知识要点

💡 核心概念

百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分比或百分率。百分号“%”是它的标志，读作“百分之…”。它表示的是两个数之间的倍比关系，不表示具体的数量。例如，“今天出勤率是95%”，表示出勤人数是总人数的 \( \frac{95}{100} \) 倍。

📝 计算法则

1. 求一个数是另一个数的百分之几：用“比较量”除以“标准量”，结果化成百分数。

公式：\( \frac{\text{比较量}}{\text{标准量}} \times 100\% \)

2. 求一个数的百分之几是多少：用这个数乘以百分数。

公式：\( \text{单位“1”的量} \times \text{百分率} = \text{对应量} \)

3. 已知一个数的百分之几是多少，求这个数：用已知量除以对应的百分率。

公式：\( \text{已知量} \div \text{百分率} = \text{单位“1”的量} \)

🎯 记忆口诀

“是比占，相当于，单位一在‘的’前边”。意思是：在问题中找标准量（单位“1”）时，看“是”、“比”、“占”、“相当于”这些字后面的量，或者“的”字前面的量。

🔗 知识关联

百分数是分数和小数的“特殊外套”。百分数可以看作分母是100的分数，所以它和小数、分数可以互相转化：

小数 → 百分数：小数点向右移两位，加“%”。例：\( 0.25 = 25\% \)

百分数 → 小数：去掉“%”，小数点向左移两位。例：\( 75\% = 0.75 \)

分数 → 百分数：先化成小数，再化成百分数。例：\( \frac{1}{4} = 0.25 = 25\% \)

易错点警示

❌ 错误1：计算时忽略百分号，直接运算。

→ 错误做法：求20的5%：\( 20 \times 5 = 100 \)

→ ✅ 正解：先将百分数化为小数或分数：\( 20 \times 5\% = 20 \times 0.05 = 1 \) 或 \( 20 \times \frac{5}{100} = 1 \)

❌ 错误2：求百分率时，忘记乘100%。

→ 错误做法：50人中有2人请假，出勤率：\( \frac{48}{50} = 0.96 \)

→ ✅ 正解：出勤率是百分数，必须乘100%：\( \frac{48}{50} \times 100\% = 0.96 \times 100\% = 96\% \)

❌ 错误3：混淆“多（少）百分之几”与“是（占）百分之几”。

→ 错误做法：A有50，B有40，B比A少百分之几？ \( \frac{40}{50} = 80\% \)，答：少80%。

→ ✅ 正解：“B比A少”是比较差量，差量要和“比”后面的A（标准量）比：\( \frac{50-40}{50} \times 100\% = \frac{10}{50} \times 100\% = 20\% \)

例题精讲

🔥 例题1

六（1）班有45名学生，今天有1人请假，2人迟到。求今天的出勤率。（结果保留一位小数）

📌 第一步：理解概念。出勤率 = 出勤人数 ÷ 总人数 × 100%。

📌 第二步：找出相关量。总人数45人，出勤人数 = \( 45 - 1 = 44 \)人。

📌 第三步：列式计算。\( \frac{44}{45} \times 100\% \approx 0.9778 \times 100\% \approx 97.8\% \)。

✅ 答案：今天的出勤率约为 \( 97.8\% \)。

💬 总结：求百分率，牢记公式，结果必须是百分数形式。

🔥 例题2

一款手机原价2500元，先涨价10%，再降价10%出售。现在的售价是多少元？比原价贵了还是便宜了？

📌 第一步：先计算涨价后的价格。涨价10%是以原价为标准：\( 2500 \times (1 + 10\%) = 2500 \times 1.1 = 2750 \) (元)。

📌 第二步：再计算降价后的价格。降价10%是以涨价后的价格（2750元）为标准：\( 2750 \times (1 - 10\%) = 2750 \times 0.9 = 2475 \) (元)。

📌 第三步：比较。\( 2475 < 2500 \)，所以比原价便宜了。

✅ 答案：现在的售价是2475元，比原价便宜了。

💬 总结：连续增减百分比时，每一次的标准量都不同，要一步一步算清楚。

🔥 例题3

书店开展促销活动，所有图书一律“九折”出售。小明买了一套书，节省了18元。这套书原价多少元？

📌 第一步：理解折扣。“九折”即现价是原价的90%。节省的钱是原价的 \( 1 - 90\% = 10\% \)。

📌 第二步：找对应关系。已知“节省的18元”对应“原价的10%”。

📌 第三步：用“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”的方法计算。\( 18 \div 10\% = 18 \div 0.1 = 180 \) (元)。

✅ 答案：这套书原价180元。

💬 总结：折扣问题中，找准“节省的钱”对应的百分率是关键。

练习题（10道）

把下面的小数和分数化成百分数：\( 0.38 \); \( \frac{3}{5} \); \( 1.05 \); \( \frac{7}{8} \)。
把下面的百分数化成小数和分数：\( 45\% \); \( 120\% \); \( 6.5\% \); \( 33\frac{1}{3}\% \)。
六（2）班共50人，在一次数学测验中，有45人及格。求这次测验的及格率。
一片树林有800棵树，其中杨树占40%，杨树有多少棵？
一本故事书有120页，小明第一天读了全书的25%，第二天读了全书的30%。两天一共读了多少页？
一个工厂上月生产零件5000个，本月比上月增产12%。本月生产零件多少个？
油菜籽的出油率是42%。要榨出210千克的菜籽油，需要多少千克油菜籽？
一款视频播放量昨天是200万次，今天是240万次。今天的播放量比昨天增加了百分之几？
商场“满100减20”，相当于打几折？
小华将自己的压岁钱1500元存入银行，定期一年，年利率是1.5%。到期后他可以取回多少元？（不计利息税）

奥数挑战（10道）

甲数比乙数多25%，那么乙数比甲数少百分之几？
一种商品先提价10%，再降价10%，现价是原价的百分之几？
一杯糖水，含糖率为20%。加入10克糖和40克水后，糖水变浓了还是变淡了？
某校男生人数占总人数的60%，男生比女生多48人。全校共有学生多少人？
一本书，第一天看了全书的20%，第二天看了余下的30%，还剩168页没看。这本书共有多少页？
有两堆沙子，从第一堆运走40%，从第二堆运走 \( \frac{2}{5} \)，这时第一堆剩下的沙子是第二堆剩下的2倍。已知两堆沙子原来共重72吨，求第二堆沙子原有多少吨？
一种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的80%出售，则亏损832元。商品的购入价是多少元？
某商店同时卖出两件商品，每件各卖得60元，但其中一件赚了20%，另一件亏了20%。这个商店卖出这两件商品是赚了还是亏了？
容器中有浓度为10%的盐水100克，加入多少克水后，浓度变为8%？
某次数学竞赛，原定一等奖10人，二等奖20人。现在将一等奖后4人调整为二等奖，这样一等奖的平均分提高了3分，二等奖的平均分提高了1分。原来一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？

生活应用（5道）

【高铁】“复兴号”高铁的运行时速可达350公里，比原来“和谐号”的时速快了约40%。原来“和谐号”的时速大约是多少公里？（得数保留整数）
【航天】中国空间站“天和”核心舱的太阳能帆板展开后，供电能力可达100千瓦以上。如果空间站某时刻的实际用电功率是供电能力的68%，此时大约使用了多少千瓦电力？
【AI】一个人脸识别系统的识别准确率宣称达到99.5%。在一次对1万张人脸的测试中，预计会有多少张脸可能出现识别错误？
【环保】在植树活动中，同学们计划种400棵树，第一天完成了计划的35%，第二天完成了余下的40%。还需要种多少棵树才能完成计划？
【网购】妈妈在某电商平台看中一件标价480元的外套，平台有“每满300元减50元”的优惠，同时店铺还有“关注立享9.5折”的券。妈妈最后应付多少元？

参考答案与解析

【练习题答案】

\( 38\% \); \( 60\% \); \( 105\% \); \( 87.5\% \) ( \( \frac{7}{8}=0.875 \) )

\( 0.45, \frac{9}{20} \); \( 1.2, \frac{6}{5} \); \( 0.065, \frac{13}{200} \); \( 0.\dot{3}, \frac{1}{3} \)

\( \frac{45}{50} \times 100\% = 90\% \)

\( 800 \times 40\% = 320 \) (棵)

\( 120 \times (25\% + 30\%) = 120 \times 0.55 = 66 \) (页)

\( 5000 \times (1 + 12\%) = 5000 \times 1.12 = 5600 \) (个)

\( 210 \div 42\% = 210 \div 0.42 = 500 \) (千克)

\( \frac{240-200}{200} \times 100\% = \frac{40}{200} \times 100\% = 20\% \)

“满100减20”，实际付80元，折扣为 \( \frac{80}{100} = 80\% \)，即八折。

利息：\( 1500 \times 1.5\% = 22.5 \) (元)，取回：\( 1500 + 22.5 = 1522.5 \) (元)。

【奥数挑战答案】

答案：20%。解析：设乙数为100，则甲数为125。乙比甲少 \( (125-100) \)，这个差占甲数的 \( \frac{25}{125} = 0.2 = 20\% \)。

答案：99%。解析：设原价为100。提价后为 \( 100 \times (1+10\%)=110 \)，再降价后为 \( 110 \times (1-10\%)=99 \)。现价是原价的 \( \frac{99}{100} = 99\% \)。

答案：变淡了。解析：原糖水浓度20%。加入的10克糖和40克水，新加入部分的浓度是 \( \frac{10}{10+40} = 20\% \)。浓度相同的糖水混合，总体浓度不变。

答案：240人。解析：女生占 \( 1 - 60\% = 40\% \)。男生比女生多总人数的 \( 60\% - 40\% = 20\% \)，这20%对应48人。总人数为 \( 48 \div 20\% = 240 \) (人)。

答案：300页。解析：设全书共x页。第一天后剩下 \( x \times (1-20\%) = 0.8x \) 页。第二天看了 \( 0.8x \times 30\% = 0.24x \) 页。最后剩下 \( x - 0.2x - 0.24x = 0.56x \) 页，对应168页。所以 \( 0.56x = 168 \)， \( x = 300 \)。

答案：40吨。解析：设第二堆原有x吨，则第一堆原有 \( 72 - x \) 吨。运走后，第一堆剩 \( (72-x) \times (1-40\%) \)，第二堆剩 \( x \times (1-\frac{2}{5}) \)。根据“第一堆剩下是第二堆剩下的2倍”列方程：\( 0.6(72-x) = 2 \times 0.6x \)。解得 \( x=40 \)。（注意：第二堆运走 \( \frac{2}{5} \) 即40%，剩下60%）

答案：8000元。解析：设定价为P，购入价为C。由题意：\( P - C = 960 \)；\( P \times 80\% - C = -832 \)。两式相减得：\( P - 0.8P = 960 - (-832) \)，即 \( 0.2P = 1792 \)， \( P = 8960 \)。代入第一式得 \( C = 8960 - 960 = 8000 \)。

答案：亏了5元。解析：赚钱的那件成本：\( 60 \div (1+20\%) = 50 \) (元)，赚10元。亏钱的那件成本：\( 60 \div (1-20\%) = 75 \) (元)，亏15元。总利润：\( 10 - 15 = -5 \) (元)，所以亏5元。

答案：25克。解析：盐水中盐的质量不变，为 \( 100 \times 10\% = 10 \) (克)。加水后浓度为8%，则总溶液质量 = \( 10 \div 8\% = 125 \) (克)。所以需加水 \( 125 - 100 = 25 \) (克)。

答案：10.5分。解析：设原来一等奖平均分为A，二等奖平均分为B。总分关系：调整前，一等奖总分 \( 10A \)，二等奖总分 \( 20B \)。调整后，一等奖6人，平均分 \( A+3 \)，总分 \( 6(A+3) \)；二等奖24人，平均分 \( B+1 \)，总分 \( 24(B+1) \)。调整前后总分数相等：\( 10A+20B = 6(A+3)+24(B+1) \)。化简：\( 10A+20B = 6A+18+24B+24 \) → \( 4A - 4B = 42 \) → \( A - B = 10.5 \)。

【生活应用答案】

设“和谐号”时速为v公里。\( v \times (1+40\%) = 350 \)， \( v = 350 \div 1.4 = 250 \) (公里)。

\( 100 \times 68\% = 68 \) (千瓦)。（使用近似值）

错误率：\( 1 - 99.5\% = 0.5\% \)。预计错误数：\( 10000 \times 0.5\% = 50 \) (张)。

第一天种：\( 400 \times 35\% = 140 \) (棵)，剩余 \( 400-140=260 \) (棵)。第二天种：\( 260 \times 40\% = 104 \) (棵)。还需种：\( 400 - 140 - 104 = 156 \) (棵)。

先打折：\( 480 \times 95\% = 456 \) (元)。再满减：456元满足一次“满300减50”，应付 \( 456 - 50 = 406 \) (元)。

六年级百分数知识点总结：必考题型解题技巧与练习题(含答案)