一元二次方程判别式Δ的意义是什么？如何判断根的情况？深度解析与练习题

💡 阿星精讲：Δ的意义 原理

• 核心概念：嗨，同学！我是阿星。今天咱们把 判别式 \( \Delta \)(Delta) 想象成一个神奇的“方程晴雨表”。对于标准一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0 \))，这个晴雨表就是 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。它不预报天气，而是精准预报方程根的“天气状况”：当 \( \Delta > 0 \) 时，方程迎来“大晴天”——有两个不相等的实根；当 \( \Delta = 0 \) 时，是“多云转阴”——有两个相等的实根（一个重根）；当 \( \Delta < 0 \) 时，就“下雨”了——在实数范围内无解（不过别担心，乌云背后是“复数”的彩虹）。记住，\( \Delta \) 的值直接由系数 \( a, b, c \) 决定，所以方程的“根天气”在它出生的那一刻就注定了！
• 计算秘籍：
  1. 第一步：确认标准形式。 确保方程是 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，并明确 \( a, b, c \) 的值，特别注意符号。
  2. 第二步：代入公式。 将 \( a, b, c \) 的值代入判别式公式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。
  3. 第三步：精准计算。 先算 \( b^2 \)，再算 \( 4ac \)，最后做减法。这一步是错误高发区，务必细心。
  4. 第四步：解读结果。 根据计算出的 \( \Delta \) 的符号（正、零、负），判断方程实数根的个数和情况。
• 阿星口诀： 判别式，晴雨表，\( b \)方减\( 4ac \)要记好。大于零，俩实根，方程天空放晴了；等于零，根重合，阴云一朵不嫌多；小于零，无实根，实数世界雨纷纷。

📐 图形解析

从几何角度看，一元二次方程 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像是一条抛物线。方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根，就是这条抛物线与 \( x \) 轴（即 \( y=0 \) 这条直线）交点的横坐标。判别式 \( \Delta \) 的正负，直接决定了抛物线与 \( x \) 轴的交点个数。

如上图所示：红色圆点代表方程的实数根（与x轴的交点）。\( \Delta > 0 \) 时，抛物线与x轴相交于两点；\( \Delta = 0 \) 时，抛物线与x轴相切于一点；\( \Delta < 0 \) 时，抛物线与x轴完全分离。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：忽略 \( a \neq 0 \) 的前提，对 \( 3x+5=0 \) 这样的方程也套用判别式。
  ✅ 正解：判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 仅适用于一元二次方程。使用前必须先确认最高次项系数 \( a \neq 0 \)。
• ❌ 错误2：计算 \( b^2 - 4ac \) 时，将 \( b^2 \) 算成 \( (b \times 2) \)，或将 \( -4ac \) 算成 \( -4 \times a \times c \) 时漏掉负号。
  ✅ 正解：\( b^2 \) 是 \( b \) 乘以 \( b \)。计算 \( -4ac \) 时，先算 \( 4ac \)，再整体取负号。例如：当 \( b = -3 \) 时，\( b^2 = (-3)^2 = 9 \)；当 \( a=2, c=-1 \) 时，\( -4ac = -4 \times 2 \times (-1) = 8 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 不解方程，判断 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 根的情况。
2. 不解方程，判断 \( x^2 - 6x + 9 = 0 \) 根的情况。
3. 不解方程，判断 \( 3x^2 - 2x + 5 = 0 \) 根的情况。
4. 方程 \( 2x^2 - kx + 2 = 0 \) 有两个相等实根，求 \( k \) 值。
5. 若方程 \( x^2 + mx + 4 = 0 \) 无实根，求 \( m \) 的取值范围。
6. 计算方程 \( -x^2 + 4x - 4 = 0 \) 的判别式，并判断根的情况。
7. 已知方程 \( x^2 + bx - 6 = 0 \) 的判别式值为 25，求 \( b \)。
8. 方程 \( (m-1)x^2 + 2x + 1 = 0 \) 有实根，求 \( m \) 的取值范围。(提示：考虑a=0的情况)
9. 一个数的平方比这个数的3倍大4，设这个数为 \( x \)，列出方程并判断其根的情况。
10. 用长度为20cm的绳子围成一个面积为 \( 24 \text{ cm}^2 \) 的矩形，是否可能？请先列出方程，再用判别式判断。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 关于 \( x \) 的一元二次方程 \( x^2 + (2k+1)x + k^2 = 0 \) 有两个不相等的实数根，则 \( k \) 的取值范围是______。
2. 若方程 \( x^2 - 2x - m = 0 \) 没有实数根，则一次函数 \( y = (m+1)x + m - 1 \) 的图像不经过第______象限。
3. 已知关于 \( x \) 的方程 \( kx^2 - 2x - 1 = 0 \) 有实数根，则 \( k \) 的取值范围是______。
4. 若 \( a, b, c \) 是三角形的三边长，且关于 \( x \) 的方程 \( (c-b)x^2 + 2(b-a)x + (a-b) = 0 \) 有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状。
5. 抛物线 \( y = x^2 + bx + c \) 与 \( x \) 轴只有一个交点，且过点 \( A(m, n)， B(m+6, n) \)，则 \( n = \) ______。

第三关：生活应用（5道）

1. 投篮抛物线：篮球出手后的运动轨迹可近似为抛物线。若投篮时球离手的水平距离为0，高度为2米，篮球最高点达到4米（在水平距离4米处），问篮球在不碰到篮筐（视为一个点）的情况下，能否直接空心入网？已知篮筐中心在水平距离5米，高度3米处。请建立抛物线方程，并判断篮筐点是否在抛物线上（即对应方程是否有解）。
2. 利润优化：某商店销售一种商品，每件进价40元。经调查发现，若售价为50元，每天能卖500件；售价每涨1元，每天少卖20件。商店想每天获得8000元利润，这个目标能否实现？请列出方程并用判别式判断。

（提示：设涨价 \( x \) 元，则利润 = (单利 × 销量)，单利=10+x，销量=500-20x）

3. 桥梁设计：某拱桥桥洞的形状呈抛物线形。以水面为x轴，桥洞对称轴为y轴建立坐标系。测得水面宽 \( AB = 20 \) 米，桥洞顶点 \( C \) 距水面 \( CO = 5 \) 米。一艘宽8米，船舱顶部为矩形且高出水面3米的货船，能否安全通过此桥？请通过计算说明。（提示：即判断在距离对称轴4米处，抛物线的高度是否大于3米）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \Delta = 5^2-4\times1\times6=1>0 \)，有两个不等实根。
2. \( \Delta = (-6)^2-4\times1\times9=0 \)，有两个相等实根。
3. \( \Delta = (-2)^2-4\times3\times5=-56<0 \)，无实根。
4. 由 \( \Delta = (-k)^2-4\times2\times2 = k^2-16=0 \)，得 \( k=\pm4 \)。
5. 由 \( \Delta = m^2-16 < 0 \)，得 \( -4 < m < 4 \)。
6. \( \Delta = 4^2-4\times(-1)\times(-4)=0 \)，有两个相等实根。
7. \( \Delta = b^2-4\times1\times(-6)=b^2+24=25 \)，得 \( b^2=1 \)，所以 \( b=\pm1 \)。
8. 分情况：①当 \( m-1=0 \) 即 \( m=1 \) 时，方程为 \( 2x+1=0 \)，有一个实根，符合。②当 \( m \neq 1 \) 时，需 \( \Delta = 4-4(m-1) \geq 0 \)，解得 \( m \leq 2 \)。综上，\( m \leq 2 \)。
9. 方程：\( x^2 = 3x+4 \) 即 \( x^2-3x-4=0 \)。\( \Delta = (-3)^2-4\times1\times(-4)=25>0 \)，有两个不等实根。
10. 设长、宽为 \( a, b \)，则 \( 2(a+b)=20 \)，\( ab=24 \)。联立得 \( a+b=10 \)，\( ab=24 \)，则 \( a, b \) 是方程 \( t^2-10t+24=0 \) 的两根。\( \Delta = (-10)^2-4\times24=4>0 \)，方程有解，故可能。长为6cm，宽为4cm。

第二关：中考挑战

1. \( \Delta = (2k+1)^2-4k^2 = 4k+1 > 0 \)，解得 \( k > -\frac{1}{4} \)。
2. 方程无实根，则 \( \Delta = (-2)^2-4(-m)=4+4m<0 \)，得 \( m < -1 \)。则一次函数中 \( m+1<0 \)，\( m-1<-2<0 \)，故图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
3. 分情况：① \( k=0 \) 时，方程为 \( -2x-1=0 \)，有实根，符合。② \( k \neq 0 \) 时，需 \( \Delta = (-2)^2-4k(-1)=4+4k \geq 0 \)，得 \( k \geq -1 \)。综上，\( k \geq -1 \)。
4. 由 \( \Delta = [2(b-a)]^2 - 4(c-b)(a-b) = 0 \)。化简：\( 4(b-a)^2 - 4(c-b)(a-b)=0 \)。注意到 \( a-b = -(b-a) \)，代入得 \( 4(b-a)^2 + 4(c-b)(b-a)=0 \)。提取公因式 \( 4(b-a) \)：\( 4(b-a)[(b-a)+(c-b)]=0 \)，即 \( 4(b-a)(c-a)=0 \)。所以 \( b=a \) 或 \( c=a \)。因此三角形是等腰三角形。
5. 抛物线与x轴只有一个交点，则 \( \Delta = b^2-4c=0 \)。又抛物线对称轴为 \( x = -\frac{b}{2} \)，且 \( A, B \) 纵坐标相同，故对称轴为 \( x = \frac{m+(m+6)}{2}=m+3 \)。所以 \( -\frac{b}{2}=m+3 \)，得 \( b=-2m-6 \)。将点 \( A(m, n) \) 代入解析式：\( n = m^2 + bm + c = m^2 + (-2m-6)m + c = m^2 -2m^2 -6m + c = -m^2 -6m + c \)。由 \( \Delta=0 \) 得 \( c = \frac{b^2}{4} = \frac{(-2m-6)^2}{4} = (m+3)^2 \)。代入上式：\( n = -m^2 -6m + (m^2+6m+9) = 9 \)。

第三关：生活应用

1. 解析：以出手点为原点(0,2)，设抛物线为 \( y = ax^2 + bx + 2 \)。最高点(4,4)在抛物线上且在顶点，故对称轴 \( x=4 \)，即 \( -\frac{b}{2a}=4 \)，得 \( b=-8a \)。代入顶点坐标：\( 4 = a\times4^2 + (-8a)\times4 + 2 = 16a -32a +2 = -16a+2 \)，解得 \( a = -\frac{1}{8} \)，则 \( b=1 \)。抛物线为 \( y = -\frac{1}{8}x^2 + x + 2 \)。判断篮筐点(5,3)：代入得 \( 3 = -\frac{1}{8}\times25 + 5 + 2 = -\frac{25}{8}+7 = \frac{31}{8}=3.875 \neq 3 \)。篮筐点不在抛物线上。但这是否意味着不进？不一定，因为“空心入网”要求球心经过篮筐中心点，我们建的是球心轨迹模型。实际中，球有一定半径，模型是近似的。但从纯粹数学模型看，此投不会空心入网。
2. 解析：设涨价 \( x \) 元。单件利润：\( (50+x)-40 = 10+x \) 元。销量：\( 500-20x \) 件。总利润方程：\( (10+x)(500-20x)=8000 \)。化简：\( 5000 -200x +500x -20x^2 =8000 \)，即 \( -20x^2+300x-3000=0 \)，两边除以-20：\( x^2 -15x+150=0 \)。计算判别式：\( \Delta = (-15)^2 -4\times1\times150 = 225-600 = -375 < 0 \)。方程无实数解，意味着每天获得8000元利润的目标无法实现。
3. 解析：以水面为x轴，对称轴为y轴，顶点C(0,5)。设抛物线方程为 \( y = ax^2 + 5 \)。由水面宽20米，知点(10,0)在抛物线上，代入得 \( 0 = a\times100 + 5 \)，解得 \( a = -\frac{1}{20} \)。方程为 \( y = -\frac{1}{20}x^2 + 5 \)。货船宽8米，则其边缘距对称轴4米。在此处，抛物线的高度为 \( y = -\frac{1}{20}\times4^2 + 5 = -\frac{16}{20}+5 = 4.2 \) 米。船舱顶高出水面3米。因为 \( 4.2 > 3 \)，所以货船可以安全通过。