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面积比等于相似比平方？k²原理深度解析与易错题攻略专项练习题库

适用年级

初三

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：面积比 原理

  • 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，你和你的照片。照片里的你，和真实的你，是“相似”的。如果照片把你缩小到原来的一半高，那么你的宽度也变成了一半。这就是相似比 \( k = \frac{1}{2} \)。但是，你的面积（比如皮肤的面积）变成了原来的多少呢？可不是一半哦！是 \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)！面积是二维的，所以相似比的变化要在两个维度（长和宽）上都发生作用，这就是“平方”的魔力。记住这个“大坑”：面积比等于相似比的平方（\( k^2 \)）！ 忘掉平方，你就掉进坑里啦！
  • 计算秘籍：
    1. 第一步：识别相似图形，并确定它们的相似比 \( k \)**。通常， \( k = \frac{\text{小图形边长}}{\text{大图形边长}} \)（或反过来）。
    2. 第二步：计算面积比**。它等于 \( k^2 \)。即，如果 \( \frac{A的边长}{B的边长} = k \)，那么 \( \frac{S_A}{S_B} = k^2 \)。
    3. 第三步：灵活应用。已知面积比求边长比，就是开平方：\( k = \sqrt{\frac{S_A}{S_B}} \)。
  • 阿星口诀：“边长之比叫相似，面积之比要平方。正反应用要记牢，开方平方别忘光！”

📐 图形解析

让我们用两个相似的直角三角形来直观感受“平方”的力量。大三角形的边长是小三角形的2倍，即相似比 \( k = 2 \)。看看它们的面积发生了什么？

设小三角形面积为 \( S_小 \)，则大三角形面积为：
\[ S_大 = S_小 \times k^2 = S_小 \times 2^2 = 4 \times S_小 \]

a 2a 高 h A' B' C' S小 2a 4a 高 2h A B C S大 = 4S小 相似比 k = 2 / 1 = 2 面积比 = k² = 4

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：看到两个图形有点像，不验证相似条件（如对应角相等、对应边成比例）就直接用面积比公式。
    → ✅ 正解：先证相似，再找k，最后算平方。 相似是使用 \( k^2 \) 公式的前提。
  • ❌ 错误2：已知面积比是 \( 4:9 \)，求边长比时，直接回答 \( 4:9 \) 或 \( 2:4.5 \)。
    → ✅ 正解：边长比是面积比的平方根。 \( k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \)。记住：面积是“二次元猛兽”，对付它要用开方！

🔥 三例题精讲

例题1：如图，正方形ABCD的边长是6cm，正方形EFGH的边长是4cm。请问正方形ABCD与正方形EFGH的面积比是多少？

正方形ABCD 边长 = 6 正方形EFGH 边长 = 4

📌 解析：

  1. 所有正方形都相似，它们的相似比等于边长比。这里，若令小正方形为原图，则相似比 \( k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)。
  2. 根据阿星口诀，面积比等于相似比的平方：\( \frac{S_{ABCD}}{S_{EFGH}} = k^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \)。
  3. 也可以分别计算面积：\( S_{ABCD} = 6^2 = 36 \)， \( S_{EFGH} = 4^2 = 16 \)， 面积比 \( = 36 : 16 = 9 : 4 \)。结果一致！

✅ 总结：对于规则相似图形（正方形、圆、等边三角形等），直接使用边长比（或半径比、高比等线性比）的平方求面积比是最快的方法。

例题2：已知 \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)，且 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle DEF \) 的相似比为 \( 3:5 \)。若 \( \triangle ABC \) 的面积为 \( 27 \, cm^2 \)，求 \( \triangle DEF \) 的面积。

📌 解析：

  1. 已知相似比 \( k = \frac{3}{5} \)。注意，这里是 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle DEF \) 的比，即 \( \frac{AB}{DE} = \frac{3}{5} \)。
  2. 设 \( \triangle DEF \) 的面积为 \( S_D \)。根据面积比公式：\( \frac{S_{ABC}}{S_D} = k^2 \)。
  3. 代入数值：\( \frac{27}{S_D} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} \)。
  4. 交叉相乘：\( 9 \times S_D = 27 \times 25 \)，解得 \( S_D = \frac{27 \times 25}{9} = 75 \, (cm^2) \)。

✅ 总结：在应用公式 \( \frac{S_1}{S_2} = k^2 \) 时，必须确保 \( k \) 的分子分母与 \( S_1, S_2 \) 的顺序对应一致。顺序是解题的关键！

例题3（生活应用）：某小区要制作两个形状相同的长方形花坛设计图。第一个设计图在图纸上的长为10cm，宽为6cm。第二个设计图是第一个放大后的版本，对应长变成了15cm。如果第一个花坛的实际建造费用预算为1200元，且费用与花坛实际面积成正比，那么第二个花坛的预算大约是多少元？

📌 解析：

  1. 两个设计图形状相同，即它们是相似图形。先求相似比 \( k \)。对应边是长，所以 \( k = \frac{第二个图长}{第一个图长} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \)。
  2. 面积比等于 \( k^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \)。这意味着第二个花坛的实际面积是第一个的 \( \frac{9}{4} \) 倍。
  3. 费用与面积成正比，所以第二个花坛的预算也是第一个的 \( \frac{9}{4} \) 倍。
    \[ \text{预算}_2 = 1200 \times \frac{9}{4} = 1200 \times 2.25 = 2700 \, (\text{元}) \]

✅ 总结：在生活中，当涉及到“形状相同、大小不同”的模型缩放时，其面积、材料用量、成本（如果单价固定）等都与线性尺寸比的平方相关。这是工程和设计中非常重要的比例原理。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 两个圆的半径分别是3cm和5cm，它们的面积比是多少？
  2. 如果正方形A的边长是正方形B边长的4倍，那么A的面积是B的几倍？
  3. 已知两个相似三角形，小三角形一边长为8，对应的大三角形边长为12，求它们的面积比。
  4. \(\triangle PQR \sim \triangle LMN\)，且面积比为 \( 1:16 \)，则它们的相似比是多少？
  5. 一个等边三角形的边长扩大为原来的3倍，面积扩大为原来的____倍。
  6. 判断：任何两个长方形的面积比都等于它们长边比的平方。（ ）
  7. 地图上1cm代表实际距离1km，那么地图上1平方厘米的面积代表实际多少平方公里？
  8. 两个相似多边形，周长比是 \( 2:5 \)，则面积比是______。
  9. 已知 \(\frac{S_{\text{甲}}}{S_{\text{乙}}} = \frac{4}{9}\)，且甲图形某边长为10，求乙图形对应边长。
  10. 你的照片被放大，使你的身高在照片中变为原来的2倍，则照片中你的面积变为原来的____倍。

第二关：中考挑战（10道）

  1. （经典真题）如图，\( \triangle ABC \) 中，DE//BC，且 AD:DB = 2:1，则 \( S_{\triangle ADE} : S_{\text{四边形DBCE}} = \) ______。
  2. 两个相似三角形的一组对应边上的高分别是6和9，则它们的面积比是______。
  3. 若两个相似五边形的面积比为 4:9，则它们的周长比为______。
  4. （综合题）在平行四边形ABCD中，点E是AB中点，连接DE交对角线AC于点F。求 \( S_{\triangle AEF} : S_{\triangle CDF} \)。
  5. （网格题）在4x4的正方形网格中，画一个格点三角形与已知格点三角形相似，且相似比为 \( \sqrt{2}:1 \)，求画出的三角形面积是原三角形面积的几倍？
  6. （动点题）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8。点P从C出发沿CA向A移动，速度为1/s；点Q从C出发沿CB向B移动，速度为2/s。几秒后，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC的面积比为1:16？
  7. （反比例函数结合）如图，点A， B在反比例函数 \( y=\frac{k}{x} \) 图像上，过A，B作x轴垂线，垂足为C，D。若 \( S_{\triangle AOC} = 2 \)，且 \( \frac{OC}{OD} = \frac{1}{3} \)，求 \( S_{\triangle BOD} \)。
  8. 已知两个相似多边形的面积和为100，面积比为1:4，求较小多边形的面积。
  9. （几何构造）以直角三角形三边为边向外作三个正方形。求证：斜边上正方形的面积等于两直角边上正方形面积之和。（提示：利用相似三角形面积比）
  10. （阅读理解）定义：若一个三角形一条边上的高等于这条边，则称该三角形为“等高边三角形”。现有两个相似的“等高边三角形”，它们的“等高边”之比为3:5，求它们的面积比。

第三关：生活应用（5道）

  1. 【建筑】某建筑模型的比例尺是1:50。模型上有一扇窗户面积为12平方厘米。请问实际建筑上这扇窗户的面积是多少平方米？
  2. 【烘焙】你做蛋糕时，用一个6英寸（直径）的圆形模具配方。现在你想做一个10英寸的蛋糕，需要将配方中所有原料的用量乘以多少倍？（蛋糕高度保持不变）
  3. 【地理】在卫星地图上，一个长方形公园的周长为20cm，面积为24平方厘米。已知地图比例尺为1:10000。请问这个公园的实际周长和面积分别是多少？
  4. 【艺术】一位画家要将他的一幅画按比例放大。原画布是30cm×40cm，放大后画布的长边要求是100cm。如果颜料用量（克数）与画布面积成正比，且原画用了150克颜料，那么新画大约需要多少克颜料？
  5. 【投资】你发现两个形状完全相似但大小不同的商铺（假设都是长方形）。小商铺的临街面宽8米，进深12米，月租金1万元。大商铺的临街面宽是小商铺的1.5倍。如果租金单价（每平方米月租金）相同，请估算大商铺的月租金。

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：面积比 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：主要难在思维的维度跳跃。学生熟悉线性的加减乘除，比如边长扩大2倍，很直观。但面积是二维度量，边长变化会在两个相互垂直的方向上同时起作用，导致效应被“乘”了两次，即平方。忘记“平方”本质上是没有建立起从一维到二维的空间量感。解决之道就是多画图，像阿星一样，用图形展示边长变为2倍时，面积是如何由1个小方块变成4个小方块的。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：这是未来学习所有缩放和比例问题的基石。在高中，它会延伸到立体几何的体积比（相似比的立方 \( k^3 \)）。在解析几何中，图形变换（如缩放）背后的坐标变化也与此相关。在微积分里，理解局部线性近似（导数）与整体变化（积分）时，这种“线性变化导致平方效应”的思想无处不在。例如，圆的面积公式 \( S=\pi r^2 \) 本身就体现了半径 \( r \) 与面积 \( S \) 的平方关系。

问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？

答：有！核心套路就是“找k，想平方”四字诀。遇到相似图形面积问题：

  1. 先确认相似（题目明说或自己证明）。
  2. 立即找出一组对应边的比 \( k \)**。\( k \) 可以是大比小，也可以小比大，但前后顺序必须一致。
  3. 心中默念“阿星口诀”，面积关系就是 \( k^2 \)。求面积用乘法（\( S_1 = S_2 \times k^2 \)），求边长用开方（\( k = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} \)）。

把这个套路练成本能反应，就能避开80%的“坑”。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. 解析：半径比 \( 3:5 \)，面积比 \( = 3^2 : 5^2 = 9:25 \)。
  2. 解析：边长比 \( k=4 \)，面积倍数 \( = k^2 = 16 \) 倍。
  3. 解析：相似比 \( k = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)，面积比 \( = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} \)。
  4. 解析：面积比 \( 1:16 = (\frac{1}{4})^2 \)，所以相似比 \( k = \frac{1}{4} \) (或 \( 1:4 \))。
  5. 解析：\( 3^2 = 9 \) 倍。
  6. 解析：❌ 错误。只有相似的长方形（即长宽比相同）才满足此结论。
  7. 解析：长度比例尺 \( k = \frac{1\text{cm}}{1\text{km}} = \frac{1}{100000} \)。面积比例尺 \( = k^2 = (\frac{1}{100000})^2 = \frac{1}{10^{10}} \)。所以地图上 \( 1\text{cm}^2 \) 代表实际 \( 1 \times 10^{10} \text{cm}^2 = 1 \text{km}^2 \) (因为 \( 1 \text{km}^2 = 10^{10} \text{cm}^2 \))。答案是1平方公里。
  8. 解析：周长比等于相似比 \( k = \frac{2}{5} \)，面积比 \( = k^2 = \frac{4}{25} \)。
  9. 解析：面积比 \( \frac{4}{9} \)，故相似比 \( k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \)。甲边长:乙边长 \( = 2:3 \)。设乙边长为 \( x \)，则 \( \frac{10}{x} = \frac{2}{3} \)，解得 \( x = 15 \)。
  10. 解析：身高是线性尺寸，放大2倍，则面积变为 \( 2^2 = 4 \) 倍。

第二关：中考挑战（精选解析）

  1. 解析：由 DE//BC 得 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)。\( \frac{AD}{AB} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3} = k \)。所以 \( \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \frac{4}{9} \)。因此 \( S_{\triangle ADE} : S_{\text{四边形DBCE}} = 4 : (9-4) = 4:5 \)。
  2. 解析：对应高的比就是相似比 \( k = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)，面积比 \( = k^2 = \frac{4}{9} \)。
  3. 解析：面积比4:9，周长比（相似比）\( k = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \)。
  4. 解析：本题关键在于找到两个三角形的相似关系。易证 \( \triangle AEF \sim \triangle CDF \)（AA）。由于E是AB中点，在平行四边形中，AB=CD，所以AE:CD = 1:2。故相似比 \( k = \frac{AE}{CD} = \frac{1}{2} \)。面积比 \( \frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle CDF}} = k^2 = \frac{1}{4} \)。
  5. 解析：面积比为 \( (\sqrt{2})^2 = 2 \) 倍。

第三关：生活应用

  1. 解析：比例尺1:50是长度比，即 \( k = \frac{1}{50} \)。面积比例尺为 \( k^2 = \frac{1}{2500} \)。实际面积 \( = 12 \text{cm}^2 \times 2500 = 30000 \text{cm}^2 = 3 \text{m}^2 \)。
  2. 解析：蛋糕体积与底面积成正比，底面积是圆形。直径比 \( 10:6 = 5:3 = k \)，底面积比（即原料用量比）\( = k^2 = \frac{25}{9} \approx 2.78 \) 倍。
  3. 解析：地图上的图形与实际图形相似，长度比例尺 \( k = \frac{1}{10000} \)。实际周长 \( = 20\text{cm} \times 10000 = 200000\text{cm} = 2\text{km} \)。实际面积 \( = 24\text{cm}^2 \times (10000)^2 = 24 \times 10^8 \text{cm}^2 = 24 \times 10^4 \text{m}^2 = 240000 \text{m}^2 \)。
  4. 解析：原画长边40cm，新画长边100cm，相似比 \( k = \frac{100}{40} = 2.5 \)。面积比 \( = k^2 = 6.25 \)。新画颜料用量 \( \approx 150 \times 6.25 = 937.5 \) 克。
  5. 解析：两个商铺形状完全相同（即相似）。大商铺的临街面宽是小商铺的1.5倍，即相似比 \( k = 1.5 \)。面积比 \( = k^2 = 2.25 \)。租金与面积成正比，所以大商铺租金 \( = 1 \text{万元} \times 2.25 = 2.25 \) 万元。

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