分数乘法完整学习资料（六年级）

知识要点

💡 核心概念

分数乘法可以理解为“求一个数的几分之几是多少”。例如，一盒蛋糕有1千克，吃了 \( \frac{2}{5} \) 盒，就是求1千克的 \( \frac{2}{5} \) 是多少。我们可以通过画图来理解：把1千克平均分成5份，取其中的2份，每份是 \( \frac{1}{5} \) 千克，2份就是 \( \frac{2}{5} \) 千克。所以，\( 1 \times \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \)。当乘数也是分数时，如 \( \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} \)，可以理解为“求 \( \frac{2}{3} \) 的 \( \frac{4}{5} \) 是多少”。

📝 计算法则

1. 分数乘分数：用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

   公式：\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \) （b, d ≠ 0）

2. 分数乘整数：整数可以看作分母是1的分数，再按分数乘分数计算。

   即：\( m \times \frac{a}{b} = \frac{m}{1} \times \frac{a}{b} = \frac{m \times a}{b} \)

3. 计算步骤：
   • 第一步：先约分。将相乘的两个分数分子和分母之间能约分的先交叉约掉。
   • 第二步：相乘。用约分后的分子相乘得新分子，分母相乘得分母。
   • 第三步：化简。如果结果是假分数，通常要化成带分数或整数。

🎯 记忆口诀

分数乘法并不难，分子分母分开算。

子子相乘得新子，母母相乘得新母。

约分先行更轻松，结果化简莫忘记。

🔗 知识关联

• 与“整数乘法意义”关联：都是“求几个相同加数和的简便运算”。例如 \( \frac{2}{9} \times 3 \) 就是3个 \( \frac{2}{9} \) 相加。
• 与“分数的意义”关联：分数表示“平均分”后的部分，分数乘法则是求这个“部分”的“部分”。
• 与“约分（分数的基本性质）”关联：计算过程中的先约分，依赖于分子分母同时除以相同的数（0除外），分数大小不变。

易错点警示

1. ❌ 错误1：整数与分数相乘时，整数只和分子相乘，或错误地与分母相乘。

   错误：\( 6 \times \frac{3}{4} = \frac{6 \times 4}{3} \) 或 \( \frac{6}{3 \times 4} \)

   ✅ 正解： 先把整数化成分数再计算：\( 6 \times \frac{3}{4} = \frac{6}{1} \times \frac{3}{4} = \frac{6 \times 3}{1 \times 4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \)

2. ❌ 错误2：混淆分数乘法与分数加法的计算法则。

   错误：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5} \) （这是加法错误示例）

   错误：\( \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5} \) （这是乘法中用了加法法则）

   ✅ 正解： 牢记分数加减要“先通分，后加减”；分数乘法是“分子乘分子，分母乘分母”：\( \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6} \)

3. ❌ 错误3：运算顺序错误，尤其是当有整数和分数混合运算时。

   错误：\( 2 \times \frac{1}{2} + 3 = 2 \times (\frac{1}{2} + 3) \)

   ✅ 正解： 在没有括号的情况下，先算乘法，再算加法：\( 2 \times \frac{1}{2} + 3 = 1 + 3 = 4 \)

三例题精讲

🔥 例题1：小明的妈妈买了一个西瓜，小明吃了这个西瓜的 \( \frac{1}{4} \)，妹妹吃了小明那份的 \( \frac{2}{3} \)。妹妹吃了整个西瓜的几分之几？

📌 第一步：理解题意。 “妹妹吃了小明那份的 \( \frac{2}{3} \)”，就是求 \( \frac{1}{4} \) 的 \( \frac{2}{3} \) 是多少，用乘法。

📌 第二步：列式计算。 \( \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \)

📌 第三步：计算并化简。 可以先约分，2和4有公因数2，约分后：\( \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 1}{2 \times 3} = \frac{1}{6} \)

✅ 答案： \( \frac{1}{6} \)

💬 总结： 遇到“一个量的几分之几”这类问题，找准单位“1”，直接用乘法计算。

🔥 例题2：计算 \( 2\frac{2}{5} \times 1\frac{1}{4} \)，并将结果化成最简形式。

📌 第一步：化带分数为假分数。 \( 2\frac{2}{5} = \frac{2 \times 5 + 2}{5} = \frac{12}{5} \)， \( 1\frac{1}{4} = \frac{1 \times 4 + 1}{4} = \frac{5}{4} \)

📌 第二步：相乘并约分。 \( \frac{12}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{12 \times 5}{5 \times 4} \)

📌 第三步：先约分再计算。 分子12和分母4有公因数4，分子5和分母5有公因数5，约分后：\( \frac{12 \times 5}{5 \times 4} = \frac{3 \times 1}{1 \times 1} = 3 \)

✅ 答案： 3

💬 总结： 带分数乘法一定要先化成假分数再计算。先观察分子分母，能约分的先约分，计算会非常简便。

🔥 例题3：一个长方形的长是 \( \frac{7}{8} \) 米，宽是长的 \( \frac{2}{3} \)。这个长方形的面积是多少平方米？

📌 第一步：先求宽。 宽 = 长 × \( \frac{2}{3} \) = \( \frac{7}{8} \times \frac{2}{3} = \frac{7 \times 1}{4 \times 3} = \frac{7}{12} \) (米)。

📌 第二步：求面积。 长方形面积 = 长 × 宽 = \( \frac{7}{8} \times \frac{7}{12} \)。

📌 第三步：计算。 \( \frac{7}{8} \times \frac{7}{12} = \frac{7 \times 7}{8 \times 12} = \frac{49}{96} \)。

✅ 答案： \( \frac{49}{96} \) 平方米。

💬 总结： 分步应用题，要理清数量关系，一步一步计算。注意面积单位是“平方米”。

练习题（10道）

1. 直接写出得数：\( \frac{3}{7} \times 2 \)
2. 直接写出得数：\( \frac{5}{9} \times \frac{3}{10} \)
3. 计算：\( \frac{11}{12} \times \frac{9}{22} \)
4. 计算：\( 5 \times 1\frac{3}{5} \)
5. 在○里填上“>”、“<”或“=”：\( \frac{5}{6} \times \frac{8}{9} \) ○ \( \frac{5}{6} \)
6. 一瓶果汁有 \( \frac{4}{5} \) 升，小华喝了这瓶果汁的 \( \frac{1}{4} \)，他喝了多少升？
7. 一根绳子长12米，第一次用去全长的 \( \frac{1}{3} \)，第二次用去剩下的 \( \frac{1}{4} \)，第二次用去多少米？
8. 一个平行四边形的底是 \( \frac{13}{5} \) 分米，高是底的 \( \frac{5}{13} \)，它的面积是多少平方分米？
9. 实验小学六年级有男生180人，女生人数是男生的 \( \frac{5}{6} \)。六年级一共有学生多少人？
10. 计算：\( \frac{5}{8} \times \frac{4}{15} \times \frac{9}{10} \)

奥数挑战（10道）

1. 计算：\( (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{4}) \times ... \times (1 - \frac{1}{2024}) \)
2. 已知 \( A = \frac{333}{2222} \)， \( B = \frac{4444}{33333} \)， 比较 A 和 B 的大小。
3. 计算：\( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ... + \frac{1}{2450} \) （提示：\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \)）
4. 一本书，第一天读了全书的 \( \frac{1}{5} \)，第二天读了余下的 \( \frac{1}{3} \)，这时还剩80页没读。这本书共有多少页？
5. 计算：\( 2023 \times \frac{2021}{2022} \)
6. 两个连续自然数的倒数的积是 \( \frac{1}{182} \)，这两个自然数分别是多少？
7. 计算：\( (1 + \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{2}) \times (1 + \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times ... \times (1 + \frac{1}{99}) \times (1 - \frac{1}{99}) \)
8. 一筐苹果，先拿出140个，又拿出余下的 \( \frac{3}{5} \)，这时剩下的苹果正好是原来总数的 \( \frac{1}{6} \)。这筐苹果原来有多少个？
9. 已知 \( a \times \frac{3}{4} = b \times \frac{4}{5} = c \times \frac{5}{6} \) (a, b, c均不为0)，请将a, b, c按从大到小的顺序排列。
10. 计算：\( \frac{1}{1 \times 2 \times 3} + \frac{1}{2 \times 3 \times 4} + \frac{1}{3 \times 4 \times 5} + ... + \frac{1}{8 \times 9 \times 10} \)

生活应用（5道）

1. （高铁） “复兴号”高铁的运行时速是350千米/时。一列“复兴号”行驶了 \( \frac{2}{5} \) 小时，它行驶了多少千米？
2. （航天） 中国空间站每90分钟绕地球一圈。在一次观测任务中，科学家需要观测其 \( \frac{5}{6} \) 圈轨道的运行数据。这次观测任务持续多少分钟？
3. （AI与环保） 某AI植树机器人规划了一片长方形植树区，长 \( \frac{8}{9} \) 千米，宽是长的 \( \frac{3}{4} \)。这片植树区的面积是多少平方千米？
4. （网购） 双十一大促，一件原价480元的外套先降价 \( \frac{1}{8} \) 参加预售，付尾款时还能再享受预售价的 \( \frac{9}{10} \)。小明最终需要支付多少钱？
5. （新能源） 一块新型太阳能电池板，在标准光照下每小时可发电 \( \frac{7}{10} \) 度。如果一天有 \( 4\frac{1}{2} \) 小时是这样的标准光照，这块电池板一天能发电多少度？