配方法：二次方程人工凑整技巧与深度解析专项练习题库
适用年级
初一
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：配方法 原理
- 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们要玩一个数学界的“手工活”——人工凑整。想象一下，你有一个歪七扭八的二次式子，就像一堆散乱的积木。我们的目标，就是把它拼成一个完美的正方形（完全平方式）。怎么拼呢？听我指挥：首先，把那个碍手碍脚的“常数项”移走，让它靠边站。然后，最关键的一步来了——在式子的“心脏”部位，两边同时加上“一次项系数一半的平方”这枚神奇的“补丁”。这样一来，我们就能强行把原来的式子“凑”成一个整整齐齐的完全平方式啦！这个过程，就叫“配方”。
- 计算秘籍：
- 移常数：把方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 中的常数项 \( c \) 移到等号右边，得到 \( ax^2 + bx = -c \)。
- 化首一：如果 \( a \neq 1 \)，两边同除以 \( a \)，使二次项系数化为1：\( x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \)。
- 配平方（核心）：关注一次项系数 \( \frac{b}{a} \)，取它的一半 \( \frac{b}{2a} \)，再平方得到 \( \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \)。在方程两边同时加上这个数：\( x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \)。
- 写平方：左边就变成了一个完全平方式：\( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \)。
- 解方程：两边开平方，求解 \( x \)。
- 阿星口诀：“常数搬家靠边站，半方补心最关键。左边凑成平方和，开方求解立马现！”
📐 图形解析
为什么加上“一半的平方”？我们从一个几何图形来看。考虑式子 \( x^2 + px \)。它可以看作是一个边长为 \( x \) 的正方形（面积 \( x^2 \)）和一个长为 \( x \)、宽为 \( p \) 的长方形（面积 \( px \)）的组合。我们的目标是把它补成一个更大的正方形。
从图上可以看出，大正方形的边长应该是 \( x + \frac{p}{2} \)，其面积为 \( (x + \frac{p}{2})^2 \)。展开后是 \( x^2 + px + (\frac{p}{2})^2 \)。对比我们已有的 \( x^2 + px \)，恰恰缺少了那个角上的小正方形，其面积正是 \( (\frac{p}{2})^2 \)。 所以，“配方”就是几何上的“补角”操作，让图形变得完整！
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：只在等式一边加“一半的平方”。如解 \( x^2+6x=5 \)，错误写成 \( x^2+6x+9=5 \)。
✅ 正解：等式两边必须同时进行相同操作以保持平衡。正确应为 \( x^2+6x+9=5+9 \)，即 \( (x+3)^2=14 \)。 - ❌ 错误2：配方完成后，开方求解时忘记“正负号”。如由 \( (x-2)^2=9 \) 直接得 \( x-2=3 \)。
✅ 正解：一个正数的平方根有两个。正确应为 \( x-2=\pm\sqrt{9} \)，即 \( x-2=3 \) 或 \( x-2=-3 \)，解得 \( x_1=5, x_2=-1 \)。
🔥 三例题精讲
例题1：基础配方 解方程：\( x^2 + 6x + 5 = 0 \)
📌 解析：
- 移常数（靠边站）： \( x^2 + 6x = -5 \)。
- 配平方（补心脏）：一次项系数是 \( 6 \)，一半是 \( 3 \)，平方是 \( 9 \)。两边同时加上 \( 9 \)：\( x^2 + 6x + 9 = -5 + 9 \)。
- 写平方： \( (x + 3)^2 = 4 \)。
- 开方求解： \( x + 3 = \pm 2 \)。
当 \( x + 3 = 2 \) 时，\( x_1 = -1 \)。
当 \( x + 3 = -2 \) 时，\( x_2 = -5 \)。
✅ 总结：严格遵循“移、配、写、解”四步法，核心是找到并加上那个关键的“一半的平方”（\( 3^2=9 \)）。
例题2：二次项系数不为1 解方程：\( 2x^2 - 8x - 10 = 0 \)
📌 解析：
- 化首一：两边同除以 \( 2 \)：\( x^2 - 4x - 5 = 0 \)。
- 移常数： \( x^2 - 4x = 5 \)。
- 配平方：一次项系数是 \( -4 \)，一半是 \( -2 \)，平方是 \( 4 \)。两边同加 \( 4 \)：\( x^2 - 4x + 4 = 5 + 4 \)。
- 写平方： \( (x - 2)^2 = 9 \)。
- 开方求解： \( x - 2 = \pm 3 \)，解得 \( x_1 = 5, x_2 = -1 \)。
✅ 总结：当二次项系数不是1时，必须先“化首一”，让 \( x^2 \) 前面的系数变成1，然后再进行标准的配方操作。
例题3：几何应用——最大面积 用一根长 \( 20 \) 米的绳子围一个矩形菜地，一面靠墙。如何围才能使菜地面积最大？最大面积是多少？
📌 解析：
- 设垂直于墙的边（宽）为 \( x \) 米，则平行于墙的边（长）为 \( (20 - 2x) \) 米。
- 面积 \( S = x(20 - 2x) = -2x^2 + 20x \)。这是一个二次函数，求最大值。
- 利用配方法将表达式化为顶点式：
\( S = -2x^2 + 20x \)
\( = -2(x^2 - 10x) \) （先提取二次项系数-2）
\( = -2[x^2 - 10x + (-5)^2 - (-5)^2] \) （内部配方：加一次项系数一半的平方，再减掉）
\( = -2[(x - 5)^2 - 25] \)
\( = -2(x - 5)^2 + 50 \)。 - 因为 \( -2 < 0 \)，所以当 \( x = 5 \) 时，面积 \( S \) 取得最大值 \( 50 \)。此时长为 \( 20 - 2\times5 = 10 \) 米。
✅ 总结：在几何最值问题中，配方法能将二次函数化为 \( a(x-h)^2 + k \) 的形式，直接读出顶点坐标 \( (h, k) \)，其中 \( k \) 就是最值。这比单纯解方程更进一步！
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 用配方法解方程：\( x^2 + 4x - 5 = 0 \)
- 用配方法解方程：\( x^2 - 10x + 21 = 0 \)
- 用配方法解方程：\( x^2 + 8x = 9 \)
- 用配方法解方程：\( t^2 - 3t - 10 = 0 \)
- 将 \( x^2 + 12x \) 配上常数项，使其成为完全平方式。
- 将 \( y^2 - 7y \) 配上常数项，使其成为完全平方式。
- 用配方法解方程：\( x^2 + x - 1 = 0 \)（注意分数）
- 用配方法解方程：\( 3x^2 - 6x = 0 \)（先考虑一下）
- 一个数的平方比这个数的3倍大4，求这个数。（列方程并用配方法解）
- 把二次式 \( x^2 - 5x + 8 \) 通过配方写成 \( (x-p)^2 + q \) 的形式。
第二关：中考挑战（10道）
- 用配方法解方程：\( 2x^2 - 4x - 1 = 0 \)
- 用配方法解方程：\( -x^2 + 6x - 7 = 0 \)
- 证明：对于任意实数 \( x \)，代数式 \( 2x^2 - 8x + 13 \) 的值总是正数。（提示：配方）
- 已知 \( x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0 \)，求 \( x^y \) 的值。（提示：对 \( x \) 和 \( y \) 分别配方）
- 用配方法求二次函数 \( y = \frac{1}{2}x^2 - 2x - 5 \) 的顶点坐标。
- 三角形两边长分别为 \( 3 \) 和 \( 6 \)，第三边的长是方程 \( x^2 - 6x + 8 = 0 \) 的解，求这个三角形的周长。（先用配方法解方程）
- 用配方法解关于 \( x \) 的方程：\( x^2 + 2px + p^2 - q^2 = 0 \)（\( p, q \) 为常数）。
- 若 \( n > 0 \)，且对于所有的实数 \( x \)，等式 \( 9x^2 + mx + 16 = (3x+n)^2 \) 恒成立，求 \( m \) 的值。
- 当 \( x \) 为何值时，代数式 \( -3x^2 + 12x - 15 \) 有最大值？最大值是多少？
- （综合）已知关于 \( x \) 的一元二次方程 \( (m-1)x^2 + 2x + 1 = 0 \) 有实数根，求整数 \( m \) 的最大值。
第三关：生活应用（5道）
- 【花园设计】王叔叔想用篱笆在屋后围一个矩形小花园，房子的一面墙作为花园的一边。他现有 \( 30 \) 米长的篱笆。要使花园的面积最大，长和宽应各设计为多少米？最大面积是多少？
- 【纸盒容积】从一块边长为 \( 20 \) cm的正方形铁皮的四个角各剪去一个相同的小正方形，然后折成一个无盖的盒子。要使盒子的容积最大，剪去的小正方形边长应为多少？
- 【抛物线拱桥】某拱桥的桥洞呈抛物线形，桥洞离水面的最大高度为 \( 4 \) 米，跨度为 \( 12 \) 米。以水面为x轴，抛物线对称轴为y轴建立坐标系。求这条抛物线的解析式。（提示：设解析式为 \( y=ax^2+c \)，利用顶点和交点坐标，可能需要配方形式）
- 【利润预测】某商店销售一种商品，每件进价 \( 40 \) 元。经调查发现，若每件售价 \( 50 \) 元，每天能卖 \( 500 \) 件；售价每涨 \( 1 \) 元，每天少卖 \( 10 \) 件。设售价为 \( x \) 元，每天总利润为 \( y \) 元。求 \( y \) 关于 \( x \) 的函数关系式，并用配方法求出为获得最大利润，售价应定为多少元。
- 【安全距离】在紧急刹车的情况下，汽车从开始刹车到停下的距离 \( s \)（米）与刹车时的车速 \( v \)（千米/时）近似满足关系 \( s = 0.01v^2 + 0.1v \)。某路段限速 \( 60 \) 千米/时，一次事故中，测得刹车距离为 \( 20 \) 米。请用配方法解对应的方程，判断事故车是否超速。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：配方法 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点通常有三：1. 步骤抽象：“加一半的平方”这一步缺乏直观理解，容易忘记或不知其所以然。这就是为什么我们用“人工凑整”和几何图形来建立形象思维。2. 分数运算：当一次项系数为奇数或分数时，计算“一半的平方”容易出现算术错误，如 \( (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4} \)。3. 逻辑链条长：从移项、化系数、配方到开方、求解，步骤多，一步错则步步错。解决之道是理解几何本质，并严格按照“口诀”和步骤进行练习，形成肌肉记忆。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：配方法是初中数学的核心工具，是通向高级数学的桥梁，其重要性远超解一元二次方程本身。1. 二次函数：它是将一般式 \( y=ax^2+bx+c \) 化为顶点式 \( y=a(x-h)^2+k \) 的唯一方法，从而直接得到函数图像（抛物线）的顶点、对称轴和最值，这是高中函数分析的基础。2. 圆锥曲线：在解析几何中，对圆的方程 \( x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \) 进行配方，可以快速确定圆心和半径。3. 不等式与最值：如例题3所示，它是解决许多优化（求最大最小值）问题的利器。4. 微积分预备：配方在完成平方和、化简复杂表达式方面有不可替代的作用，为后续学习导数等概念做铺垫。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：有！对于任何一元二次方程 \( ax^2+bx+c=0 \) (\( a \neq 0 \))，配方法的终极“套路”可以总结为一个万能公式——是的，就是求根公式！而求根公式正是通过配方法推导出来的：
\( ax^2+bx+c=0 \rightarrow x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \rightarrow x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2 -\frac{c}{a} \)
\( \rightarrow (x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \rightarrow x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)。
所以，熟练掌握配方法，不仅能让你直接解题，更能让你理解公式的源头。在无法直接套公式（如含参方程或需要推导时），配方法就是你的“万能钥匙”。记住核心动作：“制造一个 \( (x+\frac{b}{2a})^2 \)”。
答案与解析
第一关：基础热身
1. \( (x+2)^2=9 \)，解得 \( x_1=1, x_2=-5 \)。
2. \( (x-5)^2=4 \)，解得 \( x_1=7, x_2=3 \)。
3. \( (x+4)^2=25 \)，解得 \( x_1=1, x_2=-9 \)。
4. \( (t-\frac{3}{2})^2=\frac{49}{4} \)，解得 \( t_1=5, t_2=-2 \)。
5. 加 \( 36 \)，得 \( (x+6)^2 \)。
6. 加 \( \frac{49}{4} \)，得 \( (y-\frac{7}{2})^2 \)。
7. \( (x+\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4} \)，解得 \( x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \)。
8. 先提公因式 \( 3x(x-2)=0 \) 更简单，若配方：\( 3(x-1)^2=3 \)，解得 \( x_1=0, x_2=2 \)。
9. 设数为 \( x \)，得 \( x^2=3x+4 \)，配方 \( (x-\frac{3}{2})^2=\frac{25}{4} \)，解得 \( x_1=4, x_2=-1 \)。
10. \( (x-\frac{5}{2})^2 + \frac{7}{4} \)。
第二关：中考挑战
1. \( (x-1)^2=\frac{3}{2} \)，解得 \( x=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2} \)。
2. \( -(x-3)^2=-2 \)，即 \( (x-3)^2=2 \)，解得 \( x=3\pm\sqrt{2} \)。
3. \( 2(x-2)^2+5 \geq 5 > 0 \)，得证。
4. \( (x+2)^2+(y-3)^2=0 \)，∴ \( x=-2, y=3 \)，\( x^y=(-2)^3=-8 \)。
5. \( y=\frac{1}{2}(x-2)^2-7 \)，顶点为 \( (2, -7) \)。
6. 解方程得 \( x_1=2, x_2=4 \)。根据三角形三边关系（两边之和大于第三边），\( 3,6,2 \) 不能组成三角形，\( 3,6,4 \) 可以。周长为 \( 13 \)。
7. 方程已是 \( (x+p)^2 - q^2 = 0 \)，即 \( (x+p+q)(x+p-q)=0 \)，解得 \( x_1=-p-q, x_2=-p+q \)。
8. 右边展开 \( 9x^2+6nx+n^2 \)，对比得 \( m=6n \) 且 \( n^2=16 \)。∵ \( n>0 \)，∴ \( n=4, m=24 \)。
9. \( -3(x-2)^2-3 \)，当 \( x=2 \) 时，有最大值 \( -3 \)。
10. 当 \( m=1 \) 时，方程为 \( 2x+1=0 \)，有实根，符合。当 \( m\neq1 \) 时，需判别式 \( \Delta=4-4(m-1)\geq0 \)，解得 \( m\leq2 \)。取整数 \( m \) 最大为 \( 2 \)。综合得整数 \( m \) 最大值为 \( 2 \)。
第三关：生活应用
1. 设宽为 \( x \) 米，则长为 \( (30-2x) \) 米，面积 \( S=x(30-2x)=-2x^2+30x=-2(x-7.5)^2+112.5 \)。当宽 \( x=7.5 \) 米，长 \( 15 \) 米时，最大面积 \( 112.5 \) 平方米。
2. 设剪去边长为 \( x \) cm，则盒底边长 \( (20-2x) \) cm，高 \( x \) cm，容积 \( V=x(20-2x)^2 \)。求最大值可通过配方或导数，初中通常考察列式或代入数值分析。对称轴在 \( x=\frac{10}{3} \approx 3.33 \) cm时容积可能最大。
3. 由题意，顶点为 \( (0,4) \)，过点 \( (6,0) \)。设 \( y=ax^2+4 \)，代入 \( (6,0) \) 得 \( a=-\frac{1}{9} \)。∴ 解析式为 \( y=-\frac{1}{9}x^2+4 \)。
4. 销售量：\( 500-10(x-50)=1000-10x \)。利润：\( y=(x-40)(1000-10x)=-10x^2+1400x-40000=-10(x-70)^2+9000 \)。当售价 \( x=70 \) 元时，最大利润 \( 9000 \) 元。
5. 解方程 \( 0.01v^2+0.1v=20 \)，即 \( v^2+10v-2000=0 \)。配方：\( (v+5)^2=2025 \)，\( v+5=\pm45 \)（舍负），得 \( v=40 \)。事故车车速 \( 40 \) 千米/时，未超速。
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