相似三角形面积比：为什么是k²？深度解析与避坑指南专项练习题库

💡 阿星精讲：面积比 原理

• 核心概念：想象一下，你有一张一寸照片。现在，你把它按比例放大成一张两寸照片。边长（相似比 \( k \) ）变成了原来的2倍。但面积呢？可不是简单地变成了2倍哦！面积是“二维”的，它感受到的是两个方向的放大效应——长和宽都变成了2倍，所以面积就变成了 \( 2 \times 2 = 4 \) 倍。阿星提醒你：相似三角形的面积比等于相似比的平方（\( k^2 \)）！这就是“平方效应”，是超级大坑，很多同学会忘记给 \( k \) 加上这个“平方帽”。
• 计算秘籍：
  1. 第一步：明确两个三角形是否相似。找到它们的对应边，求出相似比 \( k \)。\( k = \frac{\text{大三角形的边长}}{\text{小三角形的边长}} \)。
  2. 第二步：运用“平方效应”口诀。面积比 = \( k^2 \)。即 \( \frac{S_{\text{大}}}{S_{\text{小}}} = k^2 \) 或 \( \frac{S_{\text{小}}}{S_{\text{大}}} = (\frac{1}{k})^2 \)。
• 阿星口诀：边长翻倍，面积四倍；相似比是 \( k \)，面积比是 \( k \) 方！

📐 图形解析

下图展示了两个相似三角形，直观感受“平方效应”：当边长放大到原来的 \( k=2 \) 倍时，面积放大到 \( k^2=4 \) 倍。

从图中可知：\( \frac{A'B'}{AB} = \frac{2a}{a} = 2 \)。所以相似比 \( k = 2 \)。

根据“平方效应”：\( \frac{S’}{S} = k^2 = 2^2 = 4 \)。大三角形面积是小三角形面积的4倍。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到边长比是 \( 3:2 \)，就直接认为面积比也是 \( 3:2 \)。 → ✅ 正解：面积比是相似比的平方。应为 \( 3^2 : 2^2 = 9 : 4 \)。
• ❌ 错误2：已知面积比是 \( 9:1 \)，求相似比时，错误地写成 \( 9:1 \)。 → ✅ 正解：相似比是面积比的平方根。应为 \( \sqrt{9} : \sqrt{1} = 3 : 1 \)（通常取正值）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 若两个相似三角形的相似比是 \( 1:4 \)，则它们的面积比是______。
2. \( \triangle ABC \) 的面积是 \( 25 \)，\( \triangle A’B’C’ \sim \triangle ABC \) 且相似比为 \( 3:5 \)（\( \triangle A’B’C’ \) 更大），则 \( \triangle A’B’C’ \) 的面积是______。
3. 两个相似三角形的一组对应边的长分别是 \( 3 \) cm 和 \( 6 \) cm，若小三角形的面积为 \( 9 \, \text{cm}^2 \)，则大三角形的面积为______ \( \text{cm}^2 \)。
4. 判断题：相似三角形的面积比一定等于它们的周长比。 （ ）
5. 已知两个相似多边形的面积比是 \( 16:9 \)，则它们的相似比是______。
6. 如图，\( l_1 // l_2 // l_3 \)，直线 \( AC \) 分别交 \( l_1, l_2, l_3 \) 于点 \( A, B, C \)，直线 \( DF \) 分别交 \( l_1, l_2, l_3 \) 于点 \( D, E, F \)。若 \( AB:BC = 1:2 \)，则 \( S_{\triangle ADE}: S_{\triangle CEF} = \) ______。（提示：先找对应三角形）
7. 一个三角形的各边长都扩大为原来的 \( 5 \) 倍，那么面积扩大为原来的______倍。
8. 若 \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)，且 \( S_{\triangle ABC}: S_{\triangle DEF} = 1:4 \)，\( BC = 2 \)，则 \( EF = \) ______。
9. 两个相似三角形的对应高的比为 \( 3:7 \)，则它们的面积比是______。
10. 一个三角形的一条中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积比是______。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题变式）如图，在平行四边形 \( ABCD \) 中，点 \( E \) 是 \( AB \) 上一点，\( AE:EB = 1:3 \)，连接 \( DE, AC \) 交于点 \( F \)。则 \( S_{\triangle AEF}: S_{\triangle CDF} = \) ______。
2. （中考真题变式）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( D, E \) 分别是 \( AB, AC \) 上的点，且 \( DE // BC \)。若 \( S_{\triangle ADE}: S_{\triangle ABC} = 1:9 \)，则 \( AD:DB = \) ______。
3. （中考真题变式）两个相似三角形对应边上的中线的比是 \( \sqrt{3}:2 \)，则它们的面积比是______。
4. （中考真题变式）将 \( \triangle ABC \) 沿 \( BC \) 边上的高 \( AD \) 剪成两个直角三角形 \( ABD \) 和 \( ACD \)，将这两个直角三角形拼成如图所示的四边形 \( EACB \)（\( B \) 与 \( E \) 重合）。若 \( AB=6 \)，\( AC=4 \)，则四边形 \( EACB \) 的对角线 \( EC \) 的长为______。（提示：结合勾股定理与相似）
5. （中考真题变式）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( D, E, F \) 分别是边 \( AB, BC, AC \) 上的中点。若 \( S_{\triangle ABC} = 16 \)，则 \( S_{\triangle DEF} = \) ______。
6. （中考真题变式）已知两个相似三角形的一对对应角平分线的长之比为 \( 3:4 \)，则它们的周长之比为______，面积之比为______。
7. （中考真题变式）如图，正方形 \( ABCD \) 的边长为 \( 4 \)，点 \( E, F \) 分别在边 \( BC, CD \) 上，且 \( CE=CF \)，\( \triangle AEF \) 的面积为 \( \frac{20}{3} \)，则 \( CE \) 的长为______。（提示：用总面积减去其他部分面积，建立方程）
8. （中考真题变式）如图，\( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，四边形 \( DEGF \) 是其内接正方形。若 \( AC=6 \)，\( BC=8 \)，则正方形 \( DEGF \) 的边长为______。（提示：利用相似三角形高之比等于相似比）
9. （中考真题变式）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( D \) 为 \( BC \) 上一点，\( \angle BAD = \angle C \)。若 \( AB=6 \)，\( BD=4 \)，则 \( S_{\triangle ABD}: S_{\triangle ADC} = \) ______。（提示：证 \( \triangle ABD \sim \triangle CBA \) 和 \( \triangle ABD \sim \triangle CAD \)）
10. （中考真题变式）如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=8 \)，\( BC=6 \)，点 \( P \) 在边 \( BC \) 上运动，连接 \( AP \)，将线段 \( AP \) 绕点 \( P \) 顺时针旋转 \( 90^{\circ} \) 得到线段 \( PE \)，连接 \( AE \)。当 \( \triangle ABP \) 与 \( \triangle PCE \) 的面积相等时，求 \( BP \) 的长。（提示：证明两个三角形相似，利用面积比等于相似比平方建立方程）

第三关：生活应用（5道）

1. （地图比例尺）在一张比例尺为 \( 1:50000 \) 的地图上，一块湿地公园的形状是一个面积为 \( 12 \, \text{cm}^2 \) 的多边形。这块湿地公园的实际面积是多少平方公里？
2. （建筑设计）一位建筑师设计了两个形状相似的喷水池模型。大模型的容积是小模型的 \( 8 \) 倍。已知小模型池底的周长为 \( 3 \) 米，那么大模型池底的周长是多少米？（提示：容积比是相似比的立方，面积比是平方）
3. （摄影）用同一台相机，在相同位置给一个人拍照。第一次拍全身照，人在照片中高 \( 4 \) cm；第二次拍半身照（只拍上半身），人在照片中高 \( 8 \) cm。请问第二次照片中人物影像的面积大约是第一次的多少倍？（假设人物宽度也成比例变化）
4. （工程测量）为了估算一个不规则湖泊的面积，测量员在比例尺为 \( 1:2000 \) 的图纸上沿着湖岸线画了一个闭合图形，并用“方格法”测出该图形在图纸上的面积约为 \( 50 \, \text{cm}^2 \)。请估算湖泊的实际面积。
5. （材料力学）两块形状相似的金属板，大板的边长是小板的 \( 1.5 \) 倍。在受到相同压强（单位面积压力）的情况下，大板能承受的总压力是小板的多少倍？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 1:16 \)
2. \( 25 \times (\frac{5}{3})^2 = 25 \times \frac{25}{9} = \frac{625}{9} \) （注意 \( 3:5 \) 是大比小，所以小比大的 \( k = \frac{3}{5} \)，大比小的 \( k = \frac{5}{3} \)）
3. \( k = 6/3 = 2 \)， \( S_{\text{大}} = 9 \times 2^2 = 36 \)
4. 错。面积比等于周长比的平方。
5. \( 4:3 \)
6. 由平行得 \( \triangle ABD \sim \triangle CBF \)，但 \( \triangle ADE \) 与 \( \triangle CEF \) 不直接相似。更简单的方法：\( \triangle ADE \) 与 \( \triangle ABC \) 以 \( A \) 为顶点的“高”相同，面积比等于底边比 \( DE:BC \)。由平行线分线段成比例，\( DE:BC = AB:AC = 1:3 \)。同理，考虑以 \( C \) 为顶点的三角形， \( S_{\triangle CEF}: S_{\triangle CBA} = CE:CA = 2:3 \)。但这两个三角形不同底同高，计算复杂。实际上，由 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)， \( k_1 = AB/AC = 1/3 \)， \( S_{ADE}: S_{ABC} = 1:9 \)。由 \( \triangle CFE \sim \triangle CBA \)， \( k_2 = CE/CA = 2/3 \)， \( S_{CFE}: S_{CBA} = 4:9 \)。所以 \( S_{ADE}: S_{CFE} = (1/9): (4/9) = 1:4 \)。
7. \( 25 \)
8. 面积比 \( 1:4 \)，所以相似比 \( k = \sqrt{1/4} = 1/2 \)， \( EF = BC / k = 2 \div (1/2) = 4 \)。
9. \( 9:49 \)
10. \( 1:3 \)。中位线将原三角形分成一个小三角形和一个梯形。小三角形与原三角形相似， \( k=1/2 \)，面积比 \( 1:4 \)。所以小三角形占 \( 1 \) 份，梯形占 \( 4-1=3 \) 份。

第二关：中考挑战（仅提供关键步骤思路）

1. 由 \( AE // CD \) 得 \( \triangle AEF \sim \triangle CDF \)，相似比 \( k = AE:CD = AE:AB = 1:4 \) (因为 \( AE:EB=1:3 \)，所以 \( AE:AB=1:4 \))。面积比 \( = k^2 = 1:16 \)。
2. \( k^2 = 1/9 \)，所以 \( k = 1/3 \) (小比大)。即 \( AD:AB = 1:3 \)，所以 \( AD:DB = 1:2 \)。
3. \( (\sqrt{3})^2 : 2^2 = 3:4 \)。
4. 拼成的图形是菱形。先由勾股定理求高 \( AD = \sqrt{6^2 - (BC/2)^2} \)，但更简单的方法是证明 \( \triangle AEC \sim \triangle ABC \)，利用对应边成比例求解。实际答案是 \( \frac{24}{5} \) 或 \( 4.8 \)。
5. \( \triangle DEF \) 与 \( \triangle ABC \) 相似， \( k = 1/2 \)，面积比 \( 1:4 \)，所以 \( S_{\triangle DEF} = 4 \)。
6. 周长比 \( = 3:4 \)，面积比 \( = 9:16 \)。
7. 设 \( CE = x \)，则 \( BE = DF = 4-x \)。\( S_{\triangle AEF} = S_{正方形} - S_{\triangle ABE} - S_{\triangle ADF} - S_{\triangle ECF} = 16 - \frac{1}{2}\times4\times(4-x)\times2 - \frac{1}{2}x^2 = 16 - 16 + 4x - \frac{1}{2}x^2 = \frac{20}{3} \)，解方程得 \( x=2 \) 或 \( x=20/3 \)（舍去）。
8. 设正方形边长为 \( x \)。由 \( \triangle ADE \sim \triangle ACB \)，得 \( \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC} \)，即 \( \frac{x}{8} = \frac{6-x}{6} \)，解得 \( x = \frac{24}{7} \)。
9. 先证 \( \triangle ABD \sim \triangle CBA \)，得 \( \frac{AB}{CB} = \frac{BD}{AB} \)，可求 \( BC=9 \)，从而 \( CD=5 \)。再证 \( \triangle ABD \sim \triangle CAD \)，面积比等于相似比的平方，相似比为 \( BD:AD = AD:CD \)，但更直接的是：等高三角形面积比等于底边比，所以 \( S_{\triangle ABD}: S_{\triangle ADC} = BD:DC = 4:5 \)。
10. 易证 \( \triangle ABP \sim \triangle PCE \)。设 \( BP = x \)，则 \( PC = 6-x \)。相似比 \( k = \frac{AB}{PC} = \frac{8}{6-x} \) 或 \( \frac{BP}{CE} \)。面积相等即面积比为 \( 1:1 \)，所以 \( k^2 = 1 \)，即 \( k = 1 \)。所以 \( \frac{8}{6-x} = 1 \)，解得 \( x = -2 \)（舍）？错误。面积相等并不意味着相似比为1。应令 \( S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BP = 4x \)， \( S_{\triangle PCE} = \frac{1}{2} \cdot PC \cdot CE \)。由相似得 \( \frac{CE}{AB} = \frac{PC}{BP} \)，即 \( \frac{CE}{8} = \frac{6-x}{x} \)，所以 \( CE = \frac{8(6-x)}{x} \)。则 \( S_{\triangle PCE} = \frac{1}{2}(6-x) \cdot \frac{8(6-x)}{x} = \frac{4(6-x)^2}{x} \)。令 \( 4x = \frac{4(6-x)^2}{x} \)，解得 \( x^2 = (6-x)^2 \)， \( x=3 \)。

第三关：生活应用

1. 地图相似比 \( k = 1/50000 \)。面积比 \( = k^2 = 1/(2.5 \times 10^9) \)。实际面积 \( = 12 \, \text{cm}^2 \times 2.5 \times 10^9 = 3 \times 10^{10} \, \text{cm}^2 = 3 \, \text{km}^2 \)。
2. 容积比（体积比） \( 8:1 \)，所以相似比 \( k = \sqrt[3]{8} = 2 \)。周长比等于相似比 \( 2:1 \)，所以大模型周长 \( = 3 \times 2 = 6 \) 米。
3. 人在照片中的“相似比” \( k = 8/4 = 2 \)。面积比 \( = k^2 = 4 \)。所以第二次影像面积约为第一次的 \( 4 \) 倍。
4. 与第1题类似。面积比 \( = (1/2000)^2 = 1/4,000,000 \)。实际面积 \( = 50 \, \text{cm}^2 \times 4,000,000 = 200,000,000 \, \text{cm}^2 = 20,000 \, \text{m}^2 = 0.02 \, \text{km}^2 \) 或 \( 2 \) 公顷。
5. 总压力 = 压强 × 面积。压强相同，所以总压力比等于面积比。面积比 \( = k^2 = (1.5)^2 = 2.25 \)。所以大板能承受的总压力是小板的 \( 2.25 \) 倍。