因数个数公式详解：为什么要指数加1？原理、例题与练习题PDF下载

💡 阿星精讲：因数个数公式 原理

• 核心概念：想象一下，一个数（比如 \(72\)）的因数，就像是用它的“质因数积木”搭出来的所有不同“造型”。 \(72 = 2^3 \times 3^2\) ，这里的 \(2\) 和 \(3\) 就是两种不同颜色的积木，指数 \(3\) 和 \(2\) 就是每种积木的个数。要搭出一个因数，你可以决定：用几个“2”积木？（有 \(0, 1, 2, 3\) 共 \(4\) 种选择）用几个“3”积木？（有 \(0, 1, 2\) 共 \(3\) 种选择）。每一种选择的组合，就对应一个独一无二的因数！所以总因数个数就是选择的可能性相乘：\((3+1) \times (2+1) = 12\) 个。
• 计算秘籍：
  1. 将自然数 \(N\) 分解质因数： \(N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}\)
  2. 每个质因数 \(p_i\) 的指数 \(a_i\)，在构造因数时都有 \(a_i + 1\) 种取法（取 \(0, 1, ..., a_i\) 次）。
  3. 因数总个数公式： \(T(N) = (a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times ... \times (a_k + 1)\)
• 阿星口诀：分解质因是地基，指数加一要牢记，最后相乘得总数，因数多少不费力。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：求 \(100\) 的因数个数，写成 \(100 = 10^2\)，然后 \((2+1)=3\) 个。 → ✅ 正解：必须分解为质因数！ \(100 = 2^2 \times 5^2\)， 因数量 = \((2+1) \times (2+1) = 9\) 个。
• ❌ 错误2：遇到质数本身，如 \(17\)，忘记“指数加1”。 → ✅ 正解： \(17 = 17^1\)， 它的因数个数是 \((1+1) = 2\) 个（即 \(1\) 和 \(17\)）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求 \(24\) 的因数个数。
2. 求 \(81\) 的因数个数。
3. 求 \(2^4 \times 5^2\) 的因数个数。
4. 一个数写成质因数连乘是 \(3 \times 7^2\)，它有多少个因数？
5. 求 \(144\) 的因数个数。
6. 已知 \(A = 2^3 \times 3 \times 7\)， 求 \(A\) 的因数个数。
7. 求 \(200\) 的因数个数。
8. 质数 \(p\) 的 \(5\) 次方有多少个因数？
9. 判断：\(128\) 的因数比 \(125\) 的因数多。
10. 求 \(1\) 到 \(10\) 中，因数个数最多的数是几？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 求 \(10!\)（即 \(10\) 的阶乘）的因数个数。
2. 有 \(8\) 个因数的两位数有多少个？
3. 求 \(12^5\) 的因数个数。
4. 一个数的因数个数是 \(15\)，这个数最小是多少？
5. \(A\) 和 \(B\) 是不同质数，且 \(A \times B^3\) 有 \(12\) 个因数，满足条件的 \(A+B\) 最小是多少？
6. 求 \(2520\) 的因数中，是 \(6\) 的倍数的有多少个？
7. 一个数恰好有 \(9\) 个因数，且这个数减 \(1\) 是 \(35\) 的倍数，求这个数。
8. 求 \(2^{10} - 1\) 的所有正因数个数。（提示：\(2^{10}-1=1023=3 \times 11 \times 31\)）
9. \(n\) 是自然数，\(n\) 与 \(12\) 的乘积是一个完全平方数，求 \(n\) 的最小值，并问此时乘积有多少个因数？
10. 在 \(1\) 到 \(100\) 中，因数个数为奇数的数有多少个？它们有什么共同特点？

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI参数】某个AI模型训练需要将一批数据均匀分配给GPU集群中的每张显卡。总数据量为 \(9600\) 万条，显卡数量必须是 \(9600\) 的一个因数，且为了效率，显卡数必须在 \(50\) 到 \(200\) 张之间。请问有几种可行的集群规模配置方案？
2. 【航天编码】一个卫星通信编码系统的信道ID由质因数 \(2, 3, 5\) 的指数乘积决定（形如 \(2^a \times 3^b \times 5^c\)）。为确保编码唯一性和容量，要求每个信道ID的因数总数恰好为 \(24\) 个。请问这样的信道ID有多少个不同的可能？（\(a, b, c\) 为非负整数）
3. 【网购包装】电商仓库有一批边长为整厘米的正方体小纸盒，体积为 \(1728\) 立方厘米。现需用它们堆成一个大长方体礼包（必须用完所有小盒），请问可以堆出多少种不同形状（长、宽、高互不相同视为不同形状）的长方体礼包？
4. 【网络安全】一个RSA加密算法中的公钥模数 \(n = p \times q\)（\(p, q\) 为不同质数）。若已知 \(n\) 的正因数个数为 \(4\)，私钥指数 \(d\) 是 \(n\) 的欧拉函数 \(\varphi(n)\) 的一个因数。如果 \(n=35\)，请问 \(\varphi(35)\) 有多少个正因数？
5. 【活动策划】学校组织 \(360\) 名学生参加社会实践活动，需要将学生分成若干小组，每组人数相等且大于 \(10\) 人，少于 \(50\) 人。请问有多少种分组方案？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. \(24=2^3 \times 3^1\)， \((3+1)\times(1+1)=8\)。
2. \(81=3^4\)， \(4+1=5\)。
3. \((4+1)\times(2+1)=15\)。
4. \(7^2 \times 3^1\)， \((2+1)\times(1+1)=6\)。
5. \(144=12^2= (2^2\times3)^2=2^4\times3^2\)， \((4+1)\times(2+1)=15\)。
6. \((3+1)\times(1+1)\times(1+1)=16\)。
7. \(200=2^3\times5^2\)， \((3+1)\times(2+1)=12\)。
8. \(p^5\)， \(5+1=6\)。
9. \(128=2^7\)，因数\(8\)个；\(125=5^3\)，因数\(4\)个。对。
10. 分别计算：\(6,8,10\)均有\(4\)个因数；\(9\)有\(3\)个；其余少于4。\(6,8,10\)都是。

第二关：

1. \(10! = 2^8 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1\)。 因数个数 = \((8+1)\times(4+1)\times(2+1)\times(1+1)=9\times5\times3\times2=270\)。
2. \(8 = 8 = (7+1)\) 或 \(8=2\times4=(1+1)\times(3+1)\) 或 \(8=2\times2\times2=(1+1)^3\)。
   情况1: \(p^7\)，最小\(2^7=128>99\)，无。
   情况2: \(p^3 \times q^1\)，枚举小质数：\(2^3\times3=24\), \(2^3\times5=40\), \(2^3\times7=56\), \(2^3\times11=88\), \(3^3\times2=54\), \(3^3\times5=135>99\), \(5^3\times2=250>99\)。还有 \(2^3\times13=104>99\) 停。
   情况3: \(p \times q \times r\)，最小\(2\times3\times5=30\)， 接着\(2\times3\times7=42\), \(2\times3\times11=66\), \(2\times3\times13=78\), \(2\times5\times7=70\), \(2\times5\times11=110>99\), \(3\times5\times7=105>99\)。
   检查并去重：\(24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88\)。共 \(10\) 个。
3. \(12^5 = (2^2\times3)^5 = 2^{10} \times 3^5\)， \((10+1)\times(5+1)=66\)。
4. \(15=15=(14+1)\) 或 \(15=3\times5=(2+1)\times(4+1)\)。情况1: \(p^{14}\)，最小\(2^{14}\)很大。情况2: \(p^2 \times q^4\)，为最小，让\(p=2, q=3\)： \(2^4\times3^2=144\)； 让\(p=3, q=2\)： \(3^4\times2^2=324\)。最小是 \(144\)。
5. \(A \times B^3\) 因数个数 = \((1+1)\times(3+1)=8\)，不等于12。若为 \(A^1 \times B^3\)，则因数个数为 \(8\)。若为 \(A^2 \times B^3\)，则因数个数 = \((2+1)\times(3+1)=12\)，符合。为最小，取 \(A=2, B=3\)，则 \(A+B=5\)。但 \(2\) 和 \(3\) 是不同质数， \(2^2\times3^3=108\) 因数12个，符合。答案为 \(5\)。
6. 先求 \(2520=2^3\times3^2\times5^1\times7^1\)，总因数 \((3+1)(2+1)(1+1)(1+1)=48\)。是 \(6\) 的倍数，则因数必须包含质因数 \(2\) 和 \(3\)。即构造因数时，\(2\) 的指数取 \(1,2,3\)（3种），\(3\) 的指数取 \(1,2\)（2种），\(5\) 和 \(7\) 的指数各有 \(0,1\) 两种。所以个数为 \(3\times2\times2\times2=24\)。
7. \(9=9\) 或 \(9=3\times3\)。情况1: \(p^8\)，减1是35倍数，尝试较小\(p\)：\(2^8-1=255\)是35倍数？\(255/35=7.285\)，否。情况2: \(p^2 \times q^2\)。减1是 \(5\times7\) 倍数。尝试\(p=2,q=3\)： \(36-1=35\)，符合。此数为 \(36\)。
8. \(1023=3\times11\times31\)，因数个数 = \((1+1)^3 = 8\)。
9. \(12=2^2\times3^1\)，要使 \(12n\) 为完全平方数，\(n\) 必须补足奇数指数，即 \(n\) 最小为 \(3^1\)。此时乘积为 \(2^2\times3^2=36\)， \(36=2^2\times3^2\)， 因数个数 = \((2+1)\times(2+1)=9\)。
10. 因数个数为奇数的数是完全平方数。\(1\) 到 \(100\) 中完全平方数有 \(1^2, 2^2, ..., 10^2\)，共 \(10\) 个。

第三关：

1. \(96000000 = 9600万 = 2^{10} \times 3 \times 5^6\)？ 先分解：\(9600万=96\times10^6=(32\times3)\times(2\times5)^6=2^5\times3\times2^6\times5^6=2^{11}\times3\times5^6\)。 因数个数 = \((11+1)\times(1+1)\times(6+1)=12\times2\times7=168\)个。其中在 \(50\) 到 \(200\) 之间的因数：需要列出或估算，实际解题时需筛选。例如：\(2^5\times3=96\)， \(2^6\times3=192\)， \(2^5\times5=160\)， \(2\times5^2=50\)， \(2^2\times5^2=100\)， \(2^3\times5^2=200\)（等于200，题目是“在...之间”通常不包含端点，或不严谨包含）。严谨计算需利用因数成对特性或编程。答案为若干种，此处为演示，指出思路。
2. 设数为 \(2^a\times3^b\times5^c\)，其因数个数为 \((a+1)(b+1)(c+1)=24\)。分解 \(24\) 为三个大于等于 \(1\) 的整数乘积：\(24=24\times1\times1\)， \(=12\times2\times1\)， \(=8\times3\times1\)， \(=6\times4\times1\)， \(=6\times2\times2\)， \(=4\times3\times2\)， \(=4\times2\times3\)（与前者同）， \(=3\times2\times4\)等同。每种对应一组 \((a,b,c)\)，如 \(24\times1\times1\) 对应 \(a=23,b=0,c=0\)。但注意 \(b+1=1\) 意味着 \(b=0\)。所有有序三元组 \((a,b,c)\) 的组数即答案。例如 \(4\times3\times2\) 对应 \((a,b,c)\) 可以是 \((3,2,1)\) 及其排列。需计算所有不同组合数。
3. \(1728 = 12^3 = (2^2\times3)^3 = 2^6\times3^3\)。堆成长方体即找三个正整数 \(l, w, h\) 使 \(l\times w\times h = 1728\)，且考虑顺序。设 \(l=2^{a1}\times3^{b1}\)， \(w=2^{a2}\times3^{b2}\)， \(h=2^{a3}\times3^{b3}\)， 其中 \(a1+a2+a3=6\)， \(b1+b2+b3=3\)。问题转化为不定方程非负整数解的组数，且 \(l, w, h\) 互不相同才计为不同形状（若考虑有序则为解的组数，考虑无序则需去重）。非负整数解组数：\(a\) 方程 \(C_{6+3-1}^{3-1}=C_8^2=28\)， \(b\) 方程 \(C_{3+3-1}^{2}=C_5^2=10\)，总有序三元组 \(28\times10=280\)。但长宽高互不相同的无序组数需复杂组合计算，此处指出思路。
4. \(n=35=5\times7\)， \(\varphi(n) = (5-1)\times(7-1) = 4\times6=24\)。问题转为求 \(24\) 的因数个数。\(24=2^3\times3^1\)， 因数个数 = \((3+1)\times(1+1)=8\)。
5. 即求 \(360\) 的大于 \(10\) 小于 \(50\) 的因数。\(360=2^3\times3^2\times5^1\)，总因数 \(24\)个。列出：\(1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360\)。在 \(10\) 和 \(50\) 之间的有： \(12,15,18,20,24,30,36,40,45\)。共 \(9\) 种。