完全平方数尾数特征详解：快速判断个位数字技巧与练习题-PDF下载[初中数学]

💡 阿星精讲：完全平方数：尾数特征 原理

• 核心概念：想象一下，每个数字在平方（自己乘自己）之后，都会得到一个“完全平方数”。这个平方数的“尾巴”——也就是它的个位数字——可不是随便什么都能当的！它只认可 \(0, 1, 4, 5, 6, 9\) 这六位“幸运数字”作为自己的尾巴。你的朋友阿星是个急性子，他发明了一套“秒删大法”：“管它数字多大，先看尾巴在哪。若是 \(2, 3, 7, 8\)，直接画叉扔掉它！” 这就像海关快速通道，看到可疑（不可能）的末位，直接拒绝入境（判定为非完全平方数）。
• 计算秘籍：为什么是这六位呢？我们让 \(0\) 到 \(9\) 这十个数字的“身份证”（个位数）都自己乘自己试试看：
  • \(0^2 = 0\)，尾巴是 \(0\)。
  • \(1^2 = 1\)， \(9^2 = 81\)，尾巴都是 \(1\)。
  • \(2^2 = 4\)， \(8^2 = 64\)，尾巴都是 \(4\)。
  • \(3^2 = 9\)， \(7^2 = 49\)，尾巴都是 \(9\)。
  • \(4^2 = 16\)， \(6^2 = 36\)，尾巴都是 \(6\)。
  • \(5^2 = 25\)，尾巴是 \(5\)。

  看，无论原数的十位、百位是多少，平方后的个位数只由原数的个位数决定。结果尾巴只出现了 \(0,1,4,5,6,9\)，而 \(2,3,7,8\) 从未出现。

• 阿星口诀：平方尾数有玄机，\(0,1,4,5,6,9\) 记心里。\(2,3,7,8\) 一出现，立刻排除别怀疑！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：【看到末位是 \(0,1,4,5,6,9\) 的数，就断定它是完全平方数。】 → ✅ 正解：尾数特征是必要不充分条件。一个数如果是完全平方数，末位必定是那六位之一；但反过来，末位是那六位之一的数，不一定是完全平方数。例如：\(18\) 末位是 \(8\)，它肯定不是平方数；但 \(26\) 末位是 \(6\)，它也不是平方数（\(5^2=25, 6^2=36\)）。
• ❌ 错误2：【只检查最后一位，忽略其他数位的矛盾。】 → ✅ 正解：尾数特征通常用于快速排除错误选项。对于一个可能是平方数的数，还需要结合其他知识验证，比如平方数的奇偶性、除以 \(3\) 或 \(4\) 的余数特征等。例如，判断 \(523\) 是否为平方数，末位 \(3\) 属于 \(2,3,7,8\)，直接排除，无需再算。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 请用阿星的“秒删大法”快速划掉不可能为完全平方数的数：\(73, 121, 258, 400, 987\)。
2. 完全平方数 \(25\) 的末位是 \(5\)，请再写出两个末位是 \(5\) 的完全平方数。
3. 判断：末位是 \(1\) 的数一定是完全平方数。（对/错）
4. 一个数的平方末位是 \(9\)，这个数的末位可能是\_\_或\_\_。
5. 在 \(1\) 到 \(50\) 的自然数中，完全平方数的末位一共可能出现哪几种数字？
6. 直接写出 \(47^2\) 的个位数字。
7. 已知 \(1^2=1, 2^2=4, 3^2=9...\)，请问 \(98^2\) 的末位数字是多少？
8. 下列数中，哪个可能是完全平方数？ \(A. 333\ B. 444\ C. 555\ D. 666\)
9. 你的朋友写下一个数：\(2025\)，仅凭末位数字，你能立即排除它不是平方数的可能性吗？
10. 一个盒子里有编号从 \(1\) 到 \(100\) 的卡片，抽出编号是“完全平方数”的卡片。所有被抽中卡片的编号，它们的个位数字会组成一个集合，这个集合是\_\_\_\_\_。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 有一个四位数，它是完全平方数，且前两位数字相同，后两位数字也相同。这个四位数是多少？
2. 证明：不存在末位数为 \(2, 3, 7, 8\) 的完全平方数。
3. 若 \(n\) 是整数，且 \(n^2\) 的末三位是 \(444\)，求 \(n\) 的最小值。
4. 已知 \(m\) 是正整数，\(\overline{ab}\) 是一个两位数，且满足 \((\overline{ab})^2 = \overline{cded}\)，其中 \(a,b,c,d,e\) 代表数字。如果这个平方数的末位 \(d=4\)，那么 \(b\) 的可能取值是多少？
5. 观察规律：\(4^2=16, 14^2=196, 24^2=576...\) 这些平方数的末位都是 \(6\)。请问，个位是 \(4\) 或 \(6\) 的整数，其平方数的末位有什么共同规律？
6. 一个完全平方数加上 \(10\) 后仍然是完全平方数，求这个数。
7. 已知 \(1!+2!+3!+...+n!\) 的和是一个完全平方数（\(n!\)表示阶乘），求 \(n\)。
8. 求证：连续四个整数的乘积加 \(1\) 是一个完全平方数。
9. 有一个正整数，它加上 \(100\) 是一个完全平方数，它加上 \(168\) 也是一个完全平方数。求这个数。
10. 在 \(1000\) 到 \(9999\) 之间，有多少个末位是 \(1\) 的完全平方数？

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI生成】阿星用AI生成了一串“看似”平方数的序列：[3249, 4488, 5776, 6889, 7921]。AI不小心混入了一个“假货”，请用最快的方法找出来。
2. 【航天密码】某个卫星发射的倒计时秒数是一个完全平方数。工程师最后看到控制屏显示倒计时为 \(...7\) 秒，他立刻知道显示错误了。为什么？
3. 【网购优惠】某店铺商品编号为完全平方数的可以打五折。小美看中一件编号 \(1764\) 的大衣，她能享受折扣吗？请先用尾数法快速初判。
4. 【区块哈希】在区块链中，有时需要寻找一个数，使得它的哈希值（近似看作平方运算）满足以多个 \(0\) 结尾。如果一个哈希值末位是 \(0\)，那么原数据的末位必须是几？
5. 【内存地址】计算机中某些优化算法要求内存地址对齐到“平方数”边界。如果一个地址的十六进制表示以 \(`E`\)（即十进制的 \(14\)）结尾，这个地址可能符合要求吗？为什么？（提示：将问题转化为十进制末位思考）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 划掉 \(73\)（末位3），\(258\)（末位8），\(987\)（末位7）。
2. 例如 \(1225\) \((35^2)\)， \(3025\) \((55^2)\)。（答案不唯一）
3. 错。反例：\(11, 21, 31\) 等末位是 \(1\) 但不是平方数。
4. \(3\) 或 \(7\)。（因为 \(3^2=9, 7^2=49\)）
5. \(0,1,4,5,6,9\)。因为 \(1\) 到 \(50\) 包含了所有个位数平方的可能尾数类型。
6. \(7^2=49\)，个位是 \(9\)，所以 \(47^2\) 个位是 \(9\)。
7. \(8^2=64\)，个位是 \(4\)，所以 \(98^2\) 末位是 \(4\)。
8. D. \(666\)，末位是 \(6\)，属于可能范围。其他末位都是 \(3,4,5\)，其中 \(3\) 和 \(5\) 在个位时，其平方末位只能是 \(9\) 和 \(5\)，而 \(444\) 末位虽是 \(4\)，但需进一步验证（实际上 \(444\) 不是平方数）。
9. 不能。\(2025\) 末位是 \(5\)，属于“幸运数字”，有可能（事实上 \(2025 = 45^2\)）。
10. \(\{0,1,4,5,6,9\}\)。因为 \(1\) 到 \(100\) 的平方数包括 \(1,4,9,...81,100\)。

第二关 & 第三关 解析（要点）：

1. 设数为 \(\overline{aabb} = 1100a + 11b = 11(100a+b)\)，因其为平方数，故 \(100a+b\) 须被 \(11\) 整除，且商为完全平方数。尝试得 \(88^2=7744\)。
2. 证明见“计算秘籍”部分的穷举过程，即对于任意整数 \(n\)，\(n \equiv d \pmod{10}, d \in [0,9]\)，计算 \(d^2 \mod 10\) 不可能为 \(2,3,7,8\)。
3. \(n^2\) 末位为 \(4\)，则 \(n\) 末位为 \(2\) 或 \(8\)。尝试 \(38^2=1444\)，故 \(n\) 最小为 \(38\) 或 \(-38\)，取正整数为 \(38\)。
4. 平方数末位 \(d=4\)，则原数末位 \(b\) 可能是 \(2\) 或 \(8\)。注意题目中 \(d\) 是十位？仔细审题：平方数是五位数 \(\overline{cded}\)，末位是 \(e\)，\(d\) 是十位。已知 \(d=4\)，即平方数十位是 \(4\)。这不能直接用尾数特征，需另解。（此题设置略超纲，提示学生注意审题，尾数特征针对的是个位）
5. 个位是 \(4\) 或 \(6\) 的整数，其平方数的末位恒为 \(6\)。
6. 设平方数为 \(x^2\)，则 \(x^2+10=y^2\)，即 \(y^2-x^2=10\)，\((y-x)(y+x)=10\)，解得 \(x=?, y=?\) 无正整数解？ \(1.5\) 和 \(3.5\)？检查：\(1^2=1, 1+10=11\) 不是平方数。实际上，设较小的平方数为 \(n^2\)，则 \(n^2+10=(n+k)^2\)，解得 \(2nk+k^2=10\)，试 \(k=1, n=4.5\) 无效。无解？经典题是“加 \(100\) 和 \(168\)”。此题可能无正整数解。
7. 计算阶乘和：\(1!=1, 1!+2!=3, +3!=9=3^2, +4!=33, +5!=153\)，只有 \(n=3\) 时和为 \(9\) 是平方数。
8. 设四数为 \(n-1, n, n+1, n+2\)，乘积加 \(1\) 为 \((n^2+n-1)^2\)。
9. 设该数为 \(x\)，则 \(x+100=m^2, x+168=n^2\)，两式相减得 \(n^2-m^2=68\)，即 \((n-m)(n+m)=68\)，解得 \(n=18, m=16\)，则 \(x=156\)。
10. 末位是 \(1\) 的平方数，原数末位必须是 \(1\) 或 \(9\)。在 \(1000\) 到 \(9999\) 之间，最小是 \(32^2=1024\) 末位不是1，最大是 \(99^2=9801\)。找末位是 \(1\) 或 \(9\) 的数的平方：从 \(31\) (\(961\) 太小) 开始， \(41^2=1681\)， \(49^2=2401\)， \(51^2=2601\)， \(59^2=3481\) ... 观察其平方末位为 \(1\) 的规律，实际是求 \(m\) 满足 \(1000 \le m^2 \le 9999\) 且 \(m\) 的个位为 \(1\) 或 \(9\)。即 \(32 \le m \le 99\)。其中个位为 \(1\) 或 \(9\) 的 \(m\) 有：\(41,49,51,59,61,69,71,79,81,89,91,99\)。共 \(12\) 个。
11. （第三关1）4488，末位是8，直接划掉。
12. （第三关2）因为完全平方数的末位不可能是 \(7\)。
13. （第三关3）\(1764\) 末位是 \(4\)，属于幸运数字，有可能是平方数（事实上 \(1764=42^2\)），可以通过初判，享受折扣的可能性很大。
14. （第三关4）哈希值末位是 \(0\)，即平方数末位是 \(0\)，根据特征，原数据的末位必须是 \(0\)。
15. （第三关5）不可能。十六进制末位 \(`E`\) 对应十进制末位是 \(14\) 的个位，即 \(4\)。但地址是整数，其平方数的十进制末位不可能是 \(4\)吗？检查：个位是 \(2\) 或 \(8\) 的数平方末位是 \(4\)。所以，如果原地址（十进制）末位是 \(2\) 或 \(8\)，其平方数末位可以是 \(4\)。但题目说“地址以 \(`E`\) 结尾”，这意味着地址本身（十进制）的末位是 \(4\)？不，十六进制转十进制：\((\overline{...E})_{16} = ( ... \times 16 + 14)_{10}\)，所以其十进制数的末位是 \(4\) 吗？\(14\) 的个位是 \(4\)，是的。所以原数据（地址）的十进制末位是 \(4\)。那么它的平方末位是 \(6\)（因为 \(4^2=16\)）。而“平方数边界”要求地址本身是平方数，即这个末位为 \(4\) 的数自己是一个完全平方数。但完全平方数的末位如果是 \(4\)，那么它的平方根（原数）的末位必须是 \(2\) 或 \(8\)，而 \(2\) 或 \(8\) 的平方末位是 \(4\)，这并不矛盾。等等，逻辑有点绕。我们重新梳理：
    设这个内存地址的值为 \(A\)。已知 \(A\) 的十六进制表示末位是 \(`E`\)。这意味着 \(A \mod 16 = 14\)。
    问题：\(A\) 可能是一个完全平方数吗？
    如果 \(A\) 是完全平方数，设 \(A = K^2\)。那么 \(K^2 \mod 16 = 14\)。
    我们检查完全平方数模 \(16\) 的可能余数：对于任意整数 \(K\)，\(K\) 可以表示为 \(4m, 4m\pm1, 4m\pm2\) 等。计算其平方模 \(16\) 的余数：\(0, 1, 4, 9\)。具体来说，平方数模 \(16\) 的余数只能是 \(0, 1, 4, 9\)。不可能余 \(14\)。
    所以，无论从十进制末位还是模 \(16\) 的角度，这个地址都不可能是一个完全平方数。