你好，同学们！今天我们将一起深入探索“分数除法”的奥秘。掌握它，你就能解决很多生活中的实际问题了。

知识要点

分数除法并不难，关键在于理解“转化”的思想。

💡 核心概念

分数除法的意义和整数除法一样，都是“已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算”。简单来说，“除以一个数”就等于“乘以这个数的倒数”。为什么呢？我们可以想：把 \( 1 \) 个蛋糕平均分成 \( 4 \) 份，每份是 \( \frac{1}{4} \) 个，这和把 \( 1 \) 个蛋糕的 \( \frac{1}{4} \) 拿出来是一样的，所以 \( 1 \div 4 = 1 \times \frac{1}{4} \)。这个规律对所有数都成立。

📝 计算法则

一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数。具体步骤如下：

1. 把除以分数转化为乘以这个分数的倒数。
2. 如果被除数是整数或小数，可以把它化成分数。
3. 按照分数乘法的法则进行计算（分子乘分子，分母乘分母）。
4. 结果能约分的要约分，是假分数的通常要化成带分数或整数。

🎯 记忆口诀

“除号变乘号，除数变倒数，再按乘法算。”

🔗 知识关联

学习分数除法，你需要用到以下知识：

• 分数乘法： 分数除法的计算最后要转化为分数乘法。
• 倒数： 乘积是 \( 1 \) 的两个数互为倒数。这是进行“除转乘”变换的钥匙。
• 整数除法： 理解除法的基本意义。

易错点警示

在计算时，请务必避开这些“坑”：

❌ 错误1： 忘记将带分数化为假分数。例如：\( 2\frac{1}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7}{3} \div \frac{2}{5} = \frac{7}{3} \times \frac{5}{2} = \frac{35}{6} = 5\frac{5}{6} \)。

✅ 正解： 计算前，必须先把带分数化成假分数。

❌ 错误2： 只把除数变成倒数，但忘记把“÷”变成“×”。例如：\( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \quad \frac{2}{1} \)。

✅ 正解： 两步变换缺一不可：“除号变乘号，除数变倒数”。正确过程：\( \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{2} \)。

❌ 错误3： 在复杂的算式中，运算顺序错误。例如：\( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = 1 \div \frac{1}{2} = 2 \)。

✅ 正解： 混合运算中，先乘除后加减。正确过程：\( \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \times 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2 \)。

三例题精讲

🔥 例题1： 一辆新能源汽车行驶 \( 18 \) 公里耗电 \( \frac{6}{5} \) 度。行驶 \( 1 \) 公里耗电多少度？

📌 第一步： 理解题意。求“1公里耗电量”，需要用“总耗电量”除以“总路程”，即求 \( \frac{6}{5} \div 18 \)。

📌 第二步： 运用法则。将整数 \( 18 \) 看作 \( \frac{18}{1} \)，然后进行变换。\( \frac{6}{5} \div 18 = \frac{6}{5} \div \frac{18}{1} = \frac{6}{5} \times \frac{1}{18} \)。

📌 第三步： 计算并约分。\( \frac{6}{5} \times \frac{1}{18} = \frac{6 \times 1}{5 \times 18} = \frac{1}{15} \)。

✅ 答案： \( \frac{1}{15} \) 度。

💬 总结： 整数除以分数，先将整数化成分母为 \( 1 \) 的假分数，再计算。

🔥 例题2： 一盒药有 \( \frac{4}{5} \) 升口服液，每次喝 \( \frac{1}{10} \) 升。这盒药可以喝几次？

📌 第一步： 分析问题。“几次”就是看总量里包含几个每次的量，用除法：\( \frac{4}{5} \div \frac{1}{10} \)。

📌 第二步： 进行计算。\( \frac{4}{5} \div \frac{1}{10} = \frac{4}{5} \times \frac{10}{1} = \frac{40}{5} = 8 \)。

✅ 答案： \( 8 \) 次。

💬 总结： 这是分数除法最典型的“包含除”应用。直接利用“甲数除以乙数（乙数不为0），等于甲数乘以乙数的倒数”计算即可。

🔥 例题3： 计算：\( 2\frac{2}{3} \div 1\frac{3}{5} \)。

📌 第一步： 处理带分数。将两个带分数都化为假分数。\( 2\frac{2}{3} = \frac{8}{3} \)， \( 1\frac{3}{5} = \frac{8}{5} \)。

📌 第二步： 转化为乘法。原式 \( = \frac{8}{3} \div \frac{8}{5} = \frac{8}{3} \times \frac{5}{8} \)。

📌 第三步： 约分计算。\( \frac{8}{3} \times \frac{5}{8} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \)。

✅ 答案： \( 1\frac{2}{3} \)。

💬 总结： 遇到带分数除法，第一步永远是化为假分数，这是最关键的步骤，能避免很多计算错误。

练习题（10道）

1. 直接写出得数：\( \frac{3}{4} \div 3 = \)
2. 直接写出得数：\( 6 \div \frac{2}{7} = \)
3. 计算：\( \frac{9}{10} \div \frac{3}{5} \)
4. 计算：\( \frac{5}{8} \div \frac{15}{16} \)
5. 一个正方形的周长是 \( \frac{8}{9} \) 米，它的边长是多少米？
6. 小明 \( \frac{2}{3} \) 小时走了 \( 2 \) 千米，他每小时走多少千米？
7. 计算：\( 1\frac{1}{2} \div \frac{5}{6} \)
8. 计算：\( 2\frac{2}{5} \div 1\frac{1}{5} \)
9. 一桶油重 \( \frac{9}{10} \) 千克，用去了 \( \frac{1}{3} \)，用去了多少千克？（提示：先判断用什么运算）
10. 一桶油重 \( \frac{9}{10} \) 千克，用去了 \( \frac{1}{3} \) 千克，还剩多少千克？

奥数挑战（10道）

1. 计算：\( (1 - \frac{1}{2}) \div (1 - \frac{1}{3}) \div (1 - \frac{1}{4}) \div ... \div (1 - \frac{1}{2024}) \)
2. 已知 \( a \times \frac{3}{4} = b \div \frac{3}{4} = c \times \frac{4}{5} = d \div \frac{4}{5} \)，且 \( a, b, c, d \) 均不为 \( 0 \)。请将 \( a, b, c, d \) 按从大到小的顺序排列。
3. 算式 \( \frac{1}{2 \times 4} + \frac{1}{4 \times 6} + \frac{1}{6 \times 8} + ... + \frac{1}{2022 \times 2024} \) 的结果的整数部分是多少？
4. 一个分数，分子与分母的和是 \( 122 \)，如果分子、分母都减去 \( 19 \)，得到的新分数可以约分为 \( \frac{1}{5} \)。原分数是多少？
5. 计算：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} \)
6. 若 \( \frac{1}{2000} = \frac{1}{( )} - \frac{1}{( )} \)，括号中填两个不同的自然数，使等式成立（写出一种即可）。
7. 小明在计算一个数除以 \( \frac{4}{5} \) 时，看成了乘 \( \frac{4}{5} \)，结果算出来的答案是 \( \frac{8}{25} \)。请问正确的答案应该是多少？
8. 已知 \( \frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6} \)，且 \( A \) 和 \( B \) 是不同的自然数。求 \( A \) 和 \( B \) 的值（写出所有可能）。
9. 计算：\( 2023 \div 2023\frac{2023}{2024} \)
10. 一筐苹果，先拿出 \( \frac{1}{2} \) 多 \( 1 \) 个给甲，再拿出余下的 \( \frac{1}{2} \) 多 \( 1 \) 个给乙，最后剩下 \( 5 \) 个。这筐苹果原来有多少个？

生活应用（5道）

1. （高铁速度） “复兴号”高铁 \( \frac{2}{3} \) 小时行驶了 \( 400 \) 公里。照这样的速度，它行驶 \( 1 \) 小时能走多少公里？
2. （航天科技） 嫦娥五号探测器带回的月壤样品重 \( 1.731 \) 千克，计划平均分给 \( \frac{1}{3} \) 个合作科研机构。每个机构能分到多少千克？（先用分数表示，再化为小数）
3. （AI训练） 一个人工智能模型训练一批数据需要 \( 12 \) 小时。现在采用了新的分布式算法，效率是原来的 \( \frac{5}{4} \) 倍。用新算法训练这批数据需要多少小时？
4. （环保回收） 一个智能垃圾分类站，\( \frac{4}{5} \) 天可以处理 \( \frac{16}{25} \) 吨可回收垃圾。它平均每天能处理多少吨这样的垃圾？
5. （网购优惠） 小红的妈妈在网上看中一件衣服，原价 \( 360 \) 元。“双十一”当天，先降价 \( \frac{1}{6} \)，再叠加使用一张“满 \( 300 \) 减 \( 50 \)”的优惠券。她最终需要支付多少钱？（提示：注意运算顺序）