37%法则与最优停止理论详解：数学思维解决选择困难专项练习题库

💡 阿星精讲：如何用数学思维克服选择困难症 原理

• 核心概念：想象你的人生是一个大型“相亲实验室”，你有 \( n \) 次机会依次遇见可能的选择（比如工作、房子、伴侣）。你的目标是选出最好的那个，但规则残酷：你只能依次见面，见完一个必须立刻决定“就是TA”或者“永不再见”，而且不能吃“回头草”。这时候，数学派来的救星——最优停止理论（也叫“37%法则”）就闪亮登场啦！阿星教你：先当个“冷静的观察员”，在前 \( \lfloor n \times \frac{1}{e} \rfloor \) 个（约前 \( 37\% \)）候选人里，默默观察，建立你的“优秀基准线”。之后，一旦遇到第一个比之前所有“观察员”都更优秀的人，就立刻出手，抓住TA！这个策略不能保证你一定能选到绝对最好的，但能让你以最高概率（约 \( 37\% \)）选到那个“真命天子/女”。
• 计算秘籍：
  1. 确定你的选项总数 \( n \)。
  2. 计算观察期数量：\( k = \lfloor n \times \frac{1}{e} \rfloor \)，其中 \( e \approx 2.71828 \)，\( \frac{1}{e} \approx 0.367879 \)。通常我们近似取 \( 37\% \)。即 \( k = \lfloor n \times 0.37 \rfloor \)。
  3. 淡定地考察前 \( k \) 个选项，只记录最好成绩，但绝不选择。
  4. 从第 \( k+1 \) 个选项开始，认真比较。一旦遇到一个比前 \( k \) 个中最好的那个还要好的选项，立即停止寻找，选择它。
• 阿星口诀：“选项总数为 \( n \)，三七乘 \( n \) 定基准。之后遇到更优者，当机立断就选他！”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把 \( 37\% \) 当作黄金圣旨，在任何选择中都机械套用。 → ✅ 正解：\( 37\% \) 法则适用于选项总数 \( n \) 已知、依次出现、不可回溯、目标是选最优的场景（如租房、招聘）。对于选项可以反复比较或目标并非“最优”的情况（如买牙膏），需灵活调整策略。
• ❌ 错误2：在观察期 (\( k \) 个选项) 内遇到了一个“惊为天人”的选项，忍不住提前做了选择。 → ✅ 正解：牢记观察期的核心任务是建立基准，而非选择。提前选择会严重降低你找到全局最优解的概率。必须克制！

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 你要在 \( 10 \) 家餐厅中选一家最好的吃晚饭，但必须按顺序路过并决定进不进。应用 \( 37\% \) 法则，前几家餐厅只观察不进？
2. 有 \( 25 \) 支不同颜色的笔依次展示给你买，看完一支必须决定买或不买。为了最大概率买到最好看的那支，你的观察期是多少支？
3. 计算 \( n=50 \) 时的最优停止点 \( k \)。
4. 如果 \( n=12 \)，观察期 \( k \) 是多少？从第几个选项开始进入“行动期”？
5. 简述 \( 37\% \) 法则适用的四个前提条件。
6. 如果总选项 \( n=8 \)，使用 \( 37\% \) 法则，你应该放弃前几个选项？
7. 在例题1的租房问题中，如果阿星总共只看 \( 12 \) 套房，他的策略应该如何调整？
8. “观察期”内遇到一个明显非常好的选项，应该怎么办？
9. 为什么这个法则又被称为“最优停止理论”？
10. 常数 \( \frac{1}{e} \) 约等于多少？它是怎么推导出来的？（了解即可）

第二关：奥数挑战（10道）

1. 若选项总数 \( n=100 \)，使用精确值 \( \frac{1}{e} \) 计算最优停止点 \( k \) （保留整数）。
2. 证明：当 \( n \) 趋近于无穷大时，采用此策略选到最佳选项的概率收敛于 \( \frac{1}{e} \)。（提示：利用极限和积分思想）
3. 如果目标不是选“最好”的，而是选“前二好”的，这个 \( 37\% \) 的规则会如何变化？（开放思考题）
4. 设你面对 \( n \) 个选项，但你可以在看到第 \( m \) 个选项后，回头选择之前出现过的某一个。这时的最优策略是什么？（“有回撤权”的秘书问题）
5. 已知在 \( n=20 \) 时，最优策略的成功概率约为 \( 0.384 \)。请问如果随机乱选，成功概率是多少？数学优化带来了多少倍的提升？
6. 若观察期比例取 \( x \) （而非 \( 1/e \)），成功概率函数为 \( P(x) = -x \ln(x) \) （当 \( n \) 很大时）。求 \( P(x) \) 的最大值点。
7. 一个数列有 \( n \) 项，你依次查看，想选到最大值。但你每次判断时会以概率 \( p \) 看错（把大的看成小的，或反之）。此时最优策略如何修正？
8. 将问题扩展到二维：你要依次雇佣一名秘书和一名助理，他们能力独立。如何制定策略以最大概率同时雇佣到两者中各自最好的？（挑战题）
9. 如果选项的质量不是均匀随机分布，而是你知道它服从某种分布（如正态分布）， \( 37\% \) 法则还适用吗？
10. 编程模拟：写一段简单代码，模拟 \( n=100 \) 时，分别采用 \( 37\% \) 法则和随机策略进行 \( 10000 \) 次实验，统计并对比成功率。

第三关：生活应用（5道）

1. AI推荐系统：一个流媒体平台为用户依次推荐电影。用户对电影的满意度是未知的，但看完一部必须评分才能看下一部。平台想设计一个策略，让用户尽可能早地遇到并看完一部他非常喜欢（比如评分9分以上）的电影，从而留住用户。如何借鉴最优停止理论设计推荐算法？
2. 航天器着陆点选择：一颗探测器在降落过程中，会实时扫描下方地形并依次生成 \( 100 \) 个潜在的着陆点评分（安全性）。它必须在有限的下降时间内选定一个并着陆，无法返回之前的位置。如何用数学方法制定着陆点选择策略？
3. 动态定价与购买：你想买一款热门商品，价格每天波动。你计划在未来的 \( 30 \) 天内完成购买，每天只能看到当天的价格并决定买或不买。你的目标是以最低价买入。如何建模并制定购买策略？这与经典秘书问题有何异同？
4. 风险投资：一家风投基金计划在一年内投资 \( 20 \) 个依次接触的创业项目中的1个。每个项目只能在与创始人会谈后立刻决定投或不投。他们如何运用此理论来最大化投中未来“独角兽”的概率？
5. 人际交往：在拓展人脉时，你计划参加 \( 15 \) 场活动，每场活动只能深度结交一个人。你希望最后结交到的是所有潜在人选中“最契合”的伙伴。请设计一个理性的社交策略。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关答案：

1. \( k = \lfloor 10 \times 0.37 \rfloor = 3 \)，前 \( 3 \) 家。
2. \( k = \lfloor 25 \times 0.37 \rfloor = 9 \) 支。
3. \( k = \lfloor 50 / e \rfloor \approx \lfloor 50 \times 0.3679 \rfloor = \lfloor 18.395 \rfloor = 18 \)。
4. \( k = \lfloor 12 \times 0.37 \rfloor = 4 \)，从第 \( 5 \) 个开始。
5. 1.选项总数已知；2.选项依次出现；3.不可回溯选择；4.目标是选出唯一最优者。
6. \( k = \lfloor 8 \times 0.37 \rfloor = 2 \)，放弃前 \( 2 \) 个。
7. \( k = \lfloor 12 \times 0.37 \rfloor = 4 \)，前 \( 4 \) 套观察，第 \( 5 \) 套起行动。
8. 坚决不选，只记录。这是观察期，任务是设定“基准线”。
9. 因为它解决了在何时停止观察、开始行动，才能最大化收益的问题。
10. 约 \( 0.367879 \)。推导涉及求极限 \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=k}^{n-1} \frac{k}{i-1} \) 并最大化，最终化为求 \( -x \ln x \) 的最大值点 \( x=1/e \)。

第二关 & 第三关解析提示： 奥数挑战及生活应用题多为开放性或探究性问题，旨在启发深度思考，不提供唯一标准答案。核心是运用最优停止理论的原理和思想进行建模和分析。例如，生活应用第1题，AI系统可以将用户首次给出高分的时机视为“停止点”，通过算法学习用户偏好分布，动态调整推荐内容的探索（尝试新类型）与利用（推荐类似高分内容）的比例。