乘法原理练习题及答案解析：分步计数方法与典型例题详解[PDF下载]

💡 阿星精讲：乘法原理：分步 原理

• 核心概念：哈喽！我是阿星。想象一下，明天你要和好朋友出去玩，打开衣柜开始搭配衣服。你的上衣有 \(3\) 件（红、蓝、黄），裤子有 \(2\) 条（黑、白）。先选上衣再选裤子，这是一套完整的“穿搭任务”。阿星：步骤连续，缺一不可，直接相乘。 意思是：第一步选上衣，有 \(3\) 种选择。无论你选了哪件上衣（比如红色），第二步选裤子时，依然有完整的 \(2\) 种选择（黑或白）来搭配它。所以，红上衣可以配黑或白裤子，这就有 \(2\) 套搭配。蓝上衣、黄上衣也同样各有 \(2\) 套搭配。总搭配数不是 \(3+2\)，而是 \(3\) 个 \(2\) 相加，也就是 \(3 \times 2 = 6\) 种。这就是乘法原理的精髓：完成一件事需要多个连续的步骤，每个步骤有若干方法，那么完成这件事的总方法数，就是把所有步骤的方法数乘起来。
• 计算秘籍：
  1. 拆任务： 把一件事明确地分成连续的几个步骤。
  2. 算每步： 独立算出完成每一步各有几种方法，设为 \(m_1, m_2, m_3, ...\)。
  3. 直接乘： 总方法数 \(N = m_1 \times m_2 \times m_3 \times ...\)。
• 阿星口诀：分步计数像穿衣，先上后下有顺序，各自选法乘一起，总数轻松算仔细。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把可以同时发生的步骤（分步）误以为是只能选其一的情况（分类）。例如，认为上衣 \(3\) 种、裤子 \(2\) 种，一共就有 \(3+2=5\) 种。 → ✅ 正解：“穿好一套衣服”需要既选上衣又选裤子，两步缺一不可，是“分步”，应该用乘法 \(3 \times 2\)。
• ❌ 错误2：忽略了步骤的顺序性或独立性。例如，从A地到B地有 \(3\) 条路，B地到C地有 \(2\) 条路，问从A到C有几条路。错误认为有 \(3+2=5\) 条。 → ✅ 正解：从A到C必须先从A到B，再从B到C，这是连续的两步，每一步的选择都独立且必须完成，所以是 \(3 \times 2 = 6\) 条不同的路线。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 小红有 \(4\) 件不同的T恤和 \(3\) 条不同的短裤，一套衣服由一件T恤和一条短裤组成，有多少种搭配？
2. 一家餐厅提供 \(5\) 种主菜和 \(3\) 种汤，点一份套餐（主菜+汤）有多少种选择？
3. 用数字 \(1, 2, 3\) 可以组成多少个没有重复数字的两位数？
4. 从 \(A, B, C, D\) 四人中选出一名班长和一名副班长（不能同一人兼任），有多少种选法？
5. 一个开关有“开”和“关” \(2\) 种状态，\(3\) 个这样的开关并列，一共能表示多少种不同的状态组合？
6. 从 \(5\) 本不同的故事书和 \(4\) 本不同的漫画书中，各选 \(1\) 本，有多少种选法？
7. 从学校到书店有 \(2\) 条路，从书店到家有 \(3\) 条路，从学校经书店回家有多少种走法？
8. 一个密码的第一位是字母 \(A\) 或 \(B\)，第二位是数字 \(1, 2, 3\) 中的一个，这个密码有多少种可能？
9. 掷一枚硬币有 \(2\) 种结果，掷一颗骰子有 \(6\) 种结果。先掷硬币再掷骰子，共有多少种不同的结果序列？
10. 小明有 \(3\) 支不同颜色的笔和 \(2\) 本不同的本子，他决定用一支笔在一个本子上签名，有多少种方式？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 用 \(0, 1, 2, 3, 4\) 可以组成多少个没有重复数字的三位数？
2. 一个 \(4\) 位的密码，每位都可以是 \(0-9\) 或 \(a-z\)（共 \(26\) 个小写字母），一共可以设置多少个密码？
3. 从 \(5\) 名学生中选出 \(3\) 人，分别担任语文、数学、英语科代表，有多少种不同的任命方案？
4. 地图上，从 \(P\) 点到 \(Q\) 点有 \(6\) 条路，从 \(Q\) 点到 \(R\) 点有 \(4\) 条路。问从 \(P\) 点经 \(Q\) 点到 \(R\) 点，再原路返回 \(P\) 点（往返不走同一条路），有多少种不同的走法？
5. 一个正四面体的四个顶点分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，每条棱的两个端点颜色不同。如果确定了顶点A是红色，那么一共有多少种不同的涂色方法？
6. 在 \(3 \times 3\) 的方格中，从左下角走到右上角，每次只能向右或向上走一格，有多少条不同的路径？
7. 有 \(4\) 个不同的小球，放入 \(3\) 个不同的盒子，允许有空盒，有多少种放法？
8. 用 \(1, 2, 3, 4\) 这四个数字组成比 \(2000\) 大的四位数（数字可重复），有多少个？
9. 某信号灯系统，红、黄、绿灯各一个。每次只亮一盏灯或同时亮两盏灯（颜色不同），一共能发出多少种不同的信号？
10. 从 \(1, 3, 5, 7, 9\) 中任选两个数字，从 \(2, 4, 6, 8\) 中任选一个数字，组成没有重复数字的三位数，有多少个？

第三关：生活应用（5道）

1. (AI提示词) 设计一个AI绘画的提示词（Prompt）。第一步：选择主体（人物、风景、动物，\(3\) 种）。第二步：选择风格（油画、水墨、赛博朋克，\(3\) 种）。第三步：选择色调（暖色、冷色、黑白，\(3\) 种）。一共能组合出多少种不同的基础提示词？
2. (航天任务) 一次火星探测任务，着陆器有 \(2\) 种备选方案，巡视器有 \(3\) 种备选方案，通信中继卫星有 \(2\) 种备选方案。要组成一个完整的“着陆-巡视-通信”系统，有多少种不同的技术搭配方案？
3. (网购优惠) 某电商平台，你有 \(5\) 张满减券和 \(3\) 张运费券。结算时，你可以选择使用 \(1\) 张满减券（或不使用）以及使用 \(1\) 张运费券（或不使用）。那么你在支付环节有多少种不同的优惠组合方式？（注意“不使用”也是一种选择）
4. (智能家居) 你家有 \(4\) 个智能灯泡，每个灯泡都可以独立设置为“常亮”、“常灭”或“感应模式” \(3\) 种状态。当你设置全屋灯光场景时，这 \(4\) 个灯泡一共能组合出多少种不同的整体状态？
5. (游戏角色) 创建一个游戏角色需要：①从战士、法师、射手 \(3\) 个职业中选1个；②从人类、精灵、兽人 \(3\) 个种族中选1个；③从火、冰、雷 \(3\) 种主修元素中选1个。不考虑其他因素，有多少种独一无二的角色创建方案？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(4 \times 3 = 12\) 种。
2. \(5 \times 3 = 15\) 种。
3. 第一步选十位 (\(3\) 种)，第二步选个位（剩下 \(2\) 种）：\(3 \times 2 = 6\) 个。
4. 第一步选班长 (\(4\) 种)，第二步选副班长（剩下 \(3\) 人）：\(4 \times 3 = 12\) 种。
5. 每个开关有 \(2\) 种状态，三步：\(2 \times 2 \times 2 = 8\) 种。
6. 两步：\(5 \times 4 = 20\) 种。
7. 两步：\(2 \times 3 = 6\) 种。
8. 两步：\(2 \times 3 = 6\) 种。
9. 两步：\(2 \times 6 = 12\) 种。
10. 两步：\(3 \times 2 = 6\) 种。

第二关：奥数挑战

1. 第一步选百位（不能是 \(0\)，有 \(4\) 种），第二步选十位（剩下 \(4\) 个数字），第三步选个位（剩下 \(3\) 个）：\(4 \times 4 \times 3 = 48\) 个。
2. 每一位有 \(10 + 26 = 36\) 种选择，四位：\(36^4 = 36 \times 36 \times 36 \times 36 = 1679616\) 个。（或写作 \(36^4\)）
3. 第一步选语文科代表 (\(5\) 种)，第二步选数学科代表（剩下 \(4\) 人），第三步选英语科代表（剩下 \(3\) 人）：\(5 \times 4 \times 3 = 60\) 种。
4. 分三步：\(P \to Q\) (\(6\) 种)， \(Q \to R\) (\(4\) 种)， \(R \to Q\)（返回时不能走原路，有 \(3\) 种）， \(Q \to P\)（返回时不能走原路，有 \(5\) 种）。注意“原路返回”意味着往返路径不能相同，所以后两步的选择数减少。总走法：\(6 \times 4 \times 3 \times 5 = 360\) 种。
5. 分步涂色：A已定红色。第二步涂B，有 \(3\) 种颜色可选。第三步涂C，不能与A、B同色，有 \(2\) 种。第四步涂D，不能与A、B、C同色，只有 \(1\) 种。总方法：\(3 \times 2 \times 1 = 6\) 种。
6. 任何一条路径都需要向右走 \(3\) 步，向上走 \(3\) 步，共 \(6\) 步。问题转化为从 \(6\) 步中选出 \(3\) 步用于向上（或向右），组合数 \(C_6^3 = 20\) 条。 （此题已涉及组合，可作为拓展）。
7. 每个球都有 \(3\) 种放法，\(4\) 个球：\(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81\) 种。
8. 第一步（千位）必须比 \(2\) 大，可选 \(2,3,4\)，但如果是 \(2\)，数就比 \(2000\) 小，所以只能选 \(3\) 或 \(4\)，共 \(2\) 种。后三位每位都有 \(4\) 种选择：\(2 \times 4 \times 4 \times 4 = 128\) 个。
9. 分类讨论：①只亮一盏：\(3\) 种。②同时亮两盏：第一步选第一种颜色 (\(3\) 种)，第二步选另一种颜色（剩下 \(2\) 种），但“红黄”和“黄红”是同一种信号，所以需要除以 \(2\)：\( (3 \times 2) / 2 = 3\) 种。总信号：\(3 + 3 = 6\) 种。
10. 分三步：先从奇数集选两个数字：有 \(C_5^2 = 10\) 种选法（组合，不计顺序）。但这选出的两个数字和偶数集选出的一个数字，需要排列成三位数。对于一组选定的三个数字，排列成三位数有 \(3 \times 2 \times 1 = 6\) 种排法。所以总数：\(10 \times 6 = 60\) 个。（或分步：第一步选偶数放在哪一位 (\(3\) 种)，第二步选具体偶数 (\(4\) 种)，第三步依次选两个奇数 (\(5 \times 4\) 种)，但这样两个奇数的排列被考虑了顺序，所以是 \(3 \times 4 \times 5 \times 4 = 240\)，再除以两个奇数的内部排列 \(2\)，得到 \(120\)？这里有重复计算，更清晰的方法是：先挑三个数 (\(C_5^2 \times C_4^1 = 10 \times 4=40\) 种组合)，再全排列 (\(3! = 6\))， \(40 \times 6 = 240\)。检查：直接分步排：个十百位，先排奇数：\(5 \times 4 = 20\) 种，再排偶数：剩下一位从 \(4\) 个偶数中选 \(1\) 个， \(20 \times 4 = 80\)？不对，因为奇数排在哪个两个位置没定。正确分步：1. 选一个位置放偶数：\(3\) 种。2. 这个位置放哪个偶数：\(4\) 种。3. 剩下两个位置放奇数：\(5 \times 4 = 20\) 种。总计 \(3 \times 4 \times 20 = 240\) 种。所以答案是 \(240\)。原答案 \(60\) 有误，特此更正。）

第三关：生活应用

1. 三步：\(3 \times 3 \times 3 = 27\) 种。
2. 三步：\(2 \times 3 \times 2 = 12\) 种。
3. 分两步，每步都有“用”或“不用”两种选择（即 \(2\) 种方法）。总组合：\(2 \times 2 = 4\) 种。
4. 每个灯 \(3\) 种状态，四个灯：\(3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81\) 种。
5. 三步：\(3 \times 3 \times 3 = 27\) 种。