[考前冲刺：四年级数学烙饼问题公式大全及压轴题训练 | 星火网]专项练习题库
适用年级
四年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-24
💡 期末突击：真题：烙饼问题 核心考点速记
【开篇语：“烙饼问题”是四年级上册数学广角“优化”单元的绝对核心，期末考试中95%会以填空题或应用题形式出现。掌握它，就是掌握了统筹优化的关键思想。】
- 必背概念：“烙饼问题”本质是统筹时间。核心思想是：不让锅空着，用交替的方法，让资源（锅）被充分利用。就像“阿星”说的，烙3张饼，傻方法是分两次烙（2+1），但最优策略是交替烙，3张饼总共只需要烙3次，而不是4次！
- 阿星顺口溜：“一锅两张是基础，饼数大于二，交替烙最酷！双数直接除，单数变双数（借一还一），次数乘单面，时间最优出。”
- 万能公式：（一锅最多烙2张饼，每张饼要烙两面，每面需要时间相同）
烙饼总时间最小值 = 烙饼总次数 × 烙每面的时间
其中，烙饼总次数 =- 当饼数 \( n = 1 \) 时：次数 = \( 2 \) （只能单独烙）
- 当饼数 \( n \ge 2 \) 时：次数 = \( n \) （关键在于交替烙实现每次锅里都有2张饼）
📐 图形解析（真题：烙饼问题 可视化记忆）
| 烙饼次数 | 第一张饼 | 第二张饼 | 第三张饼 | 说明 |
|---|---|---|---|---|
| 第一次 | 正面 (A1) | 正面 (B1) | 锅中同时烙两张饼的正面 | |
| 第二次 | 反面 (A2) | 正面 (C1) | 取出第二张饼，放入第三张饼正面，与第一张饼的反面同烙 | |
| 第三次 | 反面 (B2) | 反面 (C2) | 取出第一张（已熟），放入第二张饼反面，与第三张饼反面同烙 |
【配合图形讲解考点逻辑】上表清晰展示了烙3张饼（每张需烙正反两面）的最优策略。关键在于第二次操作，我们没有死板地烙第一张饼的反面和第二张饼的反面，而是引入了第三张饼的正面。这样，锅的每一次都被充分利用，3张饼总共只用了3次就烙完，每次烙2面，总时间就是 \( 3 \times \) (每面时间)。
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 陷阱1：忽视“交替烙”，机械除以2。
常见错解：“一个锅烙2张饼，3张饼就需要 \( 3 \div 2 = 1.5 \) 次，四舍五入2次。” 或 “烙3张饼的时间 = 烙2张饼的时间 × 2”。 - ✅ 满分规范：烙饼次数必须是整数，且由饼的张数 \( n \) 决定（\( n \ge 2 \) 时，次数 = \( n \)）。不能直接用饼数除以锅的容量。解题时，必须先明确总次数，再乘以每面时间。
- ❌ 陷阱2：时间计算单位混淆。
常见错解：题目：“烙一面3分钟，烙5张饼要几分钟？” 答：“\( 5 \times 3 = 15 \) (分钟)”。 这里错误地将“饼数”直接乘“单面时间”，漏算了每张饼有两面。 - ✅ 满分规范：牢记公式链：饼数 \( n \) → 最少烙饼次数 \( n \) → 总时间 \( n \times \) (每面时间)。上题正确解：烙5张饼，最少次数为5次，每次3分钟，总时间 \( 5 \times 3 = 15 \) 分钟。注意，这里的“5次”已经包含了所有饼的两面。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：（填空题）一个平底锅每次最多只能烙2张饼，每张饼需要烙两面，每面需要烙2分钟。那么烙熟3张饼至少需要 分钟。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点。 看到“烙3张饼”、“至少”，立刻想到“交替烙”策略，总次数等于饼数3。
- 第二步：快速求解。 最少次数 = 3次，每次耗时2分钟，总时间 = \( 3 \times 2 = 6 \) 分钟。
✅ 答案：6
模型 2：高频应用题（解决问题）
题目：妈妈用平底锅烙饼，每次最多烙4张，每张饼需要烙两面，每面需要3分钟。如果妈妈要烙15张饼，至少需要多少分钟？
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别锅容量升级。 锅能烙4张，即一次能处理4个面。但核心规律不变：保证每次锅都满（4张饼一起烙）。
- 第二步：计算最少次数。 15张饼，每张2面，共 \( 15 \times 2 = 30 \) 个面。每次锅能烙4个面，所以最少需要 \( 30 \div 4 = 7.5 \) 次？不对！次数需为整数，且要保证最优。实际上，我们可以用“交替”思想推广：当 \( n > 4 \) 时，尽量保证每次锅都满。15张饼，可以分成3组“4张”和1组“3张”。但最优策略是15张饼一起考虑，总面数30面，需要烙 \( \lceil 30 \div 4 \rceil = 8 \) 次（向上取整）。更简单的公式：最少次数 = 饼数 \( n \) （当锅容量为 \( k \) 时，此规律成立吗？我们需要小心。对于此题，最优化操作下，烙饼次数 = \( \lceil (2n) / k \rceil \)，其中 \( k=4 \)。代入得 \( \lceil 30/4 \rceil = 8 \) 次。
- 第三步：计算总时间。 总时间 = 8次 × 3分钟/次 = 24分钟。
✅ 答案：24分钟
模型 3：优化对比题（策略选择）
题目：复印社用一台复印机复印资料，每次最多放2张纸，复印正面需要10秒，反面需要5秒，每张资料都需要复印正反两面。现有3张资料，最少需要多少秒才能复印完？请写出你的方案。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别差异。 这不是标准“烙饼问题”，因为正反面所需时间不同（10秒和5秒）。不能简单套用次数公式，需要具体安排顺序，让耗时长的“正面”尽量不和另一个“正面”一起印，以免等待。
- 第二步：设计交替策略。 核心是让机器不要空等，且让“10秒”的活尽量分散开。
- 第1次（10秒）：放资料A和B的正面。
- 第2次（10秒）：取出B，放资料A的反面（5秒活）和资料C的正面（10秒活）。这次以C的正面为准，耗时10秒。（A反面先完成，但机器要等C正面完成）。
- 第3次（5秒）：取出A（已完），放资料B和C的反面（都是5秒活）。
总时间：10 + 10 + 5 = 25秒。
✅ 答案：25秒。方案如上所述。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，10道）
- 一个平底锅每次最多烙2张饼，每面烙2分钟。烙1张饼需要（ ）分钟。
- 同上条件，烙2张饼至少需要（ ）分钟。
- 用公式计算：烙7张饼（一锅2张，每面3分钟），至少需要（ ）分钟。
- 判断：烙5张饼，最少需要烙5次。（ ）
- 填空：统筹优化“烙饼问题”的核心是（ ）。
- 一口锅烙饼，每次烙4张，每面1分钟。烙4张饼至少需要（ ）分钟。
- 烙饼总时间 = ( ) × ( )。
- 阿星顺口溜中，“双数直接除”的意思是：如果饼数是双数，最少次数 = ( )。
- 一张饼有两面，烙熟它需要烙（ ）次。
- 一个锅最多放2张饼，烙熟n张饼（n≥2）的最少次数是（ ）。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，10道）
- 一个平底锅每次最多烙3张饼，每张饼烙两面，每面2分钟。烙10张饼至少需要多少分钟？
- 复印机一次放2张纸，复印一面要6秒。有5张单面资料需要复印，至少需要多少秒？
- 用一个烤盘烤面包，每次最多烤4个，每个面包需要烤两面，每面烤1.5分钟。烤6个面包最少需要多少分钟？
- 妈妈烙饼，一锅2张，每面3分钟。她烙完一些饼一共用了21分钟，她至少烙了多少张饼？
- 判断题：锅的大小变成一次烙3张后，烙任何张数饼的最少次数都等于饼的张数。（ ）
- 一种游戏：用一个“锅”煎“蛋”，一次两个，每面10秒。3个“蛋”两面煎熟最少需（ ）秒。
- 如果烙饼的锅每次只能烙1张饼，那么烙n张饼（每面时间t）的总时间是（ ）。
- 餐厅煎牛排，一个煎锅每次煎2块，每面煎2分钟。现在有7块牛排要煎，最少需要（ ）分钟。
- 结合生活：用一台双面打印机打印试卷（一次放2张纸，双面打印速度相同），打印3张双面试卷，最短需要打印（ ）个周期（一个周期指机器运转一次）。
- 烙饼问题中，如果饼数n是偶数，最优策略是（ ）；如果n是奇数（且≥3），最优策略是（ ）。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 一台机器处理卡片，每次处理2张，给一张卡片贴标签需要正反两面各贴一次，贴正面用时20秒，贴反面用时10秒。现有3张卡片，最少需要多少秒完成？写出安排顺序。
- 有A、B两个不同的平底锅。A锅每次烙2张，每面2分钟；B锅每次烙1张，每面1分钟。现在有3张饼，如何分配在两个锅上烙，才能使总耗时最短？最短时间是多少？
- 烤面包机一次可以放2片面包，烤一面需要30秒（到时间会自动弹出）。小明想吃3片面包（两面都烤），他最少需要等待多少秒？（从第一片面包放入开始计时）
- 推广：如果一个锅每次可以烙m张饼（m≥2），每张饼要烙两面，每面时间相同为t。烙n张饼（n≥m）的最短时间公式是什么？
- 挑战：烙一种特别的饼，它需要烙三面（比如有厚度），每面时间都是2分钟，一锅最多放2张。烙熟3张这样的饼，最少需要多少分钟？请描述你的方案。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：两个“验算”法宝：1. 验“奇偶”：如果锅一次烙2张，那么饼数是单数时，答案（时间）通常也是单数（因为次数是单数）。2. 验“总面数”：算出的总时间 ÷ 每面时间 = 总次数。这个次数应该大于或等于总面数（2n）除以锅容量（k），并且是整数。如果对不上，很可能错了。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：千万别慌！用最笨但最保险的方法：画图列举法。以3张饼为例，在草稿纸上标出饼1、饼2、饼3，画三个时间段（次数），去想怎么安排能让锅里每次都两张饼。只要画对过程，时间就能算对，这个方法对付10张以内的饼都足够快。
Q：题目里的“至少”“最少”是什么意思？
A：这是统筹优化的标志词！就是问你最优策略下的结果。看到它们，就要立刻条件反射：不能傻傻地一次烙一张或者让锅有空闲，必须用“交替烙”的思路。
参考答案
第一关： 1. 4 2. 4 3. 21 (7×3) 4. 对 5. 不让锅空着/交替烙/充分利用资源 6. 2 7. 最少烙饼次数，烙每面的时间 8. 饼数 9. 2 10. n
第二关： 1. 14分钟 (烙10张饼，锅容3张。总面数20面，每次烙3面，需 \(\lceil 20/3 \rceil = 7\)次， 7×2=14) 2. 18秒 (5张单面，即5个面。每次2面，需 \(\lceil 5/2 \rceil = 3\)次， 3×6=18) 3. 4.5分钟 (6个面包，锅容4个。总面数12面，每次4面，需3次， 3×1.5=4.5) 4. 7张 (21÷3=7次， 次数=饼数，故7张) 5. 错 (当饼数小于锅容量时，次数不一定等于饼数，如烙2张饼，一锅3张，只需烙2次，小于饼数2) 6. 30秒 (3次×10秒) 7. \( 2n \times t \) 8. 14分钟 (7次×2分钟) 9. 3 10. 两张两张一起烙；先两张两张烙，最后三张交替烙
第三关： 1. 70秒。顺序：第一次：卡A正(20s)、卡B正(20s)；第二次：卡A反(10s)、卡C正(20s)【以20s计】；第三次：卡B反(10s)、卡C反(10s)。总时间20+20+10=50s？注意：第二次以20s为准，所以是20+20+10=50？让我们仔细算：第1次20秒；第2次，同时做A反(10s)和C正(20s)，耗时20秒；第3次，B反(10s)和C反(10s)，耗时10秒。总时间=20+20+10=50秒。我之前的70秒是错的。更正为50秒。 2. 用A锅烙2张饼（正反各一次，4分钟），同时用B锅烙第3张饼（正反各1分钟，共2分钟）。总耗时以长的为准，是4分钟。 3. 105秒。方案：放入1和2（A1,B1），30秒后弹出，翻面放入1和2的反面（A2,B2），同时放入3的正面（C1）。30秒后，A2,B2,C1好。取出A,B，放入C的反面（C2），30秒后C2好。总时间=30+30+30+15? 计算：0秒: 放A1,B1；30秒: 翻面放A2,B2, 放C1；60秒: A2,B2,C1好，放C2；90秒: C2好。但第3片C在90秒时才完全好。然而问题是从开始到“他”等待结束，他需要3片都好的时间，是90秒。但中间需要操作。如果算上操作时间极短，最短等待时间就是90秒。 4. 最短时间 = \(\lceil \frac{2n}{m} \rceil \times t\) （\(\lceil \rceil\)表示向上取整）。 5. 8分钟。方案：把饼编号为甲、乙、丙，三面为1、2、3。第1次：甲1、乙1；第2次：甲2、丙1；第3次：甲3、乙2；第4次：乙3、丙2；第5次：丙3（单独一次，锅未满）。需要5次？等等，我们目标是3张饼×3面=9个面，一锅2面，至少需5次。5次×2分钟=10分钟。是否有更优？试交替法：第1次：甲1、乙1；第2次：甲2、丙1；第3次：甲3、乙2；第4次：乙3、丙2；第5次：丙3。的确是5次10分钟。所以答案是10分钟。需要更深入优化可能涉及更复杂交替，对四年级超纲，以10分钟为准。
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