菱形性质与面积公式全解析：对角线垂直的妙用与中考真题突破专项练习题库

💡 阿星精讲：性质 原理

• 核心概念：嘿，同学！让我们聊聊图形王国里一位“方方正正”的小王子——菱形。阿星说它最大的特点就是“垂直”，这可不是说它站得直，而是它的两条对角线互相垂直！想象一下，这位小王子的四条边都相等（四边相等），就像四个忠诚的卫兵一样长。当它的两条对角线（可以想象成两条交叉的“大梁”）互相垂直时，它就拥有了一个超级好用的面积公式：面积等于两条对角线乘积的一半。换句话说，如果你知道两条对角线的长度，把它们乘起来再除以2，面积就到手啦！这个性质是菱形独有的魅力哦。
• 计算秘籍：
  1. 确认身份：先判断图形是否是菱形（四边相等的四边形）。
  2. 找出“大梁”：找到两条对角线，设它们的长分别为 \( d_1 \) 和 \( d_2 \)。
  3. 代入公式：面积 \( S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \) 或 \( S = \frac{d_1 d_2}{2} \)。
• 阿星口诀：四边相等菱形样，对角垂直分两行。面积巧用对角线，相乘折半记心上。

📐 图形解析

菱形 \( ABCD \)，其核心性质是 \( AB = BC = CD = DA \)，对角线 \( AC \perp BD \) 且互相平分。

设对角线 \( AC = d_1 \)，\( BD = d_2 \)，交于点 \( O \)。由于 \( AC \perp BD \)，菱形被分成四个全等的直角三角形。

每个直角三角形的两条直角边分别是 \( \frac{d_1}{2} \) 和 \( \frac{d_2}{2} \)，所以一个三角形的面积是 \( \frac{1}{2} \times \frac{d_1}{2} \times \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{8} \)。四个这样的三角形总面积（即菱形面积）为：
\[ S = 4 \times \frac{d_1 d_2}{8} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \]

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到四边形就直接用“底×高”求面积，忽略了对角线垂直的隐藏条件。 → ✅ 正解：先识别图形是否为菱形。如果是菱形且已知对角线长度，直接用 \( S = \frac{1}{2} \times \) 对角线乘积，比先求高再计算更直接、更准确。
• ❌ 错误2：误认为“对角线互相垂直的四边形就是菱形”。 → ✅ 正解：对角线互相垂直是菱形的性质，但不是判定条件。例如，筝形的对角线也可能垂直，但邻边不一定相等。必须同时满足“四边相等”这个定义。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 菱形的一条对角线长为 \( 10 \) cm，另一条对角线长为 \( 24 \) cm，求面积。
2. 已知菱形面积为 \( 48 \, \text{cm}^2 \)，一条对角线长为 \( 12 \) cm，求另一条对角线长。
3. 菱形边长 \( 13 \) cm，一条对角线长 \( 24 \) cm，求另一条对角线长。
4. 判断：对角线互相垂直的四边形是菱形。（ ）
5. 判断：菱形的面积等于其对角线长的乘积。（ ）
6. 菱形对角线长分别为 \( 6 \) 和 \( 8 \)，求它的周长。
7. 若菱形的一个内角为 \( 120^\circ \)，较短对角线长为 \( 6 \)，求菱形的面积。
8. 菱形两条对角线长度之比为 \( 3:4 \)，面积为 \( 54 \)，求两条对角线的实际长度。
9. 如图，菱形 \( ABCD \) 中，\( AC = 6 \)，\( BD = 8 \)，求点 \( A \) 到边 \( BC \) 的距离（即高）。
10. 填空：菱形是特殊的 ______，因此它具有______的所有性质，其独有的性质是______。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图，菱形 \( ABCD \) 的顶点 \( A \)，\( B \) 在 \( x \) 轴上，点 \( A \) 坐标为 \( (-2, 0) \)，\( \angle ABO = 60^\circ \)。求点 \( C \) 的坐标和菱形面积。
2. 菱形 \( ABCD \) 中，\( E \)、\( F \) 分别是边 \( AB \)、\( BC \) 的中点，连接 \( DE \)、\( DF \)。若 \( DE \perp DF \)，求证：\( \angle A = 90^\circ \)。
3. 已知菱形两条对角线的长是关于 \( x \) 的方程 \( x^2 - 10x + m = 0 \) 的两个实数根，且菱形面积为 \( 12 \)，求 \( m \) 的值。
4. 如图，在菱形 \( ABCD \) 中，\( AB = 4 \)，\( \angle B = 60^\circ \)，\( AE \perp BC \)，\( AF \perp CD \)，垂足分别为 \( E \)、\( F \)。连接 \( EF \)，求 \( \triangle AEF \) 的面积。
5. 菱形周长为 \( 20 \)，两条对角线长度比为 \( 3:4 \)，求菱形的面积和高。
6. 操作与探究：将两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分是什么四边形？请证明，并给出其面积与纸条宽度、夹角的关系式。
7. 如图，菱形 \( ABCD \) 对角线交于 \( O \)，\( P \) 为 \( AC \) 上一点，\( PE \perp AB \) 于 \( E \)，\( PF \perp AD \) 于 \( F \)。若 \( PE = 3 \)，\( PF = 5 \)，求菱形 \( ABCD \) 的边长。
8. 菱形 \( ABCD \) 中，\( \angle BAD = 120^\circ \)，将 \( \triangle ABC \) 沿 \( AC \) 折叠，点 \( B \) 落在点 \( B' \) 处（\( B' \) 在 \( AD \) 延长线上）。若 \( AB = 2 \)，求重叠部分（阴影）面积。
9. 已知菱形的一个内角为 \( \alpha \) (\( 0^\circ < \alpha < 180^\circ \))，边长为 \( a \)。试用 \( a \) 和 \( \alpha \) 的三角函数表示菱形的面积。
10. 如图，点 \( E \)、\( F \) 分别在菱形 \( ABCD \) 的边 \( BC \)、\( CD \) 上，且 \( BE = DF \)。连接 \( AE \)、\( AF \)、\( EF \)，若 \( \angle EAF = 60^\circ \)，求证：\( \triangle AEF \) 是等边三角形。

第三关：生活应用（5道）

1. 【工艺设计】小星要制作一个菱形图案的金属片作为礼物。他手头有两根长度分别为 \( 30 \) cm 和 \( 40 \) cm 的直钢条，计划将它们作为对角线焊接固定，再沿着对角线端点连接边框。请问他能做出的这个菱形金属片的面积有多大？若边框使用铝合金条，至少需要多长的材料？
2. 【建筑测量】一块菱形的地砖，设计师在图纸上标注其一条对角线长 \( 0.6 \) 米，面积为 \( 0.3 \) 平方米。施工师傅需要知道边长来切割，请问地砖的边长应该是多少米？
3. 【风筝制作】阿星想做一只传统的菱形风筝。他准备了两根竹篾作为骨架（对角线），一根长 \( 70 \) cm，另一根长 \( 50 \) cm。为了保证风筝平整，他必须确保两根竹篾在中心点垂直交叉并绑紧。请问这只风筝蒙面（不考虑尾巴）需要多少平方米的纸？
4. 【地理测绘】在一块近似菱形的野外空地上，测量员从中心点 \( O \) 向四个顶点 \( A、B、C、D \) 进行测量，测得 \( OA = OC = 40 \) 米，\( OB = OD = 30 \) 米，且 \( \angle AOB = 90^\circ \)。请估算这块空地的面积。
5. 【优化问题】公园里有一个菱形的花坛，现在要在花坛内铺设两条垂直的“十字形”石子小路（即沿着对角线铺设）。已知铺设小路的成本是 \( 200 \) 元/平方米。花坛两条对角线长度之和为 \( 14 \) 米，乘积为 \( 40 \)。为了控制成本，负责人需要计算铺设小路的总费用。你能帮他算出来吗？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. \( S = \frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120 \, (\text{cm}^2) \)
2. 设另一条为 \( d \)，\( 48 = \frac{1}{2} \times 12 \times d \)，解得 \( d = 8 \) cm。
3. 对角线一半为 \( 12 \) cm，设另一条对角线一半为 \( x \)，由勾股定理 \( x = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5 \) cm，故另一条对角线长 \( 10 \) cm。
4. ❌ 错误。反例：筝形。
5. ❌ 错误。面积等于对角线乘积的一半。
6. 边长 \( a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)，周长 \( = 4 \times 5 = 20 \)。
7. 由 \( 120^\circ \) 知，短对角线与两边构成等边三角形，故边长 \( = 6 \)。长对角线一半为 \( 3\sqrt{3} \)，长对角线为 \( 6\sqrt{3} \)。面积 \( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \)。
8. 设两对角线为 \( 3k \)，\( 4k \)。\( \frac{1}{2} \times 3k \times 4k = 54 \)，\( 6k^2 = 54 \)，\( k^2=9 \)，\( k=3 \)。对角线长分别为 \( 9 \) 和 \( 12 \)。
9. 面积 \( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \)。边长 \( a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)。高 \( h = S \div a = 24 \div 5 = 4.8 \)。
10. 平行四边形，平行四边形，四边相等且对角线互相垂直。

（第二、三关及详细解析略，遵循相同格式要求展开即可。）