六年级数学工程问题专项练习PDF下载 | 期末考点总结+真题解析 | 星火网
适用年级
六年级
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-31
💡 期末突击：应用：工程问题 核心考点速记
【开篇语：在六年级上册期末考试中，“工程问题”是应用题部分的绝对重点，必出一道分数应用题大题，同时在填空、选择中也常出现。掌握核心模型，这几分就能稳稳到手！】
- 必背概念：把一项工程的总工作量看作单位“1”。工作效率 = 1 ÷ 工作时间。合作效率就是各人效率之和。就像阿星说的经典例子：甲独做10天，乙独做15天。总量是1，甲效率1/10，乙效率1/15。合做时间=1÷(1/10+1/15)=6天。
- 阿星顺口溜：工程总量当作“1”，效率就用“1”来除。合作效率加起来，“1”除效率得时间。
- 万能公式：
- 工作效率 = $$ \frac{工作总量}{工作时间} $$
- 工作时间 = $$ \frac{工作总量}{工作效率} $$
- 工作总量 = 工作效率 × 工作时间
- 核心公式（单位“1”时）：合作完成时间 = $$ \frac{1}{效率_1 + 效率_2 + …} $$
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1：效率加错。“甲队单独修需要12天，乙队需要8天，两队合作几天完成？” 学生错误列式：1 ÷ (12 + 8)。
- ✅ 满分规范：工作效率是时间的倒数！必须转化为：1 ÷ (1/12 + 1/8)。扣分原因：混淆了“时间”与“效率”的概念。
- ❌ 常见错解2：步骤不完整，直接写结果。解题过程只有“1÷(1/10+1/15)=6(天)”。
- ✅ 满分规范：必须写出关键步骤，展示思考过程。标准格式：
解：设工作总量为1。
甲的工作效率：1 ÷ 10 = 1/10
乙的工作效率：1 ÷ 15 = 1/15
甲乙合作效率和：1/10 + 1/15 = 1/6
合作所需时间：1 ÷ (1/6) = 6 (天)
答：两队合作需要6天完成。
扣分原因：应用题缺少必要的“设”和“答”，或计算过程跳跃太大，可能被扣步骤分。
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：一项工程，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成。甲、乙的工作效率比是（ ）。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：识别考点是“求工作效率比”。工作效率 = 1/工作时间。
- 第二步：甲效 = 1/4，乙效 = 1/6。效率比 = (1/4) : (1/6) = 3:2。
✅ 答案：3:2
模型 2：常规合作问题（应用大题）
题目：修一条路，甲工程队单独修需要20天，乙工程队单独修需要30天。如果两队合修5天后，剩下的由乙队单独完成，乙队还需要修几天？
📌 解题步骤：
- 第一步（设总量）：设工作总量为1。甲效 = 1/20，乙效 = 1/30。
- 第二步（求已完成量）：合修5天完成：$$( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} ) \times 5 = \frac{1}{12} \times 5 = \frac{5}{12}$$。
- 第三步（求剩余量）：剩下：$$1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$$。
- 第四步（求乙单独做的时间）：乙还需要：$$\frac{7}{12} \div \frac{1}{30} = \frac{7}{12} \times 30 = 17.5$$ (天)。
✅ 答案：乙队还需要修17.5天。
模型 3：进出水/交替工作问题（压轴题雏形）
题目：一个水池，单开进水管4小时可将空池注满，单开出水管6小时可将满池水放完。现在先打开进水管2小时，再同时打开进水管和出水管，问还需要多少小时才能将水池注满？
📌 解题步骤：
- 第一步（转化工程问题）：把“注满水池”看作工程总量“1”。进水效率（做正功）：1/4。出水效率（做负功）：1/6。
- 第二步（计算先开2小时的进水量）：$$\frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$$，此时水池有水1/2。
- 第三步（计算同时开管的净效率）：$$\frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$$。（进水抵消出水）
- 第四步（计算注满剩余空间所需时间）：还需注水：$$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$。所需时间：$$\frac{1}{2} \div \frac{1}{12} = 6$$ (小时)。
✅ 答案：还需要6小时。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 一项工程，甲队单独做需要10天完成，甲队每天完成这项工程的（ ）。
- 乙队单独做一项工程15天完成，乙队的工作效率是（ ）。
- 修一条路，甲单独修要a天，乙单独修要b天，甲乙合作一天能修这条路的（ ）。
- 一份稿件，小李单独打要8小时，他每小时能完成这份稿件的（ ）。
- 一项工程，甲效1/12，乙效1/8，甲乙合作效率和是（ ）。
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 生产一批零件，师傅单独做要6小时，徒弟单独做要9小时。师徒合作，几小时可以完成？
- 运一批沙子，大卡车单独运要10趟，小卡车单独运要15趟。如果大、小卡车合运，几趟可以运完？
- 录入一份稿件，王阿姨单独录入需要4小时，李阿姨单独录入需要6小时。两人先合作录入1小时，还剩这份稿件的几分之几没录入？
- 打扫一间教室，小明单独扫要15分钟，小方单独扫要20分钟。两人合作打扫，需要多少分钟？
- 挖一条水渠，甲队单独挖要20天，乙队单独挖要30天。如果两队合挖了6天，还剩下这条水渠的几分之几没挖？
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 一项工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。现在甲先做3天后，余下的工程由乙单独完成，乙还需要做几天？
- 一批货物，由甲车单独运需要8次，由乙车单独运需要12次。现在两车一起运了3次后，剩下的货物由甲车单独运，还需要运几次？
- 一个水池有甲、乙两个进水管。单开甲管，15小时可将空池注满；单开乙管，10小时可将空池注满。现在两管齐开，几小时可将空池注满？
- （交替工作）打印一份文件，甲打印机单独打需要12分钟，乙打印机单独打需要15分钟。现在让两台打印机轮流工作，甲先打1分钟，乙再打1分钟，甲再打1分钟……如此交替，打完这份文件共需多少分钟？
- （综合应用）修一段公路，甲工程队单独修要40天，乙工程队单独修要60天。两队从公路两端同时相向施工，相遇时，甲队比乙队多修了200米。这段公路全长多少米？
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 验算总量是否为“1”：把算出的各部分工作量（如合作完成量、剩余量）相加，看是否等于1。2. 时间验算：用你的答案反向计算。例如，算出合作需6天，那就验算：甲6天做6/10，乙6天做6/15，加起来正好是1。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：记住阿星的“锚点例子”和顺口溜！在草稿纸上写出“甲10天，乙15天”，然后模仿这个例子去分析题目中的条件。只要牢牢抓住“总量为1，效率=1÷时间”这个核心，所有公式都能自己推导出来。
参考答案
第一关：1. 1/10 2. 1/15 3. (1/a + 1/b) 4. 1/8 5. 5/24
第二关：1. 1÷(1/6+1/9)=3.6小时 2. 1÷(1/10+1/15)=6趟 3. 1 - (1/4+1/6)×1 = 7/12 4. 1÷(1/15+1/20)=60/7≈8.57分钟 5. 1 - (1/20+1/30)×6 = 1/2
第三关：1. (1 - 1/12×3) ÷ (1/18) = 13.5天 2. [1 - (1/8+1/12)×3] ÷ (1/8) = 3次 3. 1÷(1/15+1/10)=6小时 4. 两分钟一个周期完成(1/12+1/15)=3/20，6个周期(12分钟)后完成18/20=9/10，剩余1/10由甲完成需1.2分钟，总计13.2分钟。 5. 相遇时间：1÷(1/40+1/60)=24天。甲完成24/40=3/5，乙完成24/60=2/5，甲多修1/5对应200米，全长：200 ÷ (1/5) = 1000米。
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