中位数怎么求？排序法求中位数核心步骤与易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：排序 原理

• 核心概念：想象一下，有一群高矮不一的同学要排队。我们的目标不是看谁最高或最矮，而是想找到站在“最中间”位置的那位同学的身高。这个“最中间”的身高，在数学里就叫做“中位数”。但要找到真正的C位，阿星提醒我们：“必须先从小到大排列！奇数找中间，偶数找中间俩平均。” 如果不排队，队伍是乱的，你永远找不到正确的中位数。
• 计算秘籍：
  1. 排队（排序）：把所有的数据，像同学们一样，按照从小到大的顺序排好队。记下这个新的序列。
  2. 点名（数个数）：数一数总共有多少个数据，记作 \( n \)。
  3. 找C位（判断奇偶）：
     • 如果 \( n \) 是奇数（比如5个、7个），那么中位数就是排好队后，正中间那一个。它的位置是第 \( \frac{n+1}{2} \) 个。
     • 如果 \( n \) 是偶数（比如4个、6个），那么中位数是排好队后，中间那两个数的平均值。这两个数的位置分别是第 \( \frac{n}{2} \) 个和第 \( \frac{n}{2}+1 \) 个。
• 阿星口诀：数据先排队，矮到高站好。奇数取中间，偶数均分找。

📐 图形解析

我们通过排队图来直观理解中位数的位置。下图展示了两种队伍情况。

奇数个数据的中位数位置： \( M = x_{(\frac{n+1}{2})} \)

偶数个数据的中位数计算： \( M = \frac{ x_{(\frac{n}{2})} + x_{(\frac{n}{2}+1)} }{2} \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：不排序，直接取中间数。例如：数据 \( [3, 1, 2] \)，直接取第二个数 \( 1 \)。
  ✅ 正解：必须先排序！排序后得 \( [1, 2, 3] \)，此时中间数（第二个数）才是正确的中位数 \( 2 \)。
• ❌ 错误2：奇偶不分，位置算错。偶数个时，误以为中位数是第 \( \frac{n}{2} \) 个。
  ✅ 正解：牢记口诀。偶数个时，中位数是第 \( \frac{n}{2} \) 个和第 \( \frac{n}{2}+1 \) 个数据的平均数。例如 \( n=6 \)，中位数是第 \( 3 \) 位和第 \( 4 \) 位数据的平均值。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求数据组 \( [5, 1, 3] \) 的中位数。
2. 求数据组 \( [9, 4, 6, 2] \) 的中位数。
3. 求数据组 \( [12, 15, 11, 14, 13] \) 的中位数。
4. 求数据组 \( [20, 25, 22, 28] \) 的中位数。
5. 求数据组 \( [0, -2, 2, 1, -1] \) 的中位数。
6. 七位同学的年龄（岁）为：\( 13, 14, 13, 15, 14, 16, 12 \)。求年龄的中位数。
7. 已知数据 \( a, b, c \) 的中位数是 \( 5 \)，且 \( a < b < c \)， \( a=3, c=7 \)，求 \( b \)。
8. 一个数据组有5个数，中位数是8。若再加入一个数 \( 10 \)，新数据组的中位数是多少？
9. （几何感知）下图中5个点在同一直线上，其横坐标代表数据，求这些数据的中位数。
   
10. 判断：一组数据的中位数一定在这组数据中。（ ）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题变式）某学习小组7名同学在一学期内阅读课外书的数量如下：\( 8, 6, 5, 7, 9, 10, 8 \)。求阅读量的中位数。
2. 一组数据 \( 2, 4, x, 6, 7 \) 的中位数是5，则 \( x \) 的可能值是______。
3. 已知一组按大小排列的数据：\( a, 4, 6, 8, b \)，其中位数是6，平均数是7，求 \( a \) 和 \( b \)。
4. 若数据 \( 3, a, 10 \) 的中位数等于平均数，则 \( a = \) ______。
5. （结合扇形图）某班40名学生爱心捐款金额的扇形统计图显示，\( 20 \)元、\( 30 \)元、\( 50 \)元、\( 100 \)元人数比为 \( 2:4:3:1 \)。求捐款金额的中位数。
6. 五名工人某天生产同一零件的件数是：\( 15, 17, 14, 16, 20 \)。则这天工人生产零件件数的中位数是______。
7. 一组数据：\( -1, 0, 3, 5, x \) 的中位数是3，则 \( x \) 的取值范围是______。
8. （结合频数分布表）根据下表，求这些学生成绩的中位数。
   

   成绩段	50-59	60-69	70-79	80-89	90-100
   人数	2	5	10	8	5

9. 数据 \( m, 6, n, 1 \) 的中位数是5，平均数是4，求 \( m, n \)。
10. 十个数按从小到大的顺序排列，前四个数的平均数是15，后六个数的平均数是25，则这十个数的中位数是______。

第三关：生活应用（5道）

1. 【家庭用电】小明家过去7个月的用电量（度）为：\( 210, 195, 230, 205, 220, 190, 240 \)。电力公司通常用“中位数”来评估典型用电水平以避免极端值影响。请计算这个中位数。
2. 【运动健康】某跑步俱乐部10名成员完成5公里跑的时间（分钟）为：\( 22, 25, 28, 30, 31, 33, 35, 38, 40, 45 \)。教练想用中位数时间来设定一个“中等水平”的基准线，这个基准线是多少分钟？
3. 【工程造价】某项目7个投标方的报价（万元）为：\( 85, 92, 88, 95, 90, 130, 87 \)。为防止恶意高价或低价竞标，常取报价的中位数作为评审参考。请计算这个参考报价。
4. 【收入统计】某小型部门8名员工的月收入（千元）为：\( 6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 50 \)。（注意：部门经理收入远高于他人）。在描述该部门的“典型收入”时，平均数和中位数哪个更合理？并计算出中位数。
5. 【气象数据】某城市今年1月前10天的最高气温（℃）记录为：\( 3, 5, 2, 4, 6, 3, 7, 1, 4, 5 \)。气象播报中常提到“近期日最高气温的中位数”，请计算这个值。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 排序：\( [1, 3, 5] \)， \( n=3 \)（奇），中位数是第2个，为 \( 3 \)。
2. 排序：\( [2, 4, 6, 9] \)， \( n=4 \)（偶），中位数是第2和第3个的平均值，\( \frac{4+6}{2} = 5 \)。
3. 排序：\( [11, 12, 13, 14, 15] \)， \( n=5 \)（奇），中位数是第3个，为 \( 13 \)。
4. 排序：\( [20, 22, 25, 28] \)， \( n=4 \)（偶），中位数是第2和第3个的平均值，\( \frac{22+25}{2} = 23.5 \)。
5. 排序：\( [-2, -1, 0, 1, 2] \)， \( n=5 \)（奇），中位数是第3个，为 \( 0 \)。
6. 排序：\( [12, 13, 13, 14, 14, 15, 16] \)， \( n=7 \)（奇），中位数是第4个，为 \( 14 \)。
7. 排序后 \( b \) 在中位，已知 \( M=5 \)，故 \( b=5 \)。
8. 原5个数中位数是8，即第三个数是8。加入10后，新序列中8位于第三或第四位（取决于排序），新 \( n=6 \)（偶）。中位数是第三和第四位的平均值。若原序列为 \( [..., 8, ...] \)，加入10后，第三、四位可能是 \( 8 \) 和某个大于8的数或10。信息不足，无法确定唯一值。但常见陷阱是认为中位数变为 \( 9 \)，这是错误的。需具体分析。
9. 数据为 \( [1, 4, 6, 8, 9] \)， \( n=5 \)（奇），中位数是第3个，为 \( 6 \)。
10. 错误。偶数个数据时，中位数是中间两个数的平均值，可能不在原数据中。

第二关：中考挑战

1. 排序：\( [5, 6, 7, 8, 8, 9, 10] \)， \( n=7 \)（奇），中位数是第4个，为 \( 8 \)。
2. 排序后可能序列：\( [2, 4, x, 6, 7] \) 或 \( [2, 4, 6, x, 7] \) 等。中位数5是第三个数，所以 \( x=5 \)。或者 \( 4 \) 和 \( 6 \) 是中间两个数，平均为5，此时 \( x \) 不在中间。故 \( x=5 \) 是确保中位数为5的充要条件。
3. 中位数是6，则第三个数据 \( 6 \)。平均数是7，则 \( \frac{a+4+6+8+b}{5} = 7 \)，得 \( a+b = 17 \)。又 \( a \le 4 \)， \( b \ge 8 \)，且 \( a+b=17 \)，解得 \( a=4, b=13 \) 或 \( a=3, b=14 \) 等，需结合“按大小排列”，若 \( a,4,6,8,b \)，则 \( a \le 4 \)， \( b \ge 8 \)。取一组解：\( a=4, b=13 \)。
4. 平均数 \( = \frac{3+a+10}{3} = \frac{13+a}{3} \)。中位数：若 \( a \le 3 \)，排序为 \( a,3,10 \)，中位数 \( 3 \)，令 \( \frac{13+a}{3}=3 \)，得 \( a=-4 \)；若 \( 3 \le a \le 10 \)，排序为 \( 3,a,10 \)，中位数 \( a \)，令 \( \frac{13+a}{3}=a \)，得 \( a=6.5 \)；若 \( a \ge 10 \)，排序为 \( 3,10,a \)，中位数 \( 10 \)，令 \( \frac{13+a}{3}=10 \)，得 \( a=17 \)。综上，\( a=-4 \) 或 \( 6.5 \) 或 \( 17 \)。
5. 总人数40。按比例计算：\( 20\)元: \( 40 \times \frac{2}{10}=8\)人，\( 30\)元: \( 16\)人，\( 50\)元: \( 12\)人，\( 100\)元: \( 4\)人。累计人数：20元及以下8人，30元及以下24人，50元及以下36人。中位数是第20和21个数据的平均值。第20和21人均在30元组，故中位数是 \( 30 \) 元。
6. 排序：\( [14, 15, 16, 17, 20] \)， \( n=5 \)（奇），中位数是第3个，为 \( 16 \)。
7. 排序后数据为 \( -1, 0, 3, 5, x \)。中位数3是第三个数，所以 \( x \ge 3 \)。
8. 总人数 \( 2+5+10+8+5=30 \)。中位数是第15和16个数据的平均值。累计人数：50-59分:2人，60-69分:7人，70-79分:17人。故第15、16人都在70-79分这一组，中位数约在75分左右（本题需用估算公式，精确值需假设组内均匀分布，通常取组中值74.5作为近似）。答案可表述为：中位数落在70-79分数段。
9. 排序 \( 1, m, n, 6 \)（假设 \( m \le n \)）。中位数5是第二、三个数的平均值，所以 \( \frac{m+n}{2}=5 \)，即 \( m+n=10 \)。平均数 \( \frac{1+m+n+6}{4}=4 \)，即 \( \frac{1+10+6}{4} = \frac{17}{4} \neq 4 \)，矛盾。因此排序可能是 \( 1, 6, m, n \) 或其他。必须排序：四种数，中位数是第二、三的平均。可能情况：① \( m \le n \le 1 \le 6 \) 不可能因 \( 1<6\)。② \( m \le 1 \le n \le 6 \)，则中位数 \( \frac{1+n}{2}=5 \Rightarrow n=9 \)，与 \( n \le 6 \)矛盾。③ \( m \le 1 \le 6 \le n \)，中位数 \( \frac{1+6}{2}=3.5 \neq 5\)。④ \( 1 \le m \le n \le 6 \)，中位数 \( \frac{m+n}{2}=5 \Rightarrow m+n=10 \)，与 \( n \le 6, m \ge 1 \) 得 \( m=4, n=6 \) 或 \( m=5,n=5 \)。平均数：若 \( m=4,n=6 \)，平均= \( \frac{1+4+6+6}{4}=4.25 \neq 4\)；若 \( m=5,n=5 \)，平均= \( \frac{1+5+5+6}{4}=4.25\neq4\)。均不符。考虑 \( m,n \) 可能等于1或6。试 \( m=1,n=9 \)，排序 \( 1,1,6,9 \)，中位数 \( 3.5\)。试 \( m=0,n=10 \)，排序 \( 0,1,6,10 \)，中位数 \( 3.5\)。试 \( m=4,n=6 \) 已试。发现平均数条件难以满足。可能原题数据有特定顺序。本题较复杂，意在训练分类讨论思维。一种可能解：排序后为 \( m, 1, 6, n \) 且 \( m \le 1, n \ge 6 \)，中位数 \( \frac{1+6}{2}=3.5\neq5\)，舍。综上述，在给定条件下可能无解，或需要调整排序假设。常见题型中，通常设定四个数已按大小排列。
10. 设十个数为 \( x_1 \le ... \le x_{10} \)。前四数和 \( = 15 \times 4 = 60 \)，后六数和 \( = 25 \times 6 = 150 \)，总和210。中位数是第五和第六个数的平均值。无法直接求出，但可知第五、六个数是后六个数中最小的两个。信息不足，无法确定具体数值。但若数据分布均匀，可能接近25。本题意在理解中位数与部分平均数的关系。

第三关：生活应用

1. 排序：\( [190, 195, 205, 210, 220, 230, 240] \)， \( n=7 \)（奇），中位数是第4个，为 \( 210 \) 度。
2. 数据已排序：\( n=10 \)（偶），中位数是第5和第6个的平均值，\( \frac{31+33}{2} = 32 \) 分钟。
3. 排序：\( [85, 87, 88, 90, 92, 95, 130] \)， \( n=7 \)（奇），中位数是第4个，为 \( 90 \) 万元。（注意：130是极端高价，平均数约95.3万，中位数90万更能代表主流报价）。
4. 中位数更合理，因为它不受极端高值（50）的影响。排序：\( [6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 50] \)， \( n=8 \)（偶），中位数是第4和第5个的平均值，\( \frac{8+9}{2} = 8.5 \) 千元。平均数约13.75千元，被经理收入拉高，不能反映普通员工收入。
5. 排序：\( [1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7] \)， \( n=10 \)（偶），中位数是第5和第6个的平均值，\( \frac{4+4}{2} = 4 \) ℃。