捆绑法排列组合详解：相邻问题解题步骤与易错点分析[含高中练习题PDF]
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奥数
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2025-12-20
💡 阿星精讲：捆绑法：必须相邻 原理
- 核心概念：想象一下，A和B是形影不离的好朋友，老师要求他们必须坐在一起。这可怎么办呢？阿星的魔法来了！我拿出一根“数学绳子”，把A和B紧紧“捆”在一起，让他们变成一个“超级人——(AB)”。现在，问题就简单啦！我们只需要让这个“(AB)超级人”和剩下的其他人一起排队（排列），排好之后，再解开绳子，让A和B在“超级人”内部调换一下位置（内部排列）。这样一来，他们就永远挨在一起了！
- 计算秘籍：
- 捆绑：将必须相邻的 \( m \) 个元素看作一个“超级元素”。
- 外部排：计算“超级元素”和其余 \( n \) 个元素一共 \( (n+1) \) 个对象的全排列数，记为 \( P_{n+1}^{n+1} \) 或 \( (n+1)! \)。
- 内部排：计算被捆绑的 \( m \) 个元素内部的全排列数，记为 \( P_{m}^{m} \) 或 \( m! \)。
- 相乘：根据分步乘法计数原理，总排列数 \( N = (n+1)! \times m! \)。
- 阿星口诀：“相邻元素别慌张，绳子一捆变一‘胖’。先跟外敌排排坐，内部再把座位让。”
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：只把A和B捆起来和其他人排列，忘了他们俩内部可以交换位置。
✅ 正解：捆绑法需要“先外后内”，两步相乘。A和B捆在一起后，内部有 \( 2! = 2 \) 种顺序（AB或BA），这一步必须乘上。 - ❌ 错误2：题目要求“甲乙必须相邻，丙丁必须相邻”，错误地将甲乙、丙丁分别捆绑后，直接当作 \( 2 \) 个元素去排列。
✅ 正解：正确做法是，先将甲乙捆成一个元素X，丙丁捆成一个元素Y。然后计算X、Y和剩余元素的总排列数，最后再乘以甲乙内部的 \( 2! \) 和丙丁内部的 \( 2! \)。即分多步完成，每一步的排列数要相乘。
🔥 三例题精讲
例题1：\( 5 \) 个人排队，其中阿星和火花必须站在一起，一共有多少种不同的排队方法？
📌 解析：
- 捆绑：把“阿星”和“火花”用绳子捆成一个人“(星火)”。
- 外部排：现在有“(星火)”、其余 \( 3 \) 人，共 \( 4 \) 个对象排队。排列数为 \( 4! = 24 \)。
- 内部排：解开绳子，“阿星”和“火花”内部可以交换位置，有 \( 2! = 2 \) 种排法。
- 相乘：根据分步计数原理，总方法数为 \( 24 \times 2 = 48 \) 种。
✅ 总结：典型的“两人相邻”问题，直接套用捆绑法公式：总数为 \( (4!) \times (2!) = 48 \)。
例题2：将“数学”、“真”、“有趣”三个词排成一排，要求“数学”和“有趣”必须相邻，有多少种排法？
📌 解析：
- 这道题有陷阱！“数学”是一个词，“有趣”是一个词，“真”是一个词。总共就是 \( 3 \) 个对象。
- 捆绑：把“数学”和“有趣”捆在一起，变成“(数学有趣)”。
- 外部排：对象变为“(数学有趣)”和“真”，共 \( 2 \) 个对象排列。排列数为 \( 2! = 2 \)。
- 内部排：“(数学有趣)”内部两个词可以交换，有 \( 2! = 2 \) 种顺序。
- 相乘：总排法为 \( 2 \times 2 = 4 \) 种。
✅ 总结：捆绑法不仅用于多人排队，也用于多个对象的排列。关键在于准确数清“被捆绑体”和“其他个体”的数量。
例题3：\( 6 \) 个小朋友围成一圈做游戏，其中双胞胎兄弟必须坐在一起，有多少种不同的坐法？（旋转后相同算一种）
📌 解析：
- 这是环形排列问题。第一步，将双胞胎兄弟捆绑成一个人“兄弟”。
- 在环形排列中，处理“捆绑体”有一个技巧：先让“兄弟”坐下固定一个位置（因为环形旋转对称，谁先坐下都一样，这样可以避免重复计算旋转情形）。
- 外部排：“兄弟”坐定后，剩下的 \( 4 \) 个小朋友在剩下的 \( 4 \) 个位置上进行直线排列（因为“兄弟”固定后，环就被打破了），排列数为 \( 4! = 24 \)。
- 内部排：“兄弟”内部两人可以交换左右，有 \( 2! = 2 \) 种。
- 相乘：总坐法为 \( 24 \times 2 = 48 \) 种。
✅ 总结：环形排列中的捆绑法，关键技巧是“固定捆绑体以破环”，转化为直线排列问题，再用捆绑法解决。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- \( 4 \) 名同学和 \( 2 \) 名老师站成一排拍照，要求 \( 2 \) 名老师必须相邻，有多少种站法？
- 单词“SMILE”的字母重新排列，要求字母“S”和“M”必须相邻，有多少种排法？
- 用 \( 1, 2, 3, 4, 5 \) 组成没有重复数字的五位数，其中 \( 1 \) 和 \( 2 \) 必须相邻，有多少个这样的数？
- 书架上有 \( 6 \) 本不同的书，其中指定的两本漫画书要放在一起，有多少种放法？
- 甲、乙、丙、丁、戊五人排队，甲必须站在乙的左边且相邻，有多少种排法？
- \( 7 \) 个人排成一列，其中 \( 3 \) 个好朋友要求彼此相邻，有多少种排法？
- 将红、黄、蓝、绿四面旗子插成一排，要求红旗和黄旗必须相邻，有多少种插法？
- 某班有 \( 8 \) 个学习小组，汇报时要来\( A \)组和\( B \)组连续汇报，汇报顺序有多少种？
- 父母和 \( 3 \) 个孩子排一排，要求父母必须站在一起，有多少种排法？
- 把“北京”、“欢迎”、“你”三张卡片排成一行，要求“北京”和“欢迎”相邻，有几种排法？
第二关：奥数挑战（10道）
- \( 7 \) 人排队，其中甲、乙、丙三人中，甲必须与乙相邻，但不与丙相邻，有多少种排法？
- 用 \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \) 组成没有重复数字的六位数，其中偶数数字 \( 2, 4 \) 必须相邻，有多少个这样的数？
- \( 5 \) 对夫妻共 \( 10 \) 人围圆桌就餐，要求每对夫妻都相邻而坐，有多少种坐法？（旋转相同算一种）
- 将《论语》《孟子》《大学》《中庸》《诗经》《尚书》六本书放入书架，要求四书（前四本）必须放在一起，有多少种放法？
- \( 8 \) 个节目中有 \( 3 \) 个歌舞、\( 2 \) 个小品、\( 3 \) 个相声。要求同类节目必须相邻，演出顺序有多少种？
- 一排 \( 9 \) 个座位，坐 \( 6 \) 个人，其中甲、乙、丙三人必须相邻且都坐下，有多少种坐法？
- 从单词“BANANA”的所有字母排列中，任选一个，求“N”和“A”恰好相邻的概率。
- 一排长椅有 \( 7 \) 个座位，\( 4 \) 个人坐，任意两人不相邻，且其中甲、乙两人必须相邻，求坐法总数。
- 某次竞赛，中国、美国、俄罗斯、日本、韩国队的队旗挂成一排，要求中国和韩国队旗相邻，但日本队旗不能与中国队旗相邻，有多少种挂法？
- 用 \( 1, 2, 3, 4, 5, 6 \) 组成无重复数字的六位数，要求奇数位上的数字按递增顺序排列（但不必相邻），且数字 \( 2 \) 和 \( 4 \) 必须相邻，求这样的六位数个数。
第三关：生活应用（5道）
- （AI提示词工程）你需要向AI模型提交一段包含5个指令的提示词：{写诗，翻译，总结，编码，绘图}。为了获得更好效果，经验表明“总结”和“编码”这两个指令在提示词中必须相邻放置。那么这5个指令有多少种不同的排列提交方式？
- （航天任务）一个国际空间站实验舱有6个不同的实验机柜需要按顺序启动：生命科学A、B，材料科学C、D，天文观测E，对地观测F。为确保数据连贯性，同领域的两个机柜（如A和B）必须连续启动。共有多少种启动顺序方案？
- （网络安全）一个 \( 8 \) 位的系统密码由数字 {1,3,5,7} 和字母 {A, C, E, G} 组成，每个字符不重复。为了提高强度，要求所有数字必须相邻排列，所有字母也必须相邻排列。这样的密码有多少种？
- （电商促销）某直播间要上架 \( 7 \) 款商品进行秒杀：3款数码产品(D1,D2,D3)，2款美妆产品(M1,M2)，2款食品(F1,F2)。为了营造“组合抢购”氛围，主播要求同品类商品必须连续上架。请问商品上架顺序有多少种安排？
- （交通规划）一条新的地铁线有 \( 5 \) 个待建站点：{A, B, C, D, E}。由于地质和换乘考虑，站点B和D必须在规划中相邻建造（即下一个建的必须是另一个）。那么这5个站点的建造顺序有多少种可能？
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：捆绑法：必须相邻 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点通常不在于捆绑本身，而在于“识别复杂情境”和“处理多步捆绑”。许多题目不会直白地说“甲乙相邻”，而是隐藏在“好朋友”、“同类型”、“必须连续”等描述中。更重要的是，当题目中出现多组“必须相邻”或与“不相邻”、“定位”等条件混合时，学生容易漏乘内部排列数 \( m! \)，或混淆分步与分类。其核心是对计数原理中“分步乘法”的理解不到位。捆绑法本质是两步：①整体视为一元素 \( \Rightarrow \) 排列数 \( P_1 \)；②内部解绑 \( \Rightarrow \) 排列数 \( P_2 \)。总数为 \( P_1 \times P_2 \)。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：捆绑法是化归与转化思想的绝佳体现。它将一个有条件约束的复杂排列问题（“相邻”），转化为两个更简单的无约束排列问题。这种“打包处理”的思想，在后续学习排列组合综合问题、概率计算、甚至编程算法（如处理特定数据结构）时都至关重要。例如，在计算古典概型概率 \( P(A) = \frac{m}{n} \) 时，分子分母常需用捆绑法求“特定事件相邻”的方案数。它也是理解更高级计数方法（如容斥原理）的重要基础。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：有！请严格遵循以下四步流程：
- 识别捆绑对象：找出题目中所有“必须相邻”的元素组。
- 执行捆绑操作：将每组元素分别用“绳子”捆成一个“超级元素”。
- 计数外部排列：计算所有“超级元素”与剩余单个
- 计数内部排列并相乘：计算每组被捆绑元素内部的排列数，设第 \( i \) 组有 \( k_i \) 个元素，内部排列数为 \( k_i! \)。总数为 \( N_{总} = N_{外} \times (k_1! \times k_2! \times ...) \)。
记住这个核心模型：如果有 \( a \) 组需捆绑（各组元素数分别为 \( m_1, m_2, ..., m_a \)），另有 \( b \) 个独立元素，则总排列数 \( N = (a+b)! \times (m_1! \times m_2! \times ... \times m_a!) \)。
答案与解析
第一关：
- 将 \( 2 \) 名老师捆绑，与 \( 4 \) 名同学共 \( 5 \) 个对象排列：\( 5! \times 2! = 240 \)。
- 将“S”和“M”捆绑，与“I”、“L”、“E”共 \( 4 \) 个对象排列：\( 4! \times 2! = 48 \)。
- 将 \( 1 \) 和 \( 2 \) 捆绑，与 \( 3,4,5 \) 共 \( 4 \) 个对象排列：\( 4! \times 2! = 48 \)。
- 将两本漫画书捆绑，与其余 \( 4 \) 本书共 \( 5 \) 个对象排列：\( 5! \times 2! = 240 \)。
- 将甲、乙捆绑，且内部只有“甲乙” \( 1 \) 种顺序（甲左乙右）。再与丙、丁、戊共 \( 4 \) 个对象排列：\( 4! \times 1 = 24 \)。
- 将 \( 3 \) 个好朋友捆绑，与其余 \( 4 \) 人共 \( 5 \) 个对象排列：\( 5! \times 3! = 720 \)。
- 将红、黄旗捆绑，与蓝、绿旗共 \( 3 \) 个对象排列：\( 3! \times 2! = 12 \)。
- 将 \( A \) 组和 \( B \) 组捆绑，与其余 \( 6 \) 个组共 \( 7 \) 个对象排列：\( 7! \times 2! = 10080 \)。
- 将父母捆绑，与 \( 3 \) 个孩子共 \( 4 \) 个对象排列：\( 4! \times 2! = 48 \)。
- 将“北京”和“欢迎”捆绑，与“你”共 \( 2 \) 个对象排列：\( 2! \times 2! = 4 \)。
第二关 & 第三关解析（要点）：
- 先捆甲乙，再使用插空法确保丙不与甲乙相邻。
- 捆绑 \( 2,4 \)，注意 \( 0 \) 不能为首位。
- 环形排列，先固定一对夫妻的位置以破环，再将每对夫妻内部捆绑处理。
- 将四本书捆绑，与其余两本排列。
- 同类节目各自捆绑，再将三个“超级节目包”排列。
- 先捆绑三人，再用插空法从 \( 9 \) 个座位中选 \( 6 \) 个相连的座位给这 \( 6 \) 人坐。
- 使用捆绑法计算“N和A相邻”的排列数，除以“BANANA”字母的总排列数。
- 先安排必须相邻的甲、乙（捆绑），再用插空法安排剩下两人。
- 使用捆绑法结合容斥原理，减去中韩相邻且中日也相邻的情况。
- 先满足奇数位递增条件，再处理 \( 2 \) 和 \( 4 \) 相邻的条件，需要分类讨论。
- 将“总结”和“编码”捆绑，与其余 \( 3 \) 个指令排列：\( 4! \times 2! = 48 \)。
- 生命科学 \( A,B \) 捆绑，材料科学 \( C,D \) 捆绑，与 \( E, F \) 共 \( 4 \) 个对象排列：\( 4! \times 2! \times 2! = 96 \)。
- 将4个数字捆绑成一个“数字包”，4个字母捆绑成一个“字母包”，两个包排列：\( 2! \times 4! \times 4! = 1152 \)。
- 3个数码捆绑，2个美妆捆绑，2个食品捆绑，共3个对象排列：\( 3! \times 3! \times 2! \times 2! = 144 \)。
- 将 \( B \) 和 \( D \) 捆绑，与 \( A, C, E \) 共 \( 4 \) 个对象排列：\( 4! \times 2! = 48 \)。
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