幂的乘方怎么算？底数不变指数相乘是什么意思？阿星精讲+例题解析专项练习题库

💡 阿星精讲：幂的乘方 原理

• 核心概念：想象一下，幂的乘方就像一场“指挥权”的交接仪式！括号里面的指数，比如 \( a^2 \) 里的 2，它本来是指挥“底数 \( a \)”做 2 次乘法。现在，括号外面又来一个指数 3，就像来了一个更大的指挥官，它指挥的是“括号里的整个运算”再做 3 次。“指乘”这个比喻的精髓在于：外面的指数指挥官，它不直接指挥底数，而是指挥里面那个指数。所以，底数 \( a \) 这个合唱团成员保持不变，但里面的指数 2 被外面的指挥官 3 命令去相乘，于是得到了新的指数 \( 2 \times 3 = 6 \)。整个过程就是：\( (a^2)^3 = a^{2 \times 3} = a^6 \)。阿星总结：底数不变，指数相乘。
• 计算秘籍：
  1. 第一步：锁定底数。确认括号内的底数是什么，它全程不变。例如 \( (a^2)^3 \)，底数是 \( a \)。
  2. 第二步：指数相乘。将括号内的指数和括号外的指数相乘。例如 \( (a^2)^3 \)，计算 \( 2 \times 3 = 6 \)。
  3. 第三步：写出结果。将不变的底数，配上相乘得到的新指数。结果就是 \( a^6 \)。
• 阿星口诀：幂的乘方并不难，底数原地站；指数相遇是相乘，简化计算好简单。

📐 图形解析

虽然幂的乘方是一个代数概念，但我们可以用“面积模型”来可视化理解 \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)。

公式：\( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

解读：这个大正方形被平均分成了 \( n \) 行，每行又被平均分成 \( m \) 列。因此，整个图形被分割成了 \( n \times m \) 个一模一样的小格子。每个小格子的边长代表“底数 \( a \)”，面积就是 \( a^2 \)。但从划分方式看，先算每行有 \( m \) 个 \( a \)（长度为 \( a^m \)），再看这样的行有 \( n \) 行，所以总面积是 \( (a^m)^n \)。同时，总的小格子数是 \( m \times n \)，所以总面积也是 \( a^{m \times n} \)。两者必然相等，直观证明了法则。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：底数也跟着“乘方”了。例如：\( (a^2)^3 = a^{2^3} = a^8 \)。
  ✅ 正解：牢记“底数不变”是铁律。外面的指数只指挥里面的指数相乘，不改变底数。正确计算：\( (a^2)^3 = a^{2 \times 3} = a^6 \)。
• ❌ 错误2：指数做成了“加法”。例如：\( (a^2)^3 = a^{2+3} = a^5 \)。
  ✅ 正解：区分“幂的乘方”和“同底数幂相乘”。口诀：“幂乘方，指数乘”（指乘）；“同底乘，指数加”。\( (a^2)^3 \) 是幂的乘方，用“指乘”：\( 2 \times 3=6 \)。\( a^2 \cdot a^3 \) 才是同底数幂相乘，用“指加”：\( 2+3=5 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算 \( (5^2)^3 \)。
2. 计算 \( (y^4)^2 \)。
3. 计算 \( [(-3)^2]^2 \)。
4. 计算 \( (m^7)^1 \)。
5. 计算 \( [(0.5)^3]^2 \)。
6. 填空：\( (10^a)^b = 10^{\_\_\_} \)。
7. 判断正误：\( (x^3)^2 = x^5 \)。
8. 判断正误：\( (a^2)^3 \) 的底数是 \( a^2 \)。
9. 化简：\( (p^3)^4 \cdot p^2 \)。（提示：先算幂的乘方，再算同底数幂乘法）
10. 化简：\( (z^6)^2 \div z^8 \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 若 \( (9^m)^3 = 9^{15} \)，求 \( m \) 的值。
2. 计算 \( (-2x^2 y)^3 \cdot (-\frac{1}{2}x y^2)^2 \)。
3. 已知 \( a^m = 2, a^n = 3 \)，求 \( a^{2m+3n} \) 的值。（提示：\( a^{2m+3n} = a^{2m} \cdot a^{3n} = (a^m)^2 \cdot (a^n)^3 \)）
4. 比较大小：\( 2^{100} \) 与 \( 4^{49} \)。（提示：将底数化为一致）
5. 计算 \( [(a-b)^3]^2 \cdot [(b-a)^2]^3 \)。（注意 \( (b-a)^2 = (a-b)^2 \)）
6. 若 \( n \) 为正整数，且 \( 4^x \cdot 16^x = 64^3 \)，求 \( x \) 的值。
7. 计算 \( (0.125)^{2025} \times 8^{2024} \)。（提示：\( 0.125 = \frac{1}{8} = 8^{-1} \)）
8. 已知 \( 2 \times 8^x \times 16^x = 2^{22} \)，求 \( x \) 的值。
9. 化简求值：\( [(-2ab^2)^3]^2 \)，其中 \( a = -\frac{1}{2}, b=1 \)。
10. 证明：\( (a^m)^n = (a^n)^m \)。（体会指数相乘的交换律）

第三关：生活应用（5道）

1. 【病毒分裂】某种病毒每轮分裂中，每个病毒会变成原来的 \( 10^2 \) 倍。若一次实验从1个病毒开始，连续进行了3轮这样的分裂，总病毒数是多少？请用幂的乘方形式表示。
2. 【细胞培养】在理想环境下，某种细胞的数量每小时增长为原来的 \( a \) 倍。一个培养皿中现有 \( a^4 \) 个细胞，经过3小时后，细胞数量将变为现在的多少倍？用含 \( a \) 的式子表示。
3. 【套娃体积】一个正方体魔方的边长是 \( b \) 厘米，它的体积是 \( b^3 \) 立方厘米。现在有 \( n \) 个这样的魔方，堆成一个更大的正方体（每边魔方数量相同），这个大正方体的体积是多少？用幂的乘方表示。
4. 【数据传输】某网络节点，每秒可以处理 \( 2^6 \) 个数据包。该节点性能升级后，其处理能力是原来的 \( (2^6)^2 \) 倍。问升级后每秒能处理多少个数据包？
5. 【利息模型】一种复利投资的年收益率是 \( r \)，本金为 \( P \)。经过 \( t \) 年，本息总额为 \( P(1+r)^t \)。如果银行宣传“收益的立方再投资”，即总收益计算方式为 \( [ (1+r)^t ]^3 \)，这实际上相当于多少年的复利效果？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( (5^2)^3 = 5^{2 \times 3} = 5^6 = 15625 \)。
2. \( (y^4)^2 = y^{4 \times 2} = y^8 \)。
3. \( [(-3)^2]^2 = (-3)^{2 \times 2} = (-3)^4 = 81 \)。（注意底数是 -3）
4. \( (m^7)^1 = m^{7 \times 1} = m^7 \)。（指数为1时，等于本身）
5. \( [(0.5)^3]^2 = (0.5)^{3 \times 2} = (0.5)^6 = 0.015625 \) 或 \( \frac{1}{64} \)。
6. \( (10^a)^b = 10^{a \times b} \)。
7. 错误。应为 \( x^6 \)。
8. 错误。\( (a^2)^3 \) 的底数是 \( a \)。\( a^2 \) 是幂，但在这个乘方运算中，\( a \) 才是那个不变的“根底数”。
9. \( (p^3)^4 \cdot p^2 = p^{12} \cdot p^2 = p^{14} \)。
10. \( (z^6)^2 \div z^8 = z^{12} \div z^8 = z^{4} \)。

第二关：中考挑战

1. 由 \( (9^m)^3 = 9^{3m} = 9^{15} \)，得 \( 3m = 15 \)，故 \( m = 5 \)。
2. 原式 \( = (-8x^6 y^3) \cdot (\frac{1}{4}x^2 y^4) = -2x^{6+2}y^{3+4} = -2x^8y^7 \)。
3. \( a^{2m+3n} = (a^m)^2 \cdot (a^n)^3 = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \times 27 = 108 \)。
4. \( 4^{49} = (2^2)^{49} = 2^{98} \)。因为 \( 2^{100} > 2^{98} \)，所以 \( 2^{100} > 4^{49} \)。
5. 原式 \( = (a-b)^{6} \cdot [(a-b)^2]^3 = (a-b)^6 \cdot (a-b)^6 = (a-b)^{12} \)。
6. \( 4^x \cdot 16^x = (2^2)^x \cdot (2^4)^x = 2^{2x} \cdot 2^{4x} = 2^{6x} \)。\( 64^3 = (2^6)^3 = 2^{18} \)。所以 \( 6x = 18 \)，\( x=3 \)。
7. 原式 \( = (8^{-1})^{2025} \times 8^{2024} = 8^{-2025} \times 8^{2024} = 8^{-1} = \frac{1}{8} \)。
8. 左边 \( = 2 \times (2^3)^x \times (2^4)^x = 2 \times 2^{3x} \times 2^{4x} = 2^{1+7x} \)。右边 \( = 2^{22} \)。所以 \( 1+7x=22 \)，解得 \( x=3 \)。
9. 原式 \( = (-2ab^2)^6 = (-2)^6 a^6 (b^2)^6 = 64 a^6 b^{12} \)。代入得 \( 64 \times (-\frac{1}{2})^6 \times 1^{12} = 64 \times \frac{1}{64} \times 1 = 1 \)。
10. 证明：左边 \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)。右边 \( (a^n)^m = a^{n \times m} \)。因为整数乘法满足交换律 \( m \times n = n \times m \)，所以左边 = 右边，得证。

第三关：生活应用

1. 总病毒数 \( = 1 \times (10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = 10^6 \)。
2. 3小时后数量为 \( a^4 \times (a)^3 = a^{4+3} = a^7 \) 个。是现在的 \( \frac{a^7}{a^4} = a^3 \) 倍。
   （也可理解为：现有 \( a^4 = (a)^4 \)，经过3次乘 \( a \)，总指数为 \( 4+3=7 \)，倍数为 \( a^{7-4}=a^3 \)。）
3. 设大正方体每边有 \( k \) 个魔方，则总体积 \( V = (k \cdot b)^3 = k^3 \cdot b^3 \) 立方厘米。
   若用 \( n \) 表示，且 \( n = k^3 \)，则 \( V = n \cdot b^3 \)。但题目要求用幂的乘方表示堆叠过程：每个魔方体积 \( b^3 \)，\( n \) 个堆成大正方体可视为 \( (b^3)^n \) 吗？不对。正确思路：大正方体边长是 \( b \cdot n^{1/3} \)，体积是 \( (b \cdot n^{1/3})^3 = b^3 \cdot n \)。本题更贴近“积的乘方”。若理解为 \( n \) 个 \( b^3 \) 相乘，即 \( (b^3)^n = b^{3n} \)，这与实际体积 \( b^3 \cdot n \) 不符，因为 \( n \) 不是指数而是系数。此题旨在引发对乘方和乘法区别的思考。
4. 升级后能力 \( = 2^6 \times (2^6)^2 = 2^6 \times 2^{12} = 2^{18} \) 个/秒。或直接 \( (2^6)^3 = 2^{18} \)。
5. \( [ (1+r)^t ]^3 = (1+r)^{3t} \)。这相当于将投资年限 \( t \) 变成了原来的 3 倍，即 \( 3t \) 年的复利效果。