配套问题一元一次方程应用题深度解析：从螺丝螺母到中考真题专项练习题库

💡 阿星精讲：配套问题 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊工厂里的“螺丝”和“螺母”。想象一下，一个螺丝配一个螺母，才能组成一套。我们的任务就是：让生产出来的螺丝和螺母数量刚刚好配套，不多也不少！这就像安排工人：有些工人专生产螺丝（效率高），有些专生产螺母（效率快）。我们得根据他们“干活的速度”（即生产比例），算出各安排多少人，才能使最终产品完美配对。核心就一句话：让“螺丝总数”：“螺母总数”等于“配套比”。
• 计算秘籍：
  1. 设未知数：通常设被分配的对象（如人数）为 \( x \)。
  2. 表产量：用 \( x \) 表示出各类产品的总产量。例如，每人每天生产 \( a \) 个螺丝，则 \( x \) 人生产 \( a \cdot x \) 个螺丝。
  3. 找配套比：从题目中找出配套的比例关系，如 \( m \) 个螺丝配 \( n \) 个螺母，配套比就是 \( m : n \)。
  4. 列方程：让两种产品的总量之比等于配套比，即 \( \frac{\text{螺丝总量}}{\text{螺母总量}} = \frac{m}{n} \)。关键：通常让较少的那类产品数量作为分子更容易列式。
  5. 解方程。
• 阿星口诀：配套问题像配对，先设人数后算量。总量之比等配比，列出方程迎刃解！

📐 图形解析

虽然配套问题本质是代数问题，但我们可以用流程图来理解“关系链”：

如图所示，核心是建立从“工人数”到“产品总量”，再到利用“配套比”构建等式的逻辑链。最终列出的方程是：\( \frac{a \cdot x}{b \cdot (\text{总人数} - x)} = \frac{m}{n} \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：直接按总人数比例分配。 → ✅ 正解：必须根据每人不同的工作效率（日产量）来分别计算总产量，再用配套比列方程。 人数比不等于产量比！
• ❌ 错误2：列方程时，配套比左右颠倒。 例如，1个螺丝配2个螺母，错误地列为 \( \frac{\text{螺丝}}{\text{螺母}} = \frac{2}{1} \)。 → ✅ 正解：配套比是“螺丝数:螺母数 = 1:2”，所以等式应为 \( \frac{\text{螺丝总量}}{\text{螺母总量}} = \frac{1}{2} \)。 记住：比的前后项与分子的前后项要严格对应。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个车间有60名工人，生产甲零件每人每天15件，生产乙零件每人每天20件。1个甲零件配2个乙零件。应分配多少人生产甲零件？
2. 包装书本，如果每人每小时包15本语文书，或包20本数学书。现有40人，要使每小时包好的语文书和数学书按3:2配套，如何分配人数？
3. 制作校服，每套用布2.4米。有140米布，做上衣可做50件，做裤子可做70条。用这些布做多少套校服？（提示：先求每件上衣、裤子各用布多少米）
4. 机械厂有39吨钢材，能造A零件400个或B零件600个。2个A零件和3个B零件配成一套，用多少钢材造A零件？
5. 木工组有10人，每人每天可加工圆桌面3张或桌腿12条。1张圆桌配4条桌腿，如何分配工作？
6. 陶瓷厂有工人42人，每人每天可产瓷碗20只或瓷盘15只。一只瓷碗和两只瓷盘配成一套，如何分配？
7. 有190个铁皮，每张做盒身做8个，做盒底做22个。一个盒身配两个盒底，用多少张做盒身？
8. 甲乙两种饮料按2:3混合成新饮料。甲饮料有50升，乙饮料有90升，要使混合后全部用完，各用多少升？
9. 学生分组植树，A组每人每天种4棵，B组每人每天种6棵。共72人，一天共种树400棵。两组各多少人？（提示：这是和差问题，非配套）
10. 生产螺栓螺母，工人共100人。螺栓日产量12个/人，螺母日产量18个/人。一个螺栓配两个螺母，如何分配？

第二关：中考挑战（10道）

1. 某工厂生产桌子，1m³木材可做桌面5张或桌腿30条。现有25m³木材，如何分配使生产的桌面和桌腿恰好配套？（一张桌子1面4腿）
2. 防汛指挥部有冲锋舟和救生衣两种物资。每艘冲锋舟配4件救生衣。若冲锋舟增加5艘，则需增加救生衣20件；若救生衣增加80件，则冲锋舟恰好配套。求原有冲锋舟和救生衣数量。
3. 制作“京西礼物”，1名高级工和2名初级工每天可制作10件；4名高级工和3名初级工每天可制作25件。若该车间有高级工和初级工共17人，且每天制作的礼物不少于65件，问至少需要多少名高级工？
4. 某车间每天能生产甲零件120个或乙零件100个。甲乙零件各一个配成一套。现在30天内要生产最多套数，问生产甲乙零件各用多少天？
5. 用A、B两种原料配成某种涂料，A原料每公斤50元，B原料每公斤40元。现要配制每公斤47元的涂料，求A、B原料的重量比。
6. 某工厂有工人100人，生产镜片和镜架。每人每天产镜片40片或镜架20副。一副镜架配两片镜片，如何分配使产品配套？若每副眼镜利润10元，求日利润。
7. 有甲、乙两种规格的纸板，甲种可做盒身30个或盒底50个，乙种可做盒身40个或盒底60个。现要制作一批无盖纸盒，用3个盒身和2个盒底配成一套。现有甲种纸板80张，乙种纸板若干，如何分配乙种纸板做盒身和盒底，才能恰好配套？
8. 某工程由甲、乙两队合作6天完成，厂家需付两队共8700元；乙、丙队合作10天完成，需付9500元；甲、丙队合作5天完成工程的2/3，需付5500元。若要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成且费用最少？
9. 生产某种产品，需将A、B、C三种零件按3:2:1配套。现有工人140名，每人每天能生产A零件5个，或B零件4个，或C零件3个。应如何分配工人，使产品配套？
10. 某体育场门票分团体票和零售票，团体票占总票数的2/3。若提前购票，团体票和零售票分别给予九折和九五折优惠。5月份团体票每张12元，共售出总票数的3/5，零售票每张16元，共售出总票数的一半。问6月份门票总收入最少为多少元？

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑配比）混凝土由水泥、砂子、石子按1:2:3的比例搅拌而成。现要配制30吨混凝土，工地已有水泥5吨、砂子10吨、石子20吨。问如何调整材料用量才能刚好配比且不浪费？
2. （化工调配）一种消毒水由原液和水按1:50稀释而成。现有一桶10升的原液，需要用容量为1.5升的喷雾瓶分装稀释好的消毒水。问最多能装满多少瓶？需要总共有多少升水来稀释？
3. （餐饮套餐）餐厅推出套餐，一份套餐包含1份主食和2份小菜。已知中午准备的主食和小菜总共200份，且卖完后主食和小菜恰好全部配完。若每份主食成本5元售价15元，每份小菜成本3元售价8元，求中午的最大可能营业额。
4. （车队调度）物流公司有大货车（每辆运货20吨）和小货车（每辆运货12吨）共30辆。现要一次性运完438吨货物，且要求每辆货车都装满。问需要大、小货车各多少辆？
5. （农业灌溉）甲乙两种型号的抽水机，甲型每天可灌溉农田60亩，乙型每天可灌溉40亩。现有一块580亩的农田，要求在10天内完成灌溉。已知甲型抽水机每天耗油费200元，乙型耗油费150元。如何安排抽水机数量，使得既能按时完成任务，总耗油费又最少？求最少费用。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关解析（部分关键题）：

1. 解：设生产甲零件 \( x \) 人，则生产乙零件 \( (60-x) \) 人。甲产量 \( 15x \)，乙产量 \( 20(60-x) \)。配套比甲:乙=1:2。方程：\( \frac{15x}{20(60-x)} = \frac{1}{2} \)。解得 \( x = 24 \)。
2. 解：设包语文书 \( x \) 人，则包数学书 \( (40-x) \) 人。语文书量 \( 15x \)，数学书量 \( 20(40-x) \)。配套比 3:2。方程：\( \frac{15x}{20(40-x)} = \frac{3}{2} \)。解得 \( x = 30 \)。
3. 解：每件上衣用布 \( 140 \div 50 = 2.8 \) 米，每条裤子用布 \( 140 \div 70 = 2.0 \) 米。设做 \( x \) 套。则用布总量：\( (2.8 + 2.0)x = 140 \)。解得 \( x \approx 29.17 \)，取整 \( 29 \) 套。（实际考虑布料裁剪，此题有现实意义）

第二关解析（第1题）：

解：设用 \( x \) m³做桌面，则用 \( (25-x) \) m³做桌腿。桌面数 \( 5x \)，桌腿数 \( 30(25-x) \)。配套比 桌面:桌腿 = 1:4。方程：\( \frac{5x}{30(25-x)} = \frac{1}{4} \)。解得 \( 20x = 750 - 30x \)， \( 50x = 750 \)， \( x = 15 \)。 ∴ 用15m³做桌面，10m³做桌腿。

第三关解析（第1题）：

解：设最终配比中水泥为 \( y \) 吨，则砂子为 \( 2y \) 吨，石子为 \( 3y \) 吨，且 \( y + 2y + 3y = 30 \)，解得 \( y=5 \)。即需要水泥5吨，砂子10吨，石子15吨。现有材料：水泥5吨（刚好），砂子10吨（刚好），石子20吨（多5吨）。∴只需使用15吨石子，剩余5吨石子不用。调整方案：水泥全用，砂子全用，石子只用15吨。