逆用分配律提公因数：原理精讲、易错点总结与阶梯训练题专项练习题库

💡 阿星精讲：逆用分配律 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来玩一个数学里的“观察力大挑战”！分配律就像分蛋糕：\( a \times (b + c) = a \times b + a \times c \)。我们平时是“分蛋糕”，而“逆用分配律”就是反过来，把已经分好的蛋糕再“合起来”！这就像在一堆东西里，找出大家共有的部分（公因数）提出来。比如，算式 \( ab + ac \) 就像两盒积木，一盒有 \( a \) 个 \( b \)，一盒有 \( a \) 个 \( c \)。我们发现它们都有共同的“因子” \( a \)，就可以把它提出来放在外面，变成 \( a(b + c) \)。谁的眼力好，谁就能把计算变得更简单！
• 计算秘籍：
  1. 瞪大眼睛找“公因”：仔细观察算式中的每一项，找出它们都包含的数字或字母。
  2. 提取公因数到“门外”：把这个公共部分提取出来，写在括号外面。
  3. 括号里面装“剩余”：用原来的每一项除以提出去的公因数，把得到的商写在括号里面相加（或相减）。
  4. 检查验算保正确：把提取后的结果再乘开，看看是否等于原式。

  示例：计算 \( 6x + 9y \)。
  找公因：两项的数字系数 \( 6 \) 和 \( 9 \) 的最大公因数是 \( 3 \)。字母 \( x \) 和 \( y \) 不同，所以公因数只有 \( 3 \)。
  提出来：\( 3 \times ( ? ) \)。
  装剩余：\( 6x \div 3 = 2x \)，\( 9y \div 3 = 3y \)。
  得结果：\( 6x + 9y = 3(2x + 3y) \)。

• 阿星口诀：“东瞅瞅，西瞧瞧，公共因子发现了；提到外面括号抱，里面只剩它除掉。”

📐 图形解析

我们用“面积模型”来直观理解逆用分配律。一个长为 \( (b+c) \)，宽为 \( a \) 的大长方形，面积可以表示为 \( a(b+c) \)。同时，它也可以看作是由两个小长方形拼成的，面积分别是 \( ab \) 和 \( ac \)。所以，\( ab + ac = a(b+c) \)。

面积公式：\( S = 长 \times 宽 = a \times (b + c) \)

从图形上，我们可以清楚地看到：提取公因数 \( a \) ，就是将两个有相同宽度 \( a \) 的小长方形，合并成一个完整的大长方形。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：提不全。 如：\( 4x + 8 = 2(2x + 4) \) → ✅ 正解：公因数应提取最大的公因数（数字最大公约数，字母最低次幂）。正确应为 \( 4x + 8 = 4(x + 2) \)。
• ❌ 错误2：提丢项。 如：\( 3a + 6 = 3(a + 2) \)，括号里的 \( +2 \) 被漏掉，写成 \( 3(a) \)。 → ✅ 正解：提公因数后，括号内的项数应与原式一致。每一项都要参与除法运算。
• ❌ 错误3：符号出错。 如：\( -2x - 4y = -2(x - 2y) \)。 → ✅ 正解：提取负公因数时，括号内每一项的符号都要改变。正确应为 \( -2x - 4y = -2(x + 2y) \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \( 15 \times 23 + 15 \times 77 = ? \)
2. \( 7.4 \times 5.6 - 7.4 \times 0.6 = ? \)
3. 逆用分配律填空：\( 8a + 8b = 8( \quad ) \)
4. 逆用分配律填空：\( 12x - 18y = 6( \quad ) \)
5. 化简：\( 5m + 5n + 5 \)
6. 化简：\( 24pq - 16p \)
7. 化简：\( -3x - 6 \)
8. 化简：\( a^2b + ab^2 \)
9. 化简：\( 4(x-2) + 8(x-2) \) （提示：把 \( (x-2) \) 看成一个整体）
10. 先逆用分配律，再求值：已知 \( a=4.5, b=5.5 \)，计算 \( 3.6a + 3.6b \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （易错题）分解因式：\( 2a(x-y) - 3b(y-x) \) （提示：\( y-x = -(x-y) \)）
2. （整体思想）化简：\( (a+b+c)^2 - (a-b-c)^2 \)
3. （提公因式法因式分解）分解因式：\( 6x(x-y)^2 - 3y(y-x)^2 \)
4. 计算：\( 2024^2 + 2024 \times 3952 + 1976 \times 2024 \)
5. 若 \( x+y=5, xy=6 \)，求 \( x^2y + xy^2 \) 的值。
6. 证明：对于任意整数 \( n \)，\( (2n+1)^2 - 1 \) 能被 \( 8 \) 整除。
7. 化简：\( \frac{1}{2}a^2bc + \frac{1}{3}ab^2c - \frac{1}{6}abc^2 \)
8. 已知 \( 2^{m+3} + 2^{m+1} = 80 \)，求 \( m \) 的值。
9. （数形结合）如图，用两种方法表示图中所有小正方形的面积之和，写出一个恒等式。
   
10. 化简：\( (x+1)(x+2) + (x+1)(x+3) \)

第三关：生活应用（5道）

1. 采购预算：学校食堂采购大米，每千克 \( a \) 元。午餐用了 \( m \) 千克，晚餐用了 \( n \) 千克。请用两种方法表示一天的大米总花费，并说明它们为什么相等。
2. 工程用料：铺设两条长度分别为 \( L_1 \) 米和 \( L_2 \) 的管道，每米都需要 \( c \) 千克涂料。仓库里现有涂料正好是 \( (L_1 + L_2) \times c \) 千克。请解释这个总量是如何计算出来的。
3. 田地施肥：一块长方形田地，长 \( 100 \) 米，宽 \( (a+b) \) 米。 farmer 张在宽为 \( a \) 米的部分每亩施化肥 \( x \) 千克，在宽为 \( b \) 米的部分每亩施化肥 \( y \) 千克。请写出整块田地总施肥量的表达式，并尝试化简。
4. 电费计算：一个家庭峰时用电 \( p \) 度，谷时用电 \( q \) 度。峰时电价是每度 \( m \) 元，谷时电价是每度 \( n \) 元。如果实行平均电价 \( t = \frac{mp + nq}{p+q} \) 元/度，请用逆用分配律的思想解释 \( t(p+q) = mp + nq \) 的含义。
5. 拼图游戏：小明有一些边长为 \( s \) 的小正方形拼图和一些长为 \( s \)、宽为 \( t \) 的小长方形拼图。他想拼出一个没有空隙的大长方形。他发现，如果用了 \( a \) 个正方形和 \( b \) 个长方形（长边对齐），那么大长方形的一条边长可以是 \( s \)，另一条边长可以表示为 \( as + bt \)。请解释这个表达式的几何意义。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 15 \times (23+77) = 15 \times 100 = 1500 \)
2. \( 7.4 \times (5.6 - 0.6) = 7.4 \times 5 = 37 \)
3. \( 8(a + b) \)
4. \( 6(2x - 3y) \)
5. \( 5(m + n + 1) \)
6. \( 8p(3q - 2) \)
7. \( -3(x + 2) \)
8. \( ab(a + b) \)
9. \( (x-2)(4+8) = 12(x-2) \) 或 \( =12x-24 \)
10. \( 3.6(a+b) = 3.6 \times (4.5+5.5) = 3.6 \times 10 = 36 \)

第二关：中考挑战

1. 原式 \( = 2a(x-y) + 3b(x-y) = (x-y)(2a+3b) \)
2. 令 \( m=a, n=b+c \)，原式 \( = (m+n)^2 - (m-n)^2 \)。利用平方差公式：\( =[(m+n)+(m-n)][(m+n)-(m-n)] = (2m)(2n) = 4mn = 4a(b+c) = 4ab+4ac \)。
3. 注意到 \( (y-x)^2 = (x-y)^2 \)。原式 \( = 6x(x-y)^2 - 3y(x-y)^2 = 3(x-y)^2(2x - y) \)。
4. 原式 \( = 2024 \times (2024 + 3952 + 1976) = 2024 \times (2024 + 5928) = 2024 \times 7952 \)。或进一步：\( 2024+5928=7952 \)。
5. \( x^2y + xy^2 = xy(x+y) = 6 \times 5 = 30 \)。
6. \( (2n+1)^2 - 1 = (2n+1+1)(2n+1-1) = (2n+2)(2n) = 4n(n+1) \)。因为 \( n \) 和 \( n+1 \) 是连续整数，必有一偶数，所以 \( 4n(n+1) \) 能被 \( 8 \) 整除。
7. 公因式为 \( \frac{1}{6}abc \)。原式 \( = \frac{1}{6}abc(3a + 2b - c) \)。
8. 左边 \( = 2^{m+1}(2^2 + 1) = 2^{m+1} \times 5 = 80 \)，所以 \( 2^{m+1} = 16 = 2^4 \)，故 \( m+1=4, m=3 \)。
9. 方法一（求和）：有 \( 9 \) 个边长为 \( a \) 的正方形，总面积 \( = 9a^2 \)。
   方法二（整体）：大正方形边长为 \( 3a \)，总面积 \( = (3a)^2 = 9a^2 \)。
   恒等式：\( a^2 + a^2 + ... + a^2 \) (9个) \( = (3a)^2 \)，即 \( 9a^2 = 9a^2 \)。更深层的恒等式是 \( (3a)^2 = 9a^2 \)，这本身就是分配律 \( (3a)^2 = 3^2 \times a^2 \) 的应用。
10. \( (x+1)[(x+2)+(x+3)] = (x+1)(2x+5) \)。

第三关：生活应用

1. 方法一：分别算，总花费 \( = am + an \)（元）。方法二：先算总重量，总花费 \( = a(m+n) \)（元）。因为 \( am + an = a(m+n) \)，所以相等。这是逆用分配律的直接体现。
2. 两条管道的总长度为 \( (L_1 + L_2) \) 米，每米需要 \( c \) 千克，所以总需求为 \( (L_1 + L_2) \times c \) 千克。也可以分别计算：第一条需要 \( L_1c \) 千克，第二条需要 \( L_2c \) 千克，总和为 \( L_1c + L_2c \) 千克。根据分配律，两者相等。
3. 总施肥量 \( = 100a \times x + 100b \times y = 100(ax + by) \)（千克）。这里先对长度 \( 100 \) 米提了公因数。
4. \( t(p+q) \) 表示按平均电价计算的总电费，\( mp+nq \) 表示按分时电价计算的总电费。等式 \( t(p+q) = mp + nq \) 意味着两种计价方式下总电费相等，这是定义平均电价的基础。从右到左看，就是逆用分配律：\( mp+nq = t \times p + t \times q = t(p+q) \)。
5. \( as \) 表示 \( a \) 个正方形拼成的长度（因为它们边长都是 \( s \)）。\( bt \) 表示 \( b \) 个长方形在宽为 \( t \) 的那条边上拼出的长度。但注意，长方形另一条边是 \( s \)，与正方形边长一致，所以它们可以在长度为 \( s \) 的边上对齐。表达式 \( as + bt \) 是大长方形另一条边的总长度，它由“纯正方形贡献的长度”和“长方形在另一方向上贡献的长度”相加而成。这体现了不同图形对整体尺寸的“分配”贡献。