行程问题多次相遇规律详解：解题技巧与专项练习题库

💡 阿星精讲：行程问题：相遇多次规律 原理

• 核心概念：想象一下，你和小伙伴在一条长长的走廊两端打乒乓球！第一次相遇，好比球第一次被打到对方半场，你俩一共跑完了 \(1\) 个全程。但接下来，为了“第二次相遇”，球必须继续飞——你跑到他那头，他跑到你这头，然后再一次面对面！这个过程就像你们“你来我往好几趟”，经过的路程加起来，正好是 \(3\) 个全程。阿星总结：第二次相遇两人共跑3倍全程，奇数倍是关键。推广下去，第 \(n\) 次相遇，两人跑的总路程是 \((2n-1)\) 倍全程，永远是奇数倍！
• 计算秘籍：
  1. 确定模型：判断是否为“同时从两地出发，相向而行，多次相遇”。
  2. 牢记规律：从出发到第 \(n\) 次相遇，两人总路程和 \(S_{总} = (2n-1) \times S\)，其中 \(S\) 是单程距离。
  3. 建立方程：总路程也等于速度和乘以时间，即 \((2n-1) \times S = (v_1 + v_2) \times t_{相遇}\)。
  4. 求解未知：利用已知的速度、时间或距离，求解问题。
• 阿星口诀：“相遇几次别慌张，总路奇数倍全程。三倍对应第二次，核心公式记心上。”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“第二次相遇时，两人各自走的路程也是第一次的3倍”。 → ✅ 正解：总路程和是 \(3S\)，但每个人走的路程不一定是一次的3倍，这取决于速度比。如果速度相同，则各自走了 \(1.5S\)。
• ❌ 错误2：从“同一端同向出发”的追及问题，错误套用“奇数倍”相遇规律。 → ✅ 正解：“奇数倍全程”规律仅适用于“从两端相向而行”的相遇问题。同向追及问题规律完全不同。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 甲、乙两人从相距 \(1200\) 米的两地相向而行，甲速 \(50\) 米/分，乙速 \(70\) 米/分。第一次相遇用时多少？第二次相遇呢？
2. 两列火车从相距 \(810\) 千米的两城相对开出，快车速度 \(90\) 千米/时，慢车速度 \(72\) 千米/时。出发后几小时两车第二次相遇？
3. 根据上题，到第二次相遇时，快车比慢车多行了多少千米？
4. 甲、乙从AB两地相向而行，第一次相遇距A地 \(200\) 米。已知速度比是 \(3:2\)，求AB距离。
5. 在 \(300\) 米环形跑道上，小明和小红反向跑步，速度分别为 \(5\) 米/秒和 \(4\) 米/秒。第3次相遇时，小红跑了多少米？
6. 两地相距 \(S\)，甲乙相向而行，第4次相遇时，两人一共走了多少路程？（用 \(S\) 表示）
7. 甲、乙两人从桥两头相向而行，到第二次相遇时，甲走了 \(540\) 米，已知甲速是乙速的 \(1.5\) 倍，求桥长。
8. 两辆无人机从基地两端同时相向巡检一段 \(15\) 千米的线路，速度分别为 \(200\) 米/分和 \(300\) 米/分。它们第二次“会面”时，较慢的无人机飞了多少千米？
9. 判断：从线段两端出发，第5次相遇时，两人总路程是全程的9倍。
10. 填空：从线段两端出发，相向而行，到第____次相遇时，总路程是全程的7倍。

第二关：奥数挑战（10道）

1. （华杯赛真题改编）甲、乙从A、B两地同时出发相向而行，两人在距A地 \(80\) 米处第一次相遇，相遇后继续前进，到达对方起点后立即返回，在距B地 \(30\) 米处第二次相遇。求A、B两地距离。
2. 甲、乙两车从AB两地相向而行，在距中点 \(20\) 千米处第一次相遇。相遇后继续前进，甲车到达B地后立即返回，乙车到达A地后也立即返回，两车在距A地 \(60\) 千米处第二次相遇。求AB全程。
3. （多次相遇）甲、乙从两端出发，在两地间不断往返。已知第 \(201\) 次相遇点与第 \(302\) 次相遇点相距 \(100\) 米，且两人速度比恒为 \(4:3\)。求全程。
4. 环形跑道长 \(600\) 米，甲、乙、丙三人从同一点同时出发，甲与乙、丙反向而行。甲与乙第一次相遇后，又过 \(2\) 分钟与丙第一次相遇。已知甲速 \(80\) 米/分，乙速 \(70\) 米/分，求丙的速度。
5. 甲、乙在正方形ABCD的顶点A、C同时出发，甲顺时针，乙逆时针奔跑，边长 \(100\) 米，速度比为 \(3:2\)。求他们第10次相遇时在哪条边上？
6. 快、慢车从甲乙两站相对开出，已知慢车速度是快车的 \(\frac{2}{3}\)。两车第二次相遇的地点距离中点 \(36\) 千米。求两站距离。
7. 甲、乙从A、B出发，第一次相遇在离A \(12\) 千米处。相遇后两人提速 \(20\%\) 继续前进，分别到达B、A后返回，第二次相遇在离B \(9\) 千米处。求A、B距离及两人初始速度比。
8. （折返多次）两机器人从长廊两端相向做匀速折返运动（相遇即掉头）。全程 \(L\)，速度分别为 \(v_1\)、\(v_2\) (\(v_1>v_2\))。求从开始到第 \(n\) 次相遇，较快机器人走过的总路程。
9. 甲、乙在一条直路上进行“多次相遇”训练。他们从路的两端同时出发，并在两端之间不断往返。已知某次，甲在 \(30\) 分钟内迎面遇到了乙 \(11\) 次。已知甲、乙速度分别为 \(6\) 米/秒和 \(4\) 米/秒。求这条路大概多长？
10. 两艘飞船在一条直线星际航道两端同时向对方空间站航行，抵达后立即返航。它们第一次和第二次相遇时间间隔为 \(1\) 小时。已知航道长 \(1\) 亿公里，一艘飞船的速度是另一艘的 \(1.2\) 倍。求两艘飞船的速度。

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI对话】两个AI对话代理在一条信息链的两端同时开始处理并交换数据包（相向而行）。链长 \(1000\) 个数据单元，A代理处理速度是 \(50\) 单元/毫秒，B代理是 \(30\) 单元/毫秒。当它们完成数据交换（第二次“相遇”）时，A代理总共处理了多少个数据单元？
2. 【网购物流】两辆快递车从华东仓和华南仓同时出发，沿一条高速公路相向而行，为客户演示极速达服务。两仓相距 \(1800\) 公里。发车后，它们在途中相遇并继续驶向对方仓库，卸货后立即原速返回。如果第二次相遇点距离华东仓 \(800\) 公里，且华东仓的车更快，求两车的速度比。
3. 【航天会合】在地球-火星转移轨道设想中，两艘探测器从轨道直径的两端（假想为直线）同时点火，相向进行轨道修正。轨道全长约 \(4.5\) 亿公里。从点火到第二次信号交汇（相遇），两探测器发出的无线电信号总传播距离是多少？这如何体现了“奇数倍全程”的物理意义？
4. 【游戏设计】在一条横向卷轴游戏地图的两端，两个玩家角色同时向对方奔跑。地图长度设为 \(L\) 像素。为了设计一个“第5次相遇时触发隐藏剧情”的关卡，程序需要判断此时两个角色坐标之和。请写出用于判断的数学条件（用角色位置 \(x_1, x_2\) 和 \(L\) 表示）。
5. 【项目管理】甲、乙两个开发团队需共同修复一个长距离网络光缆中的多处故障（故障点均匀分布）。他们从光缆两端同时开始巡检并修复。已知他们第一次碰头（交流进度）时，甲队修复了 \(40\) 个故障点。请问，当他们第二次碰头时，甲队总共修复了多少个故障点？（假设工作效率恒定）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关（简析）：

1. 第一次：\(t_1 = \frac{1200}{50+70}=10\) 分钟；第二次：总路程 \(3 \times 1200\)， \(t_2 = \frac{3600}{120}=30\) 分钟。
2. \(t = \frac{3 \times 810}{90+72} = \frac{2430}{162} = 15\) 小时。
3. 多行路程 \(= (v_快 - v_慢) \times t = (90-72) \times 15 = 270\) 千米。
4. 第一次相遇，甲走 \(3\) 份，全程共 \(3+2=5\) 份。\(200\) 米对应 \(3\) 份，全程 \(S = 200 \div 3 \times 5 = \frac{1000}{3}\) 米。
5. 第3次相遇总路程 \(5 \times 300 = 1500\) 米，时间 \(t = \frac{1500}{5+4} = \frac{500}{3}\) 秒，小红跑 \(4 \times \frac{500}{3} = \frac{2000}{3}\) 米。
6. \((2 \times 4 - 1)S = 7S\)。
7. 设桥长 \(S\)，第二次相遇总路程 \(3S\)。甲路程 \(540 = v_甲 \times t\)，乙路程 \(3S - 540 = v_乙 \times t\)。两式相除：\(\frac{540}{3S-540} = \frac{1.5}{1}\)，解得 \(S=300\) 米。
8. 第二次相遇总路程 \(3 \times 15 = 45\) 千米，时间 \(t = \frac{45}{(0.2+0.3)} = 90\) 分钟。较慢无人机飞 \(0.2 \times 90 = 18\) 千米。
9. 正确。\(n=5\) 时，\(2n-1=9\)。
10. \(2n-1=7\)，解得 \(n=4\)。

第二关（关键点）：

1. （类似例题2）甲第一次走 \(80\)，到第二次共走 \(240\)。设全程 \(S\)，有 \(2S - 30 = 240\)，得 \(S=135\) 米。
2. 画图分析。第一次相遇甲比乙多走 \(40\) 千米。设全程 \(S\)，速度比等于路程比，利用第二次相遇甲、乙各自走的总路程关系列方程。解得 \(S=120\) 千米。
3. 速度比恒定，相同时间内路程比恒定。可设甲速 \(4k\)，乙速 \(3k\)，全程 \(S\)。分析第 \(201\) 次和第 \(302\) 次相遇时，甲（或乙）分别走的总路程，做差与 \(100\) 米建立联系。解得 \(S=350\) 米。
4. 甲与乙是相遇问题，甲与丙也是相遇问题。分别用相遇公式求出甲与乙、甲与丙第一次相遇的时间，其差为 \(2\) 分钟。列方程解出丙速为 \(50\) 米/分。
5. 正方形周长 \(400\) 米，反向相遇问题。第10次相遇总路程 \(19 \times 400 = 7600\) 米。时间 \(t = 7600 / (3k+2k)=1520/k\) 秒。甲走的路程 \(=3k \times 1520/k = 4560\) 米。\(4560 \div 400 = 11...160\)，即甲跑了 \(11\) 圈零 \(160\) 米。从A顺时针出发，跑 \(160\) 米在CD边上。
6. 设快车速 \(3v\)，慢车 \(2v\)，全程 \(S\)。第二次相遇时，快车共走 \(3 \times (3v/(5v)) \times S = 1.8S\)。画图知 \(1.8S\) 对应 \(S/2 + 36\) 或 \(S/2 - 36\)。解得 \(S=180\) 千米或 \(S=90\) 千米（需根据快车方向判断取舍，通常有两解可能）。
7. 设初始甲速 \(a\)，乙速 \(b\)，全程 \(S\)。第一次相遇：\(a t_1 = 12\)，且 \((a+b) t_1 = S\)。第二次相遇：提速后速度和为 \(1.2(a+b)\)，总路程 \(3S\)，总时间 \(t_2 = 3S/(1.2(a+b)) = 2.5 t_1\)。甲总路程为 \(1.2a \times 2.5 t_1 = 3a t_1 = 36\) 千米。由图：\(S + 9 = 36\)，得 \(S=27\) 千米。由 \(a t_1 =12\) 及 \(S=27\) 得 \(b t_1 =15\)，故速度比 \(a:b = 12:15 = 4:5\)。
8. 较快机器人总路程 \(= v_1 \times t_n = v_1 \times \frac{(2n-1)S}{v_1+v_2} = \frac{v_1}{v_1+v_2} \times (2n-1)S\)。即总路程由速度比和奇数倍全程决定。
9. \(30\) 分钟 \(= 1800\) 秒。迎面相遇 \(11\) 次，即从开始算起第 \(11\) 次相遇。总路程 \(= (2\times11-1)S = 21S\)。时间 \(t = 1800\) 秒。所以 \(21S = (6+4) \times 1800\)，得 \(S \approx 857.14\) 米。
10. 设慢船速 \(v\)，则快船速 \(1.2v\)。第一次相遇时间 \(t_1 = \frac{1亿}{v+1.2v} = \frac{1}{2.2v}\) 亿小时。第一次到第二次相遇，两船又共走了 \(2\) 倍全程，时间 \(t_{间隔} = \frac{2 \times 1亿}{2.2v} = 1\) 小时。解得 \(v = \frac{2}{2.2} \approx 0.909\) 亿公里/小时，快船速约为 \(1.091\) 亿公里/小时。（此题单位巨大，旨在应用规律）

第三关（思路点睛）：

1. 典型套用：第二次相遇总处理单元 \(3 \times 1000 = 3000\)。时间 \(t = \frac{3000}{50+30} = 37.5\) 毫秒。A代理处理 \(50 \times 37.5 = 1875\) 单元。
2. 设华东仓车（甲）速 \(v_1\)，华南仓车（乙）速 \(v_2\)，全程 \(1800\)。第二次相遇甲共走 \(3 \times \frac{v_1}{v_1+v_2} \times 1800\)。此路程也等于 \(1800 + 800 = 2600\) 或 \(1800 - 800 = 1000\)（取决于相遇点位置）。列式可解出速度比 \(v_1:v_2\) 为 \(13:5\) 或 \(5:13\)，根据华东仓车更快，取 \(13:5\)。
3. 信号以光速传播，在探测器参考系中，问题等价于两探测器运动模型。第二次相遇总路程 \(= 3 \times 4.5 = 13.5\) 亿公里。这体现了“奇数倍全程”规律描述的是两物体相对空间位置的累积变化总量，是一个重要的运动学积分量。
4. 条件：\(|x_1 - x_2| = L\) 且 \(x_1 + x_2 = (2 \times 5 - 1) \times \frac{L}{2}\)？不准确。更通用的条件是：从开始到此刻，两个角色坐标变化量的绝对值之和等于 \(9L\)（第5次相遇总路程）。编程时通常用总路程或时间来判断。
5. 将“光缆长度”视为全程 \(S\)，“修复故障数”类比为“走过的路程”。第一次碰头甲修复 \(40\) 个，即甲速占总速的比例为 \(\frac{40}{S}\)。第二次碰头总修复量 \(3S\)，甲总修复数 \(= \frac{40}{S} \times 3S = 120\) 个。