配套问题应用题怎么解？螺钉螺母比例方程深度解析与训练专项练习题库

💡 阿星精讲：配套问题 原理

• 核心概念：嘿，我是阿星！想象你是一个工厂的小厂长，你的任务就是生产成套的东西。最经典的就是螺钉和螺母。一个螺钉配一个螺母才能用，这叫1:1配套。但如果一个“机器人”需要2个胳膊（螺钉）和3条腿（螺母）才能行动，那就是2:3配套。所以，“配套”的密码就藏在它们的生产比例里！问题的本质是：让两种东西的生产数量，按照规定的比例恰好用完，不多也不少。
• 计算秘籍：
  1. 定比例：明确配套比例，例如 \( m : n \)。
  2. 设未知：通常设安排生产其中一种物品的人数为 \( x \) 或天数为 \( x \)。
  3. 表产量：用 \( x \) 表示两种物品的总产量。若单人每天生产 \( a \) 个A，\( b \) 个B，则A总产量为 \( a \cdot x \)，B总产量为 \( b \cdot x \)。
  4. 列方程：根据“配套比例”列方程。核心是：将两种物品的产量分别除以它们的配套比例数，得到的“套数”应该相等。
     
     即：\( \frac{\text{A产品总量}}{m} = \frac{\text{B产品总量}}{n} \)。
  5. 解方程，作回答。
• 阿星口诀：配套问题不用慌，比例关系是药方。产量除以配套比，令其相等解方程。

📐 图形解析

虽然配套问题不完全是几何问题，但我们可以用“条形图”来可视化匹配关系，帮助你理解“比例”。

配套比例模型：\( \frac{\text{螺钉总量}}{2} = \frac{\text{螺母总量}}{3} \)

上图表示：为了让螺钉（蓝色）和螺母（绿色）按 2:3 配套，我们必须将螺钉总量平均分成2份，螺母总量平均分成3份。最终，每一份的大小必须相等，这样才能完美配对，没有剩余。这就是方程 \( \frac{\text{螺钉总量}}{2} = \frac{\text{螺母总量}}{3} \) 的图形意义。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：直接让两种产品总量相等。 比如 2:3 配套时，错误地列式：螺钉量 = 螺母量。
  ✅ 正解：必须除以配套比例。 正确列式：\( \frac{\text{螺钉量}}{2} = \frac{\text{螺母量}}{3} \)。
• ❌ 错误2：比例关系颠倒。 比如已知 m 个A配 n 个B，错误地列成 \( m \cdot \text{A量} = n \cdot \text{B量} \)。
  ✅ 正解：记住“总量除以比例数”原则。 正确列式永远是 \( \frac{\text{A量}}{m} = \frac{\text{B量}}{n} \)，这样求出的才是相等的“套数”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个书架上层需要放5本大书，下层需要放8本小书才算摆满。现有大书150本，小书240本，最多能摆满多少个这样的书架？
2. 做一件衣服需要2米布料和5个扣子。现有布料100米，扣子300个，最多能做多少件完整的衣服？
3. 某小组同学，如果每6人一组，则多4人；如果每8人一组，则刚好分完。该小组至少有多少人？（提示：寻找人数的“配套”）
4. 1个大瓶饮料配3个小瓶饮料作为促销套装。生产了90个大瓶和210个小瓶，能组成多少套？
5. 铅笔和橡皮按4:1配套销售。现有铅笔120支，橡皮40块，能配成多少套？
6. 甲每小时做零件10个，乙每小时做15个。要完成一批需要甲零件和乙零件数量比为2:3的任务，如何分配8小时的工作时间给两人？
7. 3个苹果和2个梨装一袋。有苹果45个，梨30个，最多能装多少袋？
8. 某校学生住宿，若每间住4人，则空出2张床；若每间住6人，则恰好住满。问宿舍和人数各是多少？
9. 红纸每张可剪5个红花，绿纸每张可剪8个绿叶。一个花环需要2朵红花和3片绿叶。现有红纸20张，绿纸15张，最多能做多少个花环？
10. 经典螺钉螺母题：车间有工人100名，每人每天产螺钉24个或螺母32个。1个螺钉配2个螺母。如何分配工人？

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考改编）某家具厂生产方桌，1立方米木材可做50个桌面或300条桌腿。一张方桌需1个桌面和4条桌腿。现有10立方米木材，应如何分配木材生产桌面和桌腿，才能使桌面和桌腿刚好配套？共可生产多少张方桌？
2. （中考真题）某工厂有工人55人，生产甲、乙两种零件，每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件20个。已知3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，问应分配多少人生产甲、乙两种零件，才能使每天生产的零件配套？
3. 某服装厂要生产一批学生服，已知每3米长的布料可做上衣2件或裤子3条。一件上衣和一条裤子为一套。现计划用600米长的布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能配套？共能生产多少套？
4. 机械厂加工车间有90名工人，平均每人每天加工轴杆15根或轴承12套。1根轴杆与2套轴承配成一套。为了使每天加工的轴杆和轴承刚好配套，应安排加工轴杆和轴承的工人各多少名？
5. 用铝片做听装饮料瓶，每张铝片可制瓶身16个或瓶底43个。一个瓶身和两个瓶底可配成一套。现有150张铝片，用多少张制瓶身，多少张制瓶底，可以正好制成整套的饮料瓶？
6. 某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼。制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉。现共有面粉4500kg，制作两种月饼各用多少面粉，才能使生产出的月饼刚好配套？共可生产多少盒？
7. 抗洪抢险中，需要在一定时间内筑起一道长100米、高0.5米的土堤。如果每人每小时能运土0.5立方米，或能夯实0.25立方米。那么需要安排多少人运土，多少人夯实，才能使运来的土被及时夯实？（提示：运土量 = 夯实量）
8. 一个两位数，个位数字与十位数字之和为9。如果将这个两位数的个位与十位数字对调，得到的新数比原数大9。求原两位数。（提示：数字的“配套”）
9. 某工地需要派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5立方米或运土3立方米，那么应该怎样分配人力，才能正好使挖出的土及时运走？
10. 某工厂第一车间人数比第二车间人数的 \( \frac{4}{5} \) 少30人。如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间人数就是第二车间人数的 \( \frac{3}{4} \)。求原来每个车间的人数。

第三关：生活应用（5道）

1. （工程调配）修建一条公路，甲队单独修需要30天，乙队单独修需要20天。现在为了尽快通车，决定让两队从公路两头同时开工，需要多少天能完成全长的 \( \frac{5}{6} \) ？（提示：效率“配套”）
2. （化学配比）实验室要用浓度为95%的酒精和50%的酒精配制浓度为75%的消毒酒精500毫升。问需要这两种酒精各多少毫升？
3. （经济利润）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件。调查发现，这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件。问将售价定为多少元时，能使每天利润为640元？
4. （行程规划）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时。顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时。求无风时飞机的速度和两城之间的距离。
5. （资源分配）某农场计划用一块地种植西红柿和黄瓜。已知种植西红柿每亩需要人力5工日，收益8000元；种植黄瓜每亩需要人力3工日，收益5000元。农场共有可用人力60工日，要使总收益最大，应如何分配种植面积？最大收益是多少？（提示：线性规划思想，先列出所有可能“配套”方案）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解：设能摆满 \( x \) 个书架。则需大书 \( 5x \) 本，小书 \( 8x \) 本。由题意，\( 5x \leq 150 \) 且 \( 8x \leq 240 \)。解 \( x \leq 30 \) 且 \( x \leq 30 \)。最大整数解 \( x = 30 \)。
2. 解：设能做 \( x \) 件。需布料 \( 2x \) 米，扣子 \( 5x \) 个。\( 2x \leq 100 \)，\( 5x \leq 300 \)。得 \( x \leq 50 \) 且 \( x \leq 60 \)。取 \( x = 50 \)。
3. 解：设小组有 \( x \) 人。\( x \) 除以8余0，且 \( x \) 除以6余4。即 \( x = 8k \) 且 \( x = 6m + 4 \)。找最小公倍数附近数，尝试得 \( x = 40 \) (40÷6=6...4， 40÷8=5)。
4. 解：设能组成 \( x \) 套。需大瓶 \( x \) 个，小瓶 \( 3x \) 个。\( x \leq 90 \)，\( 3x \leq 210 \rightarrow x \leq 70 \)。取 \( x = 70 \)。
5. 解：设能配成 \( x \) 套。需铅笔 \( 4x \) 支，橡皮 \( x \) 块。\( 4x \leq 120 \rightarrow x \leq 30 \)，\( x \leq 40 \)。取 \( x = 30 \)。
6. 解：设甲做 \( t \) 小时，则乙做 \( (8-t) \) 小时。甲做零件 \( 10t \) 个，乙做 \( 15(8-t) \) 个。比例 \( \frac{10t}{2} = \frac{15(8-t)}{3} \)。解得 \( 5t = 40 - 5t \)，\( 10t = 40 \)，\( t = 4 \)。甲4小时，乙4小时。
7. 解：设能装 \( x \) 袋。需苹果 \( 3x \) 个，梨 \( 2x \) 个。\( 3x \leq 45 \)，\( 2x \leq 30 \)。得 \( x \leq 15 \) 且 \( x \leq 15 \)。取 \( x = 15 \)。
8. 解：设宿舍 \( x \) 间，则人数为 \( 4x+2 \) 或 \( 6x \)。列方程 \( 4x+2 = 6x \)，解得 \( x=1 \)，人数为 \( 6 \)。
9. 解：设能做 \( x \) 个花环。需红花 \( 2x \) 朵，由红纸提供 \( 20 \times 5 = 100 \) 朵；需绿叶 \( 3x \) 片，由绿纸提供 \( 15 \times 8 = 120 \) 片。则 \( 2x \leq 100 \)，\( 3x \leq 120 \)。得 \( x \leq 50 \) 且 \( x \leq 40 \)。取 \( x = 40 \)。
10. 解：设 \( x \) 人产螺钉，\( (100-x) \) 人产螺母。螺钉产量 \( 24x \)，螺母产量 \( 32(100-x) \)。配套比例1:2，列方程 \( \frac{24x}{1} = \frac{32(100-x)}{2} \)。解得 \( 24x = 1600 - 16x \)，\( 40x = 1600 \)，\( x=40 \)。安排40人产螺钉，60人产螺母。

（第二关、第三关解析示例，因篇幅限制，各展示1题）

第二关第1题解析：

解：设用 \( x \) 立方米木材做桌面，则 \( (10 - x) \) 立方米做桌腿。

桌面产量：\( 50x \) 个；桌腿产量：\( 300(10 - x) \) 条。

配套比例1:4，列方程：\( \frac{50x}{1} = \frac{300(10 - x)}{4} \)。

解得：\( 50x = 75(10 - x) \)，\( 50x = 750 - 75x \)，\( 125x = 750 \)，\( x = 6 \)。

则做桌腿木材为 \( 10 - 6 = 4 \) 立方米。

可生产方桌数量即为桌面数：\( 50 \times 6 = 300 \) (张)。

答：用6立方米做桌面，4立方米做桌腿，可生产300张方桌。

第三关第1题解析：

解：设需要 \( x \) 天完成全长的 \( \frac{5}{6} \)。

甲队效率为 \( \frac{1}{30} \) (每天)，乙队效率为 \( \frac{1}{20} \) (每天)。

等量关系：甲队完成量 + 乙队完成量 = 总工作量 \( \frac{5}{6} \)。

列方程：\( \frac{1}{30}x + \frac{1}{20}x = \frac{5}{6} \)。

两边同乘最小公倍数60：\( 2x + 3x = 50 \)。

\( 5x = 50 \)，\( x = 10 \)。

答：需要10天能完成全长的 \( \frac{5}{6} \)。