配方法解一元二次方程和求二次函数顶点 深度解析与专题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：配方法 原理

• 核心概念：阿星来了！今天我们不学数学，我们学“方程整容术”。你看一个普通的二次方程，比如 \(x^2 + 6x + 5 = 0\)，它长相平平，结构松散，不好看也不好解。我们的目标，就是通过“配方法”这套神奇整容术，把它变成像 \((x+3)^2 = 4\) 这样的“标准美人脸”——完全平方式。怎么做？三步走：1. 移常数项（把脸上的“瑕疵”先挪开）；2. 两边加“一次项系数一半的平方”（注射关键的美容针，强行补全缺失的部分）；3. 强行凑成完全平方（完美定型，华丽变身！）。这个过程的核心，就是利用公式 \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 的逆运算。
• 计算秘籍：
  1. 观察与准备：确保方程是 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的形式，且 \(a = 1\)。如果 \(a \neq 1\)，先通过“全身抽脂”（等式两边同除以 \(a\)）把它变成1。
  2. 移走“瑕疵”：把常数项 \(c\) 移到等号右边：\(x^2 + bx = -c\)。
  3. 注射“美容针”：计算一次项系数 \(b\) 的一半，即 \(\frac{b}{2}\)，然后平方得到 \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\)。将这颗“美容针”同时注射到方程两边：\(x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = -c + \left(\frac{b}{2}\right)^2\)。
  4. 完美定型：左边 now 已经是一个完美的完全平方式：\(\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 = -c + \left(\frac{b}{2}\right)^2\)。恭喜，整容成功！
• 阿星口诀：“一次项，分一半，平方往两边按；左边合成完美方，右边合并简化算。”

📐 图形解析：配方法的“面积”整容术

让我们用几何的眼光看代数。方程 \(x^2 + 6x\) 可以看作一个“缺角”的正方形组合。我们要找到缺失的那一块，把它补全。

图形解释：左边的图形代表 \(x^2 + 6x\)。它由一个面积为 \(x^2\) 的大正方形和两个面积均为 \(3x\) 的矩形组成。但这样拼不成一个完整的大正方形。我们缺失了一个边长为3的小角，其面积正是 \(3^2\)，也就是 \(\left( \frac{6}{2} \right)^2\)。配方法中“两边加上一次项系数一半的平方”，在几何上就是补上这块缺失的小正方形，从而将整个图形变成一个边长为 \((x+3)\) 的完美大正方形，其面积为 \((x+3)^2\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只在等式一边加“美容针”。如：\(x^2+6x+9=7\) → ✅ 正解：整容要对称！必须等式两边同时加上 \(\left(\frac{6}{2}\right)^2=9\)，即 \(x^2+6x+9=7+9\)。
• ❌ 错误2：开方后忘记正负号。如：\((x+3)^2=4\)，直接写 \(x+3=2\) → ✅ 正解：开平方要“雨露均沾”！必须考虑正负：\(x+3=\pm\sqrt{4}\)，即 \(x+3=2\) 或 \(x+3=-2\)。
• ❌ 错误3：系数 \(a \neq 1\) 时，忘记“全身抽脂”。如：对 \(2x^2+8x+3=0\) 直接配方 → ✅ 正解：先让 \(x^2\) 的系数“瘦身”为1！等式两边同除以2：\(x^2+4x+\frac{3}{2}=0\)，再进行后续操作。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 用配方法解方程：\(x^2 + 2x - 3 = 0\)
2. 用配方法解方程：\(x^2 - 10x + 21 = 0\)
3. 用配方法解方程：\(x^2 + 8x + 15 = 0\)
4. 用配方法解方程：\(x^2 - 5x + 6 = 0\)（提示：分数美容针）
5. 用配方法解方程：\(x^2 + 3x - 10 = 0\)
6. 将 \(x^2 + 12x + 20\) 通过配方写成 \((x+p)^2 + q\) 的形式。
7. 将 \(x^2 - 6x + 1\) 通过配方写成 \((x+m)^2 + n\) 的形式。
8. 若 \(x^2 - 8x + k\) 是一个完全平方式，求常数 \(k\) 的值。
9. 若 \(x^2 + px + 36\) 是一个完全平方式，求常数 \(p\) 的值。
10. 用配方法证明：对于任何实数 \(x\)，式子 \(x^2 - 4x + 7\) 的值总是正数。

第二关：中考挑战（10道）

1. 用配方法解方程：\(2x^2 - 6x - 8 = 0\)
2. 用配方法解方程：\(-3x^2 + 12x - 9 = 0\)
3. 用配方法求二次函数 \(y = -x^2 + 4x + 1\) 的顶点坐标。
4. 已知 \(x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0\)，求 \(x^y\) 的值。（提示：对 \(x\) 和 \(y\) 分别配方）
5. 用配方法求代数式 \(2x^2 - 8x + 9\) 的最小值。
6. 比较大小：\(M = 2a^2 - 4a + 7\) 与 \(N = a^2 - 2a + 5\)。（提示：配方后判断）
7. （几何结合）一个直角三角形的两条直角边之和为 \(10\)，面积为 \(9\)。设一条直角边为 \(x\)，用配方法求斜边的长度。
8. 解关于 \(x\) 的方程：\(x^2 - 2mx + m^2 - n^2 = 0\)。
9. 已知 \(a, b, c\) 是 \(\triangle ABC\) 的三边，且满足 \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\)，判断三角形的形状。
10. （综合）已知抛物线 \(y = x^2 - 2x - 3\)，将其配方后，回答：① 开口方向；② 对称轴；③ 顶点坐标；④ 与x轴交点坐标。

第三关：生活应用（5道）

1. （建筑设计）某花园计划修建一个矩形花坛，并在花坛中央设计一个圆形喷泉。已知矩形花坛的周长为 \(40\) 米。设矩形长为 \(x\) 米，试用配方法求出能使矩形面积最大的长和宽，并计算最大面积。（提示：面积 \(S = x(20-x)\)）
2. （运动轨迹）小明打篮球时，篮球出手后的运动轨迹近似为抛物线 \(h = -\frac{1}{20}x^2 + x + 2\)（\(h\) 为高度米，\(x\) 为水平距离米）。用配方法求篮球能达到的最高高度。
3. （利润优化）某商店销售一种商品，每件进价 \(40\) 元。经调查发现，若售价定为 \(x\) 元，则日均销量为 \((200 - 2x)\) 件。要使每日利润最大，售价应定为多少元？最大利润是多少？（提示：利润 \(y = (x-40)(200-2x)\)）
4. （桥梁工程）某拱桥桥洞呈抛物线形，以水面为x轴，桥洞对称轴为y轴建立坐标系。测得水面宽度 \(AB = 20\) 米，拱顶 \(O\) 离水面 \(4\) 米。求这条抛物线的解析式。（提示：设解析式为 \(y = ax^2 + 4\)，代入点 \((10, 0)\) 求 \(a\)，再配方验证顶点）
5. （安全距离）汽车刹车后行驶的距离 \(s\)（米）与时间 \(t\)（秒）的关系为 \(s = 20t - 2t^2\)。司机看到前方障碍物到踩下刹车有 \(1\) 秒反应时间。问：为了安全，汽车在行驶时至少应离前方障碍物多少米？（提示：先配方求 \(s\) 的最大值）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \((x+1)^2=4\)， \(x_1=1, x_2=-3\)
2. \((x-5)^2=4\)， \(x_1=7, x_2=3\)
3. \((x+4)^2=1\)， \(x_1=-3, x_2=-5\)
4. \((x-\frac{5}{2})^2=\frac{1}{4}\)， \(x_1=3, x_2=2\)
5. \((x+\frac{3}{2})^2=\frac{49}{4}\)， \(x_1=2, x_2=-5\)
6. \((x+6)^2 - 16\)
7. \((x-3)^2 - 8\)
8. \(k=16\) （美容针：\((\frac{-8}{2})^2=16\)）
9. \(p=\pm12\) （完全平方式为 \((x\pm6)^2\)）
10. 配方得 \((x-2)^2+3\)，∵ \((x-2)^2 \ge 0\)，∴ \((x-2)^2+3 \ge 3 > 0\)，恒为正。

第二关：中考挑战

1. 先除2：\(x^2-3x-4=0\)，配方：\((x-\frac{3}{2})^2=\frac{25}{4}\)， \(x_1=4, x_2=-1\)。
2. 先除-3：\(x^2-4x+3=0\)，配方：\((x-2)^2=1\)， \(x_1=3, x_2=1\)。
3. \(y = -(x^2-4x) +1 = -[(x-2)^2-4]+1 = -(x-2)^2+5\)，顶点 \((2, 5)\)。
4. 对 \(x\) 配方：\((x^2+4x+4)\)，对 \(y\) 配方：\((y^2-6y+9)\)，原式=\((x+2)^2+(y-3)^2=0\)， ∴ \(x=-2, y=3\)， \(x^y=(-2)^3=-8\)。
5. \(2(x^2-4x)+9 = 2[(x-2)^2-4]+9 = 2(x-2)^2+1\)，最小值是 \(1\)（当 \(x=2\) 时）。
6. \(M-N = (2a^2-4a+7) - (a^2-2a+5) = a^2-2a+2 = (a-1)^2+1 \ge 1 > 0\)，∴ \(M > N\)。
7. 设两直角边为 \(x\) 和 \(10-x\)，面积 \(\frac{1}{2}x(10-x)=9\)，得 \(x^2-10x+18=0\)。配方：\((x-5)^2=7\)，斜边 \(l = \sqrt{x^2+(10-x)^2} = \sqrt{2x^2-20x+100}\)，将 \(x^2-10x=-18\) 代入得 \(l = \sqrt{2(x^2-10x)+100} = \sqrt{2\times(-18)+100} = \sqrt{64} = 8\)。
8. 左边已是完全平方式：\((x-m)^2 - n^2 = 0\)，即 \((x-m)^2 = n^2\)， ∴ \(x-m = \pm n\)， \(x = m \pm n\)。
9. 等式两边乘以2：\(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)，分组配方：\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)， ∴ \(a=b=c\)，为等边三角形。
10. \(y=(x-1)^2-4\)。①开口向上；②对称轴 \(x=1\)；③顶点 \((1, -4)\)；④令 \(y=0\)， \((x-1)^2=4\)，解得 \(x_1=3, x_2=-1\)，交点 \((3,0), (-1,0)\)。

第三关：生活应用

1. \(S = x(20-x) = -x^2+20x = -(x^2-20x) = -[(x-10)^2-100] = -(x-10)^2+100\)。当长 \(x=10\) 米时，面积最大为 \(100\) 平方米，此时宽也为 \(10\) 米（正方形）。
2. \(h = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x) + 2 = -\frac{1}{20}[(x-10)^2-100] + 2 = -\frac{1}{20}(x-10)^2 + 5 + 2 = -\frac{1}{20}(x-10)^2 + 7\)。最高高度为 \(7\) 米。
3. \(y = (x-40)(200-2x) = -2x^2+280x-8000 = -2(x^2-140x)-8000 = -2[(x-70)^2-4900]-8000 = -2(x-70)^2+1800\)。当售价 \(x=70\) 元时，最大利润为 \(1800\) 元。
4. 由题意，顶点 \((0,4)\)，设 \(y=ax^2+4\)。过点 \((10,0)\)，代入得 \(0=100a+4\)， \(a=-\frac{1}{25}\)。解析式为 \(y=-\frac{1}{25}x^2+4\)。配方验证：已是顶点式。
5. 刹车距离 \(s = -2t^2+20t = -2(t^2-10t) = -2[(t-5)^2-25] = -2(t-5)^2+50\)。刹车后最大滑行距离为 \(50\) 米，加上反应时间 \(1\) 秒内行驶的 \(20\times1=20\) 米，安全距离至少为 \(70\) 米。