知识要点

💡 核心概念

圆是一个“完美”的曲线图形，它的核心在于“一中同长”。也就是说，在同一个圆里，有一个中心点（圆心），图形上所有的点到这个中心的距离都完全相等，这个固定的距离叫做半径。

扇形是圆的一部分，像一把折扇或者一块披萨。它是由圆的两条半径和这两条半径所夹的圆弧围成的。

📝 计算法则

1. 圆的周长（用C表示）

周长就是绕圆一圈的长度。

公式：\( C = \pi d \) 或 \( C = 2\pi r \)

其中，\( \pi \) (读作“派”)是一个固定的数，约等于 \( 3.14 \)。d是直径，r是半径。

计算步骤：先看清题目给的是直径还是半径，然后选择合适的公式代入计算。

2. 圆的面积（用S表示）

面积就是圆面的大小。

公式：\( S = \pi r^2 \)

关键：这里的 \( r^2 \) 表示 \( r \times r \)，一定要先算半径的平方，再乘以 \( \pi \)。

推导记忆：可以把圆平均分成很多小扇形，拼成一个近似的长方形，长方形的长是圆周长的一半 (\( \pi r \))，宽是半径 (r)，所以面积是 \( \pi r \times r = \pi r^2 \)。

3. 扇形的周长与面积

扇形是圆的一部分，所以它的计算都和“占圆的几分之几”有关。

① 扇形弧长 (l)：它所对的那段圆弧的长度。

公式：\( l = \frac{n}{360} \times 2\pi r \) (n是圆心角的度数)

② 扇形周长：除了弧长，还要加上两条半径。\( C_{扇形} = l + 2r \)

③ 扇形面积：\( S_{扇形} = \frac{n}{360} \times \pi r^2 \)

🎯 记忆口诀

圆周长， “派d”或“二派r”；

圆面积， “派乘半径再平方”；

遇扇形， 先看圆心角几度；

除以三百六， 再乘圆的公式就对了！

🔗 知识关联

1. 周长概念：在三年级学习长方形、正方形周长时建立的概念，同样适用于圆的周长——封闭图形一周的长度。

2. 面积概念与转化思想：在平行四边形、三角形面积推导中，我们用过“割补、拼接”的方法，将新图形转化成已学图形。圆的面积公式推导也用了同样的思想（化曲为直）。

3. 分数乘法：计算扇形弧长和面积时， \( \frac{n}{360} \) 就是一个分数，求扇形相关的量就是“求一个圆的几分之几是多少”，用分数乘法解决。

易错点警示

❌ 错误1：直径半径傻傻分不清，公式代错。

→ ✅ 正解：做题时先圈出关键词，判断题目给的是直径(d)还是半径(r)。用公式 \( C = \pi d \) 或 \( C = 2\pi r \)， \( S = \pi r^2 \)。

❌ 错误2：求半圆的周长时，只算了圆弧长度，忘了加直径。

→ ✅ 正解：半圆周长 = 圆周长的一半 + 直径。即 \( \frac{1}{2} \times 2\pi r + d = \pi r + 2r \)。

❌ 错误3：计算圆的面积时，把 \( r^2 \) 算成 \( r \times 2 \)。

→ ✅ 正解：\( r^2 \) 表示两个r相乘，不是r乘以2。例如 \( r=3 \)，则 \( r^2 = 3 \times 3 = 9 \)，而不是 \( 3 \times 2 = 6 \)。

例题精讲

🔥 例题1：一个圆形花坛的直径是10米，丽丽绕着花坛走了3圈，她一共走了多少米？

📌 第一步： 求一圈（周长）。已知直径 d = 10米，周长 \( C = \pi d = 3.14 \times 10 = 31.4 \) (米)。

📌 第二步： 求3圈的长度。 \( 31.4 \times 3 = 94.2 \) (米)。

✅ 答案： 她一共走了 \( 94.2 \) 米。

💬 总结： “绕圈走”问题，先求一圈周长，再乘圈数。

🔥 例题2：上题中的圆形花坛，它的占地面积是多少？

📌 第一步： 已知直径 d = 10米，则半径 \( r = 10 \div 2 = 5 \) (米)。

📌 第二步： 代入面积公式 \( S = \pi r^2 = 3.14 \times 5^2 = 3.14 \times 25 \)。

📌 第三步： 计算 \( 3.14 \times 25 = 78.5 \)。

✅ 答案： 花坛的占地面积是 \( 78.5 \) 平方米。

💬 总结： 求面积必须用半径。如果给直径，先“÷2”求半径，再代入面积公式。

🔥 例题3：一把扇子的展开形状是一个圆心角为120°，半径为15厘米的扇形。这把扇子扇面的面积是多少？

📌 第一步： 理解题意。求扇形面积，圆心角 n=120°，半径 r=15 厘米。

📌 第二步： 代入扇形面积公式。 \( S_{扇形} = \frac{n}{360} \times \pi r^2 = \frac{120}{360} \times 3.14 \times 15^2 \)。

📌 第三步： 逐步计算。先约分： \( \frac{120}{360} = \frac{1}{3} \)。再算 \( 15^2 = 225 \)。最后计算 \( \frac{1}{3} \times 3.14 \times 225 = 3.14 \times 75 = 235.5 \)。

✅ 答案： 这把扇子扇面的面积是 \( 235.5 \) 平方厘米。

💬 总结： 扇形是圆的一部分。公式 \( \frac{n}{360} \) 就是计算扇形占整个圆的几分之几，计算时先约分能更简便。

练习题（10道）

1. 一个圆的半径是4厘米，它的周长是多少厘米？

2. 一个圆的直径是8分米，它的面积是多少平方分米？

3. 用一根长62.8米的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的半径是多少米？

4. 一个钟面的分针长10厘米，从12走到3，分针尖端走过的路程是多少厘米？

5. 一个圆心角是90°，半径是6米的扇形草坪，它的面积是多少？

6. 一个半圆的半径是5厘米，求这个半圆的周长。

7. 小圆的直径是大圆半径的2倍，小圆周长是大圆周长的几分之几？

8. 在一个边长为10厘米的正方形内剪一个最大的圆，这个圆的面积是多少？剩下部分的面积是多少？

9. 一个圆形喷水池，周长是50.24米，它的占地面积是多少平方米？

10. 一个扇形，半径是8厘米，弧长是12.56厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？

奥数挑战（10道）

1. （捆扎问题）把3个直径都是2分米的圆柱形钢管用铁丝捆在一起（扎一圈），不计接头，至少需要多长的铁丝？

2. 一只羊被拴在边长为5米的等边三角形建筑物一个顶点上，绳子长7米。求羊能吃到草的最大区域面积。

3. 如图，正方形边长为4厘米，求阴影部分的周长。（可描述：四个角是四个半径为2厘米的四分之一圆，中间是正方形，阴影是四角花瓣形）

4. 一个圆的半径增加它的 \( \frac{1}{3} \)，面积增加 \( 56 \) 平方厘米。求原来圆的面积。

5. （滚动问题）一个半径为1厘米的小圆，沿着一个半径为5厘米的大圆外边缘滚动一圈。请问小圆自己转动了几圈？

6. 下图中，直角三角形ABC的三条边分别为6厘米、8厘米、10厘米，分别以三条边为直径画三个半圆，求阴影部分的面积。（可描述：阴影在两个小半圆和三角形内，不在大半圆内）

7. 一个扇形周长是28.56厘米，圆心角是90°，求这个扇形的面积。

8. 求图中阴影部分的面积。（可描述：一个大圆内有两个互相垂直的直径，以每条半径为直径各画一个小半圆，形成4片“叶子”阴影）

9. 如图，等边三角形边长为6厘米，将三个顶点作为圆心，边长的一半为半径画弧，求三条弧围成的图形（莱洛三角形）的周长。

10. 大圆半径为6厘米，阴影部分面积比小圆阴影部分面积大 \( 28.26 \) 平方厘米，求小圆半径。（可描述：一个大圆内有一个同心小圆，求圆环的一部分？或理解为：大圆面积 - 小圆面积 = 28.26）

生活应用（5道）

1. （高铁） 我国最新型“复兴号”高铁车轮的直径是 \( 0.85 \) 米。如果它以 \( 350 \) 千米/时的速度行驶，车轮每分钟大约转多少圈？（结果保留整数）

2. （航天） 中国空间站的轨道近似为圆形，距地球表面约 \( 400 \) 千米。已知地球半径约为 \( 6400 \) 千米，请你估算空间站绕地球运行一圈的轨道长度约是多少千米？

3. （AI与环保） 一个AI智能洒水器旋转喷洒，最远射程（半径）是5米。如果它旋转 \( 120 \) °进行喷洒，一次能覆盖多大面积的绿地？

4. （网购与包装） 一个圆柱形茶叶罐底面直径是10厘米，高是20厘米。商家要用泡沫垫在罐子周围进行防撞包装，至少需要多大面积的单层泡沫纸来包裹侧面？

5. （城市规划） 一个新建的圆形环保主题公园，设计师计划在圆心角为 \( 72 \) °的扇形区域全部安装太阳能板。如果公园半径是 \( 50 \) 米，安装太阳能板的区域面积是多少？