[期末复习：八年级数学上册分式有意义考点总结与真题解析 | 星火网]专项练习题库

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💡 期末突击：分式有意义 核心考点速记

【开篇语：在八年级上册期末考试中，“分式有意义”是必考基础点，常出现在选择题、填空题的前几题，也可能融入解分式方程、求值等大题中。掌握不好，后续计算全盘皆输！】

• 必背概念：分式有意义的根本是分母不等于零。判断时，只关注分母，让分母≠0解出范围。而“分式值为0”则要求分子=0且分母≠0，两个条件必须同时验证！
• 阿星顺口溜：“分式若要有意义，分母绝对不能零；分式若想要为零，分子为零分母明。”
• 万能公式：
  • 对于分式 \(\frac{P(x)}{Q(x)}\)：有意义的条件是 \(Q(x) \neq 0\)。
  • 值为0的条件是 \(\begin{cases} P(x) = 0 \\ Q(x) \neq 0 \end{cases}\)。

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第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）

1. 分式 \(\frac{5}{2x-1}\) 有意义，则 \(x\) 满足的条件是______。
2. 若分式 \(\frac{x^2-9}{x-3}\) 的值为0，则 \(x\) = ______。
3. 下列各式中，无论 \(x\) 取何值，一定有意义的是（ ）
   A. \(\frac{x}{x+1}\)    B. \(\frac{x}{x^2+1}\)    C. \(\frac{x}{x^2}\)    D. \(\frac{x^2}{x}\)
4. 使分式 \(\frac{1}{(x-1)(x+2)}\) 无意义的 \(x\) 的值是______。
5. 分式 \(\frac{|y|-2}{y-2}\) 的值为0，则 \(y\) 的值为______。

第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）

1. 若分式 \(\frac{\sqrt{3-x}}{x^2-4}\) 有意义，则 \(x\) 的取值范围是______。
2. 当 \(x\) ______ 时，分式 \(\frac{2x-4}{x^2-4x+4}\) 的值为0。
3. 已知分式 \(\frac{3x+6}{x^2-4}\)，当 \(x\) 取何值时：(1) 分式有意义？ (2) 分式的值为零？
4. 如果整数 \(a\) 使得关于 \(x\) 的分式 \(\frac{ax}{x-3} + 2 = \frac{6}{x-3}\) 有正整数解，那么所有符合条件的 \(a\) 的值之和是______。
5. 已知 \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3\)，则分式 \(\frac{2x+3xy-2y}{x-2xy-y}\) 的值为______。

第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）

1. 若关于 \(x\) 的分式方程 \(\frac{m}{x-1} + \frac{3}{1-x} = 1\) 的解为非负数，则 \(m\) 的取值范围是______。
2. 已知 \(A = \frac{x^2+2x+1}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}\)。
   (1) 化简 \(A\)；
   (2) 当 \(x\) 满足不等式组 \(\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x-3 < 0 \end{cases}\)，且 \(x\) 为整数时，求 \(A\) 的值。
3. 先化简 \(\left( \frac{3}{a+1} - a + 1 \right) \div \frac{a^2-4a+4}{a+1}\)，然后从 \(-2 \le a \le 2\) 的范围内选取一个合适的整数作为 \(a\) 的值代入求值。
4. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前3天完成任务。设原计划每天生产 \(x\) 个零件，根据题意可列方程为______。
5. 观察下列等式：
   \(\frac{1}{1\times2} = 1 - \frac{1}{2}\)， \(\frac{1}{2\times3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\)， \(\frac{1}{3\times4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\)，…
   (1) 猜想并写出第 \(n\) 个等式：____________________；
   (2) 计算：\(\frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + ... + \frac{1}{n(n+1)}\)。

🤔 考前锦囊 FAQ

参考答案

第一关： 1. \(x \neq \frac{1}{2}\)   2. \(-3\)   3. B   4. \(x=1\) 或 \(x=-2\)   5. \(-2\)

第二关： 1. \(x \le 3\) 且 \(x \neq \pm2\)   2. 不存在（或填空“无解”）   3. (1) \(x \neq \pm2\) (2) \(x=-2\)   4. \(-4\)   5. \(\frac{3}{5}\)

第三关： 1. \(m \le 4\) 且 \(m \neq 1\)   2. (1) \(A=\frac{1}{x-1}\) (2) 当 \(x=2\) 时，\(A=1\)；当 \(x=1\) 时，原式无意义，舍去。   3. 化简得 \(\frac{1-a}{a-2}\)，当 \(a=-1\) 时，原式=\(-\frac{2}{3}\)（答案不唯一，注意 \(a \neq -1, 2\)）。   4. \(\frac{300}{x} - \frac{300}{2x} = 3\) 或 \(\frac{300}{x} = \frac{300}{2x} + 3\)   5. (1) \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\) (2) \(1 - \frac{1}{n+1}\)

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