多少种排法？
3. 6个男孩和4个女孩站成一排，如果女孩必须相邻，一共有多少种排法？
4. 用 \(0, 1, 2, 3, 4\) 这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
5. 7个人排队，甲必须在乙的前面（不一定相邻），有多少种排法？
6. 将3面红旗和2面黄旗挂在一根旗杆上（同颜色旗子无区别），可以组成多少种不同的信号？
7. 8个座位排成一排，甲、乙、丙三人就坐，且任意两人都不相邻，有多少种坐法？
8. 5对夫妇围圆桌而坐，每对夫妇都相邻，有多少种坐法？
9. 单词 “MATHEMATICS” 中的字母重新排列，能得到多少个不同的“词”（包括无意义的）？
10. 一排10个座位，现有4人就坐，若要求每人左右两边都有空座位，有多少种坐法？

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI场景】星火AI实验室要测试5个不同的语言模型（A、B、C、D、E）在同一个任务上的性能，需要依次运行它们。考虑到模型间的相互影响，不同的测试顺序可能导致不同的结果。一共有多少种测试顺序？
2. 【航天场景】中国空间站有6项实验任务（代号“天和”至“天宫六号”）需要在接下来6天依次完成。如果“天和”任务必须在第一天或最后一天进行，“问天”和“梦天”任务必须相邻进行，请问有多少种任务安排方案？
3. 【网购场景】你的购物车里有3件衣服和2双鞋，结账时系统推荐了5张不同的优惠券（每张只能用一次）。你决定先使用1张店铺券，再使用1张平台券，最后使用1张支付券，剩下的2张不用。考虑使用券的顺序和选择哪张券，你一共有多少种不同的用券策略？
4. 【游戏设计】一款卡牌游戏需要设计一个5张卡的连招组合。设计师有8张不同的技能卡可选，并且连招中卡牌的出场顺序至关重要。一共可以设计出多少种不同的5卡连招？
5. 【交通规划】一条新建的地铁线有10个站（包括起点和终点）。运营部门需要为这10个站设计一系列不同风格的站名广播语音包。现有5位不同的配音演员，每位演员可以为任意多个车站录音，但每个车站的广播员必须唯一。不考虑广播内容，只考虑配音演员的分配方案，有多少种可能？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(3! = 6\)
2. \(4! = 24\)
3. \(6! = 720\)
4. \(3! = 6\)
5. \(3! = 6\)
6. \(5! = 120\)
7. 从4个中选3个排列：\(P_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
8. 7个人角色不同，直接线性排列：\(7! = 5040\)
9. \(5! = 120\)
10. \(4! = 24\)

第二关：奥数挑战

1. 捆绑法：把甲乙看成一个整体，和其余3人排列，有 \(4!\) 种；甲乙内部可交换，有 \(2!\) 种。共 \(4! \times 2! = 48\) 种。
2. 总排法 \(5! = 120\)，减去相邻的 \(48\) 种，得 \(120 - 48 = 72\) 种。
3. 捆绑法：4个女孩整体与6个男孩排列，\(7!\) 种；女孩内部排列 \(4!\) 种。共 \(7! \times 4! = 5040 \times 24 = 120960\)。
4. 百位不能为0，有4种选择；十位从剩下的4个数字中选，有4种；个位从剩下的3个中选，有3种。共 \(4 \times 4 \times 3 = 48\) 个。
5. 7个人全排列有 \(7! = 5040\) 种。甲在乙前和甲在乙后的情况是对称的，各占一半。所以有 \(5040 \div 2 = 2520\) 种。
6. 这不是纯粹排列（有相同元素）。总共有5面旗，排法为 \(\frac{5!}{3!2!} = 10\) 种。
7. 插空法：先让其余5个人坐下，有 \(5!\) 种排法。这5个人形成了6个空位（包括两端）。让甲、乙、丙选择其中3个空位坐下，有 \(P_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120\) 种。总坐法 \(5! \times 120 = 120 \times 120 = 14400\)。
8. 每对夫妇内部可交换，有 \(2^5\) 种。将5对夫妇看作5个整体围桌而坐，有 \((5-1)! = 4!\) 种。总坐法 \(2^5 \times 4! = 32 \times 24 = 768\) 种。
9. 单词中有11个字母：M(2), A(2), T(2), H(1), E(1), I(1), C(1), S(1)。排列总数为 \(\frac{11!}{2!2!2!} = 4989600\)。
10. 等价于先让4个人坐下，且他们之间至少有1个空位，两端也至少有1个空位。可以想象成4个人和6个空位先满足条件：_ _ _ _ （人用P表示，必有的空位用_表示）。这4个人可以在剩下的自由空位中任意排列？更准确的方法是，让4个人先坐好，他们之间和两端自动产生了5个“空挡”，我们需要额外再放2个空座位到这5个空挡中（每个空挡可以放多个）。用隔板法：等价于求方程 \(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=2\)（\(x_i \ge 0\)）的非负整数解个数，为 \(C_{2+5-1}^{5-1}=C_6^4=15\)。4个人排列有 \(4!=24\) 种。总坐法 \(15 \times 24 = 360\)。

第三关：生活应用

1. \(5! = 120\) 种。
2. ①安排“天和”：有2种选择（第1或第6天）。②捆绑“问天”和“梦天”：看作一个整体。③剩下“天和”已占1天，捆绑体1个，剩余3项独立任务，共4个元素需要排列在剩余的4个时间段（若“天和”在头尾，则剩下5天中需安排4个元素），有 \(4! = 24\) 种。④捆绑体内部可交换，有 \(2! = 2\) 种。总方案：\(2 \times 24 \times 2 = 96\) 种。
3. 分三步：第一步从5张券中选1张作店铺券：5种。第二步从剩下4张中选1张作平台券：4种。第三步从剩下3张中选1张作支付券：3种。剩下的2张自动不用。注意，这里不仅选了券，还指定了顺序，所以就是排列。总策略数：\(P_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60\) 种。
4. 从8张卡中选5张并排序：\(P_8^5 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720\) 种。
5. 每个车站需要从5位配音演员中指定1位。共有10个车站，且选择独立。所以总方案数为 \(5^{10}\)。（注意：这不是排列问题，是可重复的选择问题，每个位置有5种选择）。